專題02一元二次方程的解法：配方法（9大考點(diǎn)精準(zhǔn)練+2大易錯(cuò)點(diǎn)+過關(guān)檢測）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1：直接配平方法

形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．

如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；

如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．

方程x2＝p的解的情況：

注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．

知識(shí)點(diǎn)2：配方法

（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

1

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方

程無實(shí)數(shù)解．

要點(diǎn)詮釋：

（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；

（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a22abb2(ab)2．

【題型1】用直接開方法解方程

1．用直接開方法解方程．

（1）9x225（2）2x2980

（3）3(x2)20（4）3(x1)22.7．

2．用直接開平方法解下列一元二次方程：

（1）x2810；（2）4x270；

（3）3(1x)212；（4）(2x6)280．

3．用直接開平方法解下列方程：

（1）(x2)23；（2）2(x3)272；

（3）9(y4)2490；（4）4(2y5)29(3y1)2．

【方法點(diǎn)睛】

用直接開平方法解一元二次方程時(shí)，要把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)常數(shù)p的形

式.只有當(dāng)p為非負(fù)數(shù)時(shí)，方程才有解.當(dāng)p>0時(shí)，要注意開方的結(jié)果取“正、負(fù)”兩種情況

2

【題型2】直接開平方法的應(yīng)用

4．關(guān)于x的方程(xm)2n，下列說法正確的是()

A．有兩個(gè)解xnB．當(dāng)n0時(shí)，有兩個(gè)解xnm

C．當(dāng)n0時(shí)，有兩個(gè)解xnmD．當(dāng)n0時(shí)，方程無實(shí)根

5．若一元二次方程ax21(a0)的兩根分別是m1與2m4，則這兩根分別是()

A．1，4B．1，1C．2，2D．3，0

6．已知甲方程式為(x4)29，乙方程式為(x9)24．關(guān)于甲、乙兩方程式的解的情形，下列敘述何者

正確？()

A．甲有兩個(gè)相異的解，乙無解

B．甲有兩個(gè)相異的解，乙有兩個(gè)相異的解

C．甲有兩個(gè)相同的解，乙無解

D．甲有兩個(gè)相同的解，乙有兩個(gè)相異的解

【方法點(diǎn)睛】

直接開平方法只適用于解能轉(zhuǎn)化為x2=p或(mx十n)2=p(m≠0)的一元二次方程，當(dāng)p<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

【題型3】配方

7．將一元二次方程x26x20配方后可化為()

A．(x3)211B．(x3)211C．(x3)22D．(x3)22

8．將一元二次方程x24x30通過配方轉(zhuǎn)化為(xa)2b的形式，下列結(jié)果中正確的是()

A．(x2)21B．(x2)21C．(x2)23D．(x2)27

9．若關(guān)于x的一元二次方程x26x50可配成(xp)2q，的形式，p2q．

【題型4】配方法解方程

10．解方程：x22x70．

1

11．利用配方法解方程：x26x70．

2

12．用配方法解下列方程：

（1）x22x30（2）x22x80

3

（3）x28x70（4）6x2x120．

13．用配方法解下列方程：

（1）x26x110（2）2x267x

（3）x210x257（4）3x28x30

（5）(x1)(x2)12．

【方法點(diǎn)睛】

1.用配方法解一元二次方程，實(shí)質(zhì)就是對(duì)一元二次方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為開平方所需的形式配方是為了降次，

利用平方根的定義把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程來解

2.特別提醒：配方時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤

(1)移項(xiàng)忘記變號(hào)，

(2)系數(shù)化為1時(shí)漏項(xiàng)

(3)方程兩邊沒有同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，

【題型5】用配方的非負(fù)性求代數(shù)式的值

14．已知x22xy2y26y90，求xy的值為()

A．3B．6C．9D．27

15．已知a，b，c滿足a26b17，b22c7，c22a1，則abc的值為()

A．1B．5C．6D．7

4

【題型6】用配方法求代數(shù)式的最值

16．探究代數(shù)式x24x5的最小值時(shí)，我們可以這樣處理：

x24x5x24x41(x2)21因?yàn)?x2)20，

所以當(dāng)x2時(shí)，(x2)2的值最小，最小值是0．

所以(x2)211．

所以當(dāng)(x2)20時(shí)，(x2)21的值最小，最小值是1．

所以x24x5的最小值是1．

依據(jù)上述方法，解決下列問題：

（1）當(dāng)x時(shí)，x26x10有最小值是；

1

（2）多項(xiàng)式x24x9有最（填“大”或“小”)值，該值為；

2

（3）已知x25xy200，求yx的最小值．

17．上數(shù)學(xué)課時(shí)，胡老師在講完乘法公式(ab)2a22abb2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

答問題：求代數(shù)式x24x5的最小值．

同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：

解：x24x5x24x41(x2)21．

因?yàn)?x2)20，

所以當(dāng)x2時(shí)，(x2)2的值最小，最小值是0．

所以(x2)211，

所以x24x5有最小值，最小值是1．

請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列問題：

（1）知識(shí)再現(xiàn)：求代數(shù)式x26x12的最小值；

（2）知識(shí)運(yùn)用：代數(shù)式x22x3有最（填“大”或“小”)值，這個(gè)最值是；

（3）知識(shí)拓展：若x2y26x10y340，求yx的立方根．

5

【方法點(diǎn)睛】

配方法求代數(shù)式最值，“兩點(diǎn)注意”別忘掉

(1)先把代數(shù)式配方成a(x十h)2十k的形式.

①當(dāng)a<0時(shí)，該代數(shù)式有最大值k;

②當(dāng)a>0時(shí)，該代數(shù)式有最小值k.

(2)因?yàn)橐蟠鷶?shù)式的配方過程是恒等變形，所以在加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方后，應(yīng)再減去一個(gè)同樣的數(shù)，

使代數(shù)式的值保持不變

【題型7】用配方法求三角形的周長

18．已知a，b，c為△ABC的三條邊．

（1）若a5，b6，△ABC的周長是小于17的奇數(shù)，求c的長．

（2）若△ABC為等腰三角形，且a，b滿足a2b24a6b130，求△ABC的周長．

19．閱讀材料：若m22mn2n28n160，求m，n的值．

解：m22mn2n28n160，

m22mnn2n28n160，

(mn)2(n4)20．

mn0，n40．

mn4．

閱讀上面的材料，解決以下兩個(gè)問題：

（1）已知x22xy2y22y10，求xy的值；

（2）已知等腰三角形的三條邊分別為a，b，c，其中a，b滿足a2b26a12b450，求這個(gè)等腰三

角形的周長．

6

【題型8】用配方法判斷三角形的形狀

20．已知a，b，c為ABC三邊長．

（1）求證：a2b2c22ac0．

（2）當(dāng)a2b2c2abacbc0，試判斷ABC的形狀．

【題型9】用配方法求特殊方程的解

．若關(guān)于的方程22，，均為常數(shù)，的解是，，求方程

21xmx2mhxkmh(mhkm0)x13x22

m(xh3)2k0的解．

．已知關(guān)于的方程2，，為常數(shù)，的解是，，那么方程

22xa(xm)b0(abma0)x12x21

a(xm2)2b0的解為()

．，．，．，．，

Ax12x23Bx14x212Cx10x21Dx10x23

【易錯(cuò)點(diǎn)1】用配方法解方程時(shí)沒有把握關(guān)鍵步驟而出錯(cuò)

1．解方程：x(x4)621．

【易錯(cuò)點(diǎn)2】用配方法解方程時(shí)沒有把二次項(xiàng)化成1而出錯(cuò)

2．用配方法解下列方程：

（1）2x25x70；

（2）3y2y30；

（3）(x1)(x1)2x24x6．

7

一．選擇題（共8小題）

1．方程x240的根是()

．．．，．，

Ax2Bx4Cx12x22Dx14x24

2．用配方法解方程x24x20，下列配方法正確的是()

A．(x2)26B．(x2)26C．(x2)22D．(x2)22

3．用配方法解一元二次方程x22x20250時(shí)，化為(xa)2b的形式可得到()

A．(x1)22024B．(x1)22026C．(x1)22026D．(x1)22025

4．若關(guān)于x的方程(x1)2k沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()

A．k0B．k0C．k0D．k0

5．如圖是數(shù)學(xué)課上，解方程接力賽時(shí)的接力過程，計(jì)算步驟最先出錯(cuò)的是()

A．甲B．乙C．丙D．丁

．已知關(guān)于的方程2，，均為常數(shù)，且的兩個(gè)解是和，則方程

6xa(xm)b0(bma0)x13x27

a(2xm1)2b0的解是()

．，．，．，．，

Ax12x24Bx13x27Cx15x213Dx12x26

7．若代數(shù)式P2a22a3，Qa21，則P和Q的大小關(guān)系是()

A．PQB．PQC．PQD．無法確定

8

．若關(guān)于的一元二次方程：2與2，稱為“同族二次方程”．如2

8xa1(xm)n0a2(xm)n02(x3)40

與3(x3)240是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：2(x1)210與

(a2)x2(b4)x80是“同族二次方程”．那么代數(shù)式ax2bx2025能取的最小值是()

A．2018B．2020C．2025D．2030

二．填空題（共7小題）

9．方程(x1)25的解為．

10．若方程（x+2）2＝m﹣1有解，則m的取值范圍是．

．關(guān)于的方程2的解是，，，均為常數(shù)，，則方程

11xa(xm2)b0x13x26(amba0)

a(xm)2b0的解是．

12．一元二次方程x（x﹣2）＝6的正實(shí)數(shù)根是．

13．用配方法解方程x28x20時(shí)，可將方程變?yōu)?xm)2n的形式，則n的值為．

1