PAGE1專題19圓心角與圓周角（9大類型精準(zhǔn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1.弧、弦、圓心角的關(guān)系（重點(diǎn)）1.圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．2.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)的其余各對(duì)量也相等．要點(diǎn)歸納：運(yùn)用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，輕松證明相等問(wèn)題(1)在同圓或等圓中，證明等孤的問(wèn)題目前可以有三種途徑，一是由垂徑定理得到等孤，二是證明弧所對(duì)的圓心角相等，三是證明孤所對(duì)的弦相等.(2)在同圓或等圓中，當(dāng)證明等弦、等角的問(wèn)題時(shí)，除利用三角形全等及其他相關(guān)的性質(zhì)外，一定要善于利用孤、弦、圓心角三者的相關(guān)定理.知識(shí)點(diǎn)2.圓周角圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．要點(diǎn)歸納：(1)圓周角定理中的圓周角與圓心角是通過(guò)它們所對(duì)的同一條孤聯(lián)系在一起的，故不能把“一條孤所對(duì)的”去掉(2)同一條孤所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們都相等，但注意不要誤以為“同一條弦所對(duì)的圓周角都相等”，一條弦(非直徑)所對(duì)的圓周角有兩類，它們是相等或互補(bǔ)的關(guān)系，即圓周角在弦的同側(cè)時(shí)相等，異側(cè)時(shí)互補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)3.圓內(nèi)接多邊形一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）溫馨提示：(1)內(nèi)接與外接是相對(duì)的概念，描述的是圖形的位置關(guān)系.(2)每一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接四邊形，但并不是所有的四邊形都有外接圓，只有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓.方法總結(jié)：圓中求角的四個(gè)常用思路(1)同孤所對(duì)的圓周角相等；(2)一條孤所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半(3)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；(4)同圓的半徑相等，在以兩半徑為邊的三角形中，等邊對(duì)等角.18圓心角與圓周角【類型一】圓心角與圓周角的概念1．（24-25九年級(jí)上·河南商丘·期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題主要考查了圓周角與圓心角的識(shí)別，掌握?qǐng)A周角和圓心角的定義是解答本題的關(guān)鍵．頂點(diǎn)在圓周上，角的兩邊與圓相交的角是圓周角；圓心角的定義：頂點(diǎn)在圓的角是圓心角．根據(jù)圓周角和圓心角的定義解答即可．【詳解】解：A．圖中只有圓周角，沒(méi)有圓心角，選項(xiàng)不符合題意；B．圖中既有圓心角，也有圓周角，選項(xiàng)符合題意；C．圖中圖中只有圓周角，沒(méi)有圓心角，選項(xiàng)不符合題意；D．圖中只有圓心角，沒(méi)有圓周角，選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓心角的概念，確定一個(gè)角是否是圓心角，只要看這個(gè)角的頂點(diǎn)是否在圓心上，頂點(diǎn)在圓心上的角就是圓心角，否則不是．【詳解】解：根據(jù)圓心角的概念，、、的頂點(diǎn)分別是B、A、C，都不是圓心O，因此都不是圓心角．只有B中的的頂點(diǎn)在圓心，是圓心角．故選：B．3．（2023·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半圓O中，為直徑，下列四個(gè)選項(xiàng)中所對(duì)的圓周角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是圓周角的定義，根據(jù)圓周角的定義解答即可，熟知頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：所對(duì)的圓周角是與，故選：D．【類型2】弧、弦、圓心角之間的關(guān)系4．（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，已知在中，是直徑，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C．到、的距離相等 D．【答案】B【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴O到、的距離相等，所以A、C、D選項(xiàng)正確，不能證明是等邊三角形，不一定成立，故選：B．5．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，已知，則與的關(guān)系是（）

A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，由，得到，于是推出，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，．故選：A．6．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在同圓或等圓中，若的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度，則下列說(shuō)法正確的有（）①的度數(shù)的度數(shù)；②所對(duì)的圓心角等于所對(duì)的圓心角；③和是等??；④所對(duì)的弦長(zhǎng)等于所對(duì)的弦長(zhǎng)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)弧、弦、角的關(guān)系即可判斷．【詳解】解：①∵的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度，且在同圓或等圓中，∴的度數(shù)的度數(shù)．①正確；②在同圓或等圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等．②正確；③∵的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度，且在同圓或等圓中，∴和是等?。壅_；④在同圓或等圓中，等弧所對(duì)的弦相等．④正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查弧、弦、角的關(guān)系．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．【類型3】有關(guān)弧、弦、圓心角的計(jì)算7．（24-25九年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，在中，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了弧與弦之間的關(guān)系，弧與圓心角之間的關(guān)系，根據(jù)，則可得到．【詳解】解：∵在中，，∴，故選：C．8．（24-25九年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，是的弦，連接，若，則弦，之間的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，根據(jù)在同圓或等圓中，弧，弦，角之間任意一組量相等，另外兩組也相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，．故選：C．9．（23-24九年級(jí)上·廣東江門(mén)·期中）在中，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)（等弧對(duì)等弦）、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等弧對(duì)等弦和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．本題根據(jù)同圓中弧相等則對(duì)應(yīng)的弦相等，得出，從而判定為等腰三角形，再利用等腰三角形兩底角相等以及三角形內(nèi)角和為來(lái)計(jì)算的度數(shù)．【詳解】解：（同圓中，等弧所對(duì)的弦相等）是等腰三角形，（等腰三角形兩底角相等），且（三角形內(nèi)角和定理）故選：．10．（2025·云南楚雄·三模）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，C是的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓心角與弧的關(guān)系，圓心角與圓周角的關(guān)系．連接，由點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)得，故，再由得到即可．【詳解】解：如圖，連接，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，，，，，∵，∴．故選：C．11．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，為的直徑，點(diǎn)C、D是的三等分點(diǎn)，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，先求出，根據(jù)點(diǎn)C、D是的三等分點(diǎn)，求出的度數(shù)是，即【詳解】解：為的直徑，點(diǎn)C、D是的三等分點(diǎn)的度數(shù)是故答案為12．（21-22九年級(jí)上·福建廈門(mén)·期中）已知：如圖所示，A，B，C，D是⊙上的點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．【答案】．【分析】由題意易知，然后根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵A，B，C，D是上的點(diǎn)，，∴，即，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等是解題的關(guān)鍵．【類型4】有關(guān)弧、弦、圓心角的證明13．（21-22九年級(jí)上·吉林·期中）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E，AB＝CD，連接AD，BC．求證：．【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】由知，得到，即可得出．【詳解】解：，，即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，理解在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等是解題關(guān)鍵．14．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖所示，已知，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由得到，則，從而可判斷．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∴．15．（23-24九年級(jí)上·甘肅武威·期末）已知，如圖，在中，，，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】此題考查了弧與弦的關(guān)系，熟練掌握在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題的關(guān)鍵．利用，，得出，，即可得，即可證．【詳解】證明：∵，，∴，，∴，∴．16．（24-25九年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，D，E分別是的半徑上的點(diǎn)，且，垂足分別為D，E，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，求出，根據(jù)得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】證明：∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴．17．（24-25九年級(jí)上·福建南平·期末）如圖，在中，弦，于，于．(1)求證：．(2)若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查弧、弦之間的關(guān)系及垂徑定理，勾股定理，熟練掌握弧、弦的關(guān)系及垂徑定理是解題的關(guān)鍵；（1）由題意得，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）連接，垂徑定理得到，由勾股定理，得．根據(jù)垂徑定理可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：，，∴，即，；（2）解：連接，，，．．【類型5】圓周角定理18．（2025·廣西欽州·二模）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：∵是的直徑，，∴．故選：B．19．（2025·青海西寧·二模）如圖，是直徑，是上一點(diǎn)，連接，若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理：同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半，根據(jù)，所對(duì)的弧都是弧，即可解答．【詳解】解：∵，所對(duì)的弧都是弧，，∴，故選：B．20．（2025·陜西商洛·二模）如圖，是的內(nèi)接三角形，且．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，由圓周角定理求出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角定理和等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到的度數(shù)，最后根據(jù)計(jì)算的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖，連接．，，，，，，．故選：D．21．（2025·四川南充·二模）如圖，點(diǎn)、、、都在上，若，，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)已知可得，根據(jù)圓周角定理可得，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，故答案為：．【類型6】圓周角定理的推論22．（2025·山西·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)是上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，連接，由為的直徑可得，進(jìn)而由得，再根據(jù)圓周角定理即可求解，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，故選：．23．（2025·海南三亞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為的直徑，C，D為上兩點(diǎn)，，連接，，則的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓周角定理的推論，熟悉相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出，再結(jié)合及圓周角定理可求的度數(shù)．【詳解】為的直徑，，又，，．故選：C．24．（24-25九年級(jí)下·福建漳州·期中）如圖，是的直徑，，為上同側(cè)的兩點(diǎn)，連接，，，且，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理，連接，先由等弧所對(duì)的圓周角相等求出，再求出，然后再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可求出的度數(shù)．【詳解】解：連接，

∵，，∴，∵是的直徑，∴∴，∵，∴．故選D．25．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，為的弦，且，連接．若，則的度數(shù)為．【答案】/50度【分析】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理．如圖，連接，根據(jù)為的直徑，得出，從而求出，根據(jù)得出，即可得，再根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，為的直徑，，，，，，，，．【類型7】圓周角的有關(guān)計(jì)算與證明26．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，，，為的直徑，且，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查圓周角定理，解直角三角形，等邊對(duì)等角求出，圓周角定理得到，，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：，，，，又為直徑，，，．27．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，中，為的直徑，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．（1）連接，則，由等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論成立；（2）由等腰三角形的性質(zhì)及，可求得等腰三角形的兩個(gè)底角的度數(shù)，再直徑對(duì)的圓周角是直角，得，由即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵為的直徑，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴；∵為的直徑，∴，∴，∴．【類型8】圓內(nèi)接四邊形28．（2025·云南西雙版納·二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，故選：D．29．（24-25九年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先由平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，故選；B．30．（2025·安徽安慶·二模）如圖，是直徑，點(diǎn)、、在半圓上，若，則．【答案】/150度【分析】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90度可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵是直徑，點(diǎn)在半圓上，，，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，故答案為：．【類型9】圓有關(guān)角的綜合計(jì)算與證明31．（24-25九年級(jí)上·重慶潼南·期末）如圖，是的一個(gè)內(nèi)接三角形，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），設(shè)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)猜想與之間的關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)(2)【分析】本題考查圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．（1）在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可；（2）在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可．【詳解】（1）解：在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴．（2）解：，證明如下：在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴．32．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·期末）如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，，垂足為D，，分別交于點(diǎn)F，G．(1)求證：；(2)若，求弧的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了圓周角定理和應(yīng)用，以及弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，要熟練掌握．（1）根據(jù)是的直徑，，，推出，即可推得．（2）連接、，根據(jù)，，求出，再根據(jù)，求出，進(jìn)而可得出答案．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴；∵，∴；∵，∴，∴，∴．（2）解：如圖，連接、，∵，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴弧的長(zhǎng)度．33．（18-19九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，已知為的直徑且，A為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D、E重合），線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，且，F(xiàn)為上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)A在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四邊形的最大面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，首先證明四邊形是矩形，推出，即可解決問(wèn)題；（2）證明四邊形是平行四邊形，推出，根據(jù)題意計(jì)算即可；【詳解】（1）證明：連接，是直徑，，，，是直徑，，，四邊形是矩形，，，；（2）解：四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，矩形面積最大時(shí)，四邊形的面積最大，當(dāng)時(shí)，矩形面積最大，此時(shí)矩形面積最大值為：，故四邊形的面積最大值為．34．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知⊙O的半徑為2，弦，，求的度數(shù)．【答案】的度數(shù)為或【分析】本題考查等邊三角形和等腰直角三角形．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得到，然后根據(jù)狗狗股定理的逆定理得到，進(jìn)而得到即可解題．【詳解】①如答圖①，連接，，．∵，∴是等邊三角形，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．②如答圖②，同理得，，∴．綜上，的度數(shù)為或．35．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知中，，以為直徑的交于D，交于E．(1)如圖①，當(dāng)為銳角時(shí)，連接，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將圖①中的邊不動(dòng)，邊繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖②，的延長(zhǎng)線與相交于E．請(qǐng)問(wèn)：與的數(shù)量關(guān)系是否與（1）中得出的關(guān)系相同？若相同，請(qǐng)加以證明；若不同，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)．理由見(jiàn)解析(2)相同．理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了圓周角定理的推論、三線合一的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)同圓或等圓所對(duì)的圓周角相等，得出，再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵為直徑，∴，又∵，∴，∵，∴；（2）解：相同，證明如下：如圖，連接，∵為直徑，∴，又∵，∴，∵是圓內(nèi)接四邊形的外角，∴，∴．36．（2021·福建福州·二模）如圖，四邊形中，，，過(guò)三點(diǎn)的圓與交于點(diǎn)．(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)若，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理是解答的關(guān)鍵．（1）連接，先根據(jù)圓周角定理證得為直徑，進(jìn)而，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接．根據(jù)已知和（1）中結(jié)論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，再利用圓周角定理得到即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接．三點(diǎn)共圓，且，為直徑，，即又即是的中點(diǎn)．（2）證明：連接．，則，又，，．一、單選題1．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，、、是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】通過(guò)連接，利用垂徑定理、平行線性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)，推導(dǎo)出與的關(guān)系來(lái)求解．【詳解】解：連接，，∴，．，，．又，．∴是等邊三角形，∴，是等邊三角形，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理和利用角度、邊的關(guān)系推導(dǎo)線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（24-25九年級(jí)下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，是半圓O的直徑，B，C兩點(diǎn)在半圓上，且，點(diǎn)P在上，連接，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握并靈活運(yùn)用圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題關(guān)鍵．本題先連接，，，得到、均是等邊三角形，求得，再根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求得，然后根據(jù)等邊對(duì)等角即可求解；【詳解】解：連接，，，如圖：，∵是是半圓O的直徑，∴，∵，∴，由題可得：，∴、均是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故選：D．3．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，已知銳角，（1）在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，交射線于點(diǎn)D，連接（2）分別以點(diǎn)，D為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)（3）連接，．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．所有正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】連接，根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，圓心角與弧，弦的關(guān)系，平行線的判定，三角形三邊關(guān)系定理解答即可．【詳解】解：連接，根據(jù)作圖，得，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴①②③正確，④錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，圓心角與弧，弦的關(guān)系，平行線的判定，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握作圖和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2025·江蘇泰州·三模）如圖，在圓O中，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，垂直平分半徑，且，則長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系、解直角三角形、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接、，由垂直平分半徑，得到，，在中利用余弦的定義推出，則有，根據(jù)點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，得出，解求出、的長(zhǎng)，最后在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接、，垂直平分半徑，，，，在中，，，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，，，，，在中，，，，，，．故選：D．5．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是利用同弧或等弧所對(duì)圓周角相等求出相關(guān)角的度數(shù)．先根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等求出和，再利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角求出．【詳解】∵，，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴．故選：D．6．（2025·云南昆明·二模）如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)圓周角定理得出，求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，故選：B．7．（2025·廣西百色·二模）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，，則的半徑是（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)定理．先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出，由圓周角定理得出，根據(jù)可得出答案．【詳解】解：連接，∵四邊形內(nèi)接于，，，由勾股定理得：，，，∴的半徑為：，故選：A．8．（2025·山東淄博·二模）如圖，的半徑為2，四邊形內(nèi)接于，，若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】連接，取中點(diǎn)H，連接；易得是等邊三角形，則；又，由，當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)，最小，即可求得最小值．【詳解】解：如圖，連接，取中點(diǎn)H，連接；∵，∴是等邊三角形，∴；由勾股定理得；∵，中點(diǎn)為H，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)，最小，最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)，，在上，，則．【答案】40【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵點(diǎn)在上，，∴，∵，∴，故答案為：40．10．（2025·河南·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，，與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為．【答案】/75度【分析】本題考查了圓周角定理，等邊對(duì)等角，外角的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由是的直徑，得，由圓周角定理得，再由外角的定義得，即可得解．【詳解】解：因?yàn)槭堑闹睆?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，故答案為：．11．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等邊三角形內(nèi)接于圓O，點(diǎn)是上的一個(gè)三等分點(diǎn)（即），則的度數(shù)為．【答案】/80度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理是解決本題的關(guān)鍵，連接，由等邊三角形的性質(zhì)可得，再由可得,由圓周角定理得出,再求解即可．【詳解】解：如圖，連接，是等邊三角形，，,,．故答案為：．12．（2025·北京海淀·二模）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．若，則．【答案】50【分析】根據(jù)是圓的直徑，可得到直角三角形（直徑所對(duì)的圓周角是直角），由點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，可利用等弧所對(duì)的圓周角相等這一性質(zhì)，結(jié)合的的度數(shù)求出的度數(shù)．本題考查圓周角定理（直徑所對(duì)圓周角是直角、等弧所對(duì)圓周角相等）以及三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于利用圓的性質(zhì)，通過(guò)連接輔助線，結(jié)合已知角度，逐步求出的度數(shù)【詳解】解：連接∵是的直徑，∴．在中，∵，，∴．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴．．故答案為：50．13．（2025·四川南充·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則在其他小于平角的8個(gè)角中，可以確定度數(shù)的有個(gè)．【答案】2【分析】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形．根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，以及圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，即可得出結(jié)果．【詳解】∵∴∵四邊形內(nèi)接于∴．∴可以確定度數(shù)的有2個(gè)．故答案為：2．14．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D，E，與交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為°．【答案】60【分析】題目主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，理解題意，作出輔助線進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)等邊三角形的判定得出為等邊三角形，為等邊三角形，再由各角之間的關(guān)系及等量代換得出，利用圓周角定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，，∴為等邊三角形，∴，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為，故答案為：60．三、解答題15．（23-24九年級(jí)上·山西呂梁·期中）如圖，是的直徑，弦與相交于點(diǎn)E，．若，求直徑的長(zhǎng)．

【答案】【分析】根據(jù)“同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等”可得，再利用含角的直角三角形的特征即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵是的直徑，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓中“弧、弦、角的關(guān)系”等知識(shí)點(diǎn)．熟記相關(guān)結(jié)論即可．16．（23-24九年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期中）如圖，A，P，B，C是上的四個(gè)點(diǎn)，．求證：是等邊三角形．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定及圓周角定理，根據(jù)圓周角定理可得，，進(jìn)而可求證結(jié)論，熟練掌握?qǐng)A周角定理及等邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：，，，是等邊三角形．17．（2024九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，的半徑為，圓周角，求的長(zhǎng)．【答案】2【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定，作所對(duì)的圓周角，連接、，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)圓周角定理得到，則可判斷為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可得，掌握?qǐng)A周角定理，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作所對(duì)的