摘要：文章以教學(xué)中遇到的錯題或錯解為載體，剖析試題或求解出錯的原因.結(jié)關(guān)鍵詞：美國著名數(shù)學(xué)教育家

離不開解題，更離不開思考.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，在呈現(xiàn)基礎(chǔ)知識、基本技能后，將大量（善和思維能力的提升.學(xué)生也大量解題，用參考答案（的結(jié)果）來核對自己解答的對錯.給出試題命制和數(shù)學(xué)教與學(xué)方面的思考，不足之處，敬請同仁批評指正.試題命制對語言的基本要求為：科學(xué)、準(zhǔn)確、平實(shí)、簡潔.當(dāng)我們命制試題后，為（同學(xué)科與不同學(xué)科的）教師和學(xué)生試做，根據(jù)反饋情況進(jìn)行調(diào)整.題）f

ax2+bx-

的最小值為1g(x)=ax3+3bx2+1值點(diǎn)相同，則a+b

-ax2+(2a-b)x參考答案為：由題意知

f

f(x)的最小值為f(0)1x=0f(x)f￠(0)=1+b=0，解得b1.當(dāng)a<0時，x?￥f(x)?￥，不符合題意；若a30f(0)1f(x)的最小值，符合題意.f

ax2+bx-

的最小值為1，得a30g(x)，若a=0g(x)3x2+1不符合題意，故a>0g￠(x)=3ax2=0x=0x=2a>0g(x)x=2g?2?=0a=2?èa+b定值等）的理解與挖掘是解題的關(guān)鍵.不少學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)f(0)=-1，對ab討論進(jìn)而確f(x)的最小值（點(diǎn)f￠(0)=0”求出b1，而沒有對a的范圍和b的值進(jìn)行檢驗(yàn).而函數(shù)的極值與最值既有區(qū)別也有聯(lián)系，理應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn).ABab的值后必須進(jìn)行檢驗(yàn).過程如下：當(dāng)a=2b1時，g(x)=2x33x2+1g￠(x)=6x26xg(x)的極小值點(diǎn)為x=1g(x)在(￥0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1+￥)g(1)4<0g(0=1>0g(x)=ax3+3bx2+1的極小值點(diǎn)是其零點(diǎn)”.a4+b4+c4 2已知DABCABC的對邊分別是abc為最大邊，則a+b的取值范圍是

a2

?23

?23 A.?1,3 C.?1,3 參考答案為：由題意得a4+b4+c4+a2b2-2c2(a2+b2)=0，即(a2+b2-c2)2

a2+b2- (ab.由于最大邊是c，所以a+b-

=-ab，cosC =-，由C

a sinA+sin

=23sin p(0,p)

，B

A，

?+3÷

p??230<A<，所

sin?A+3

?1,

úa+b>ca

a+b

?23

?

?1,3 評析：眾所周知，不含參數(shù)的具體一元函數(shù)的最值常見兩種求法：（1）利用函數(shù)（2再驗(yàn)證其為所有函數(shù)值中的最大（小）者.[1]無論采用哪種方法，本質(zhì)是一致的，就是（小（才能將該函數(shù)值與對應(yīng)自變量的值稱為函數(shù)的最大（?。┲蹬c最大（?。┲迭c(diǎn)，只是確定最值點(diǎn)與最值的先后順序不同而已.在CcC為最大 角此處可由余弦定理確定角C.由條件可得=或C 需要通過最大值的定 是滿足條件的所有三角形中a+b的取值范圍（已蘊(yùn)含三角形的“兩邊之和大于第三?23邊，答案為?1,3 .3（100AB（A卷yf(x)Rabf(x+2)=-f(x)x

Rf(a+b)f(a)+f(b)x?R[0,1]f(x)x（I）yf(x)（II（參考答案為：（I）由f(a+b)f(a)+f(b)，令a=b=0，得f(0)=0令a=xbxf(xx)f(x)+f(x)=0f(x)f(x)yfRyf(x)是奇函數(shù)x

Rf(x+2)f(x)f(x+2+2)=-f(x+2)f(x)yf(x)R上的周期為4的周期函數(shù)評析：f(a+b)f(a)+f(b)f(x+2)=-f(x)f(x+2)ff(2)f(x)f(x+2)=-f(x)f(x+2)f(x)+f(2)=-f(x)②由①②得f(-x)f(x)yf(x)ab

Rf(a+b)f(a)+f(b)

f(x)f(1)xab

R(b)

Rf(x+2)=-f(x)成立x

f(x)=-x”并不兼容.因?yàn)槎鄠€條件之間自相矛盾，導(dǎo)致設(shè)置的對象不存在.試題命制（4yf(x)是定義域?yàn)镽2的周期函數(shù)，且當(dāng)x?[1,1)時， g

ìlgx,x1f(x)=1-

；已知函數(shù)()

yf

g(x)在區(qū)間[5,10]點(diǎn)的個數(shù)為（ 參考答案為：yf(x)-g(x)在區(qū)間[5,10]yfy=g(x)的圖象在區(qū)間[-5,10]上的交點(diǎn)yfy=g(x)1，114yf正解：LLyf(x)y=g(x)記h(x)f(x-g

x

[9,10]f(x)=1(x10)2g(x)=lgxh(x=1-(x10)2-lgx

1-2x2 h(x)=-2(x-

，

(x)=

x2

<0h(x)[9,10]上單調(diào)遞減，由

>0，

10

<0x0

=0，從而函數(shù)h(x)在(9x0)上單調(diào)遞增，在(x010]上單調(diào)遞減，且h(9)=-lg9<0h(10)=0x1

(9x0)使得h(x1)=0，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(9,10) x

[12]時，

f(x)=1-(x-2)2

g(x)=lgx

h(x)=1-(x-2)2-lgx

1-2x2 h(x)=-2(x-

，x

(x)=

x2

>0，

<0x2

)=0而函數(shù)h(x)在[1x2)上單調(diào)遞增，在(x22]上單調(diào)遞減，且h(1)=0h(2)=1lg>0x

- 63P，Q：PPQ

+5)pa2（過程略a2pa2p2AP2AP2

p2體的表面上，從點(diǎn)P到點(diǎn)Qp2評析：P到點(diǎn)QP?A?QP到點(diǎn)Q的最短路徑的長為3a7(紅對勾講與練高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)2021·遼寧沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)=ln+ax+b，a,b?R(I)f(x)(II)當(dāng)a=0xx

f(x2)>x-x

x參考答案為：(I)(II)證明：當(dāng)a=0時，f(x)=lnx+b

f(x1)-f(x2>x1x2，即lnx1lnx2x1-

x 等式也等價于lnt+

-2

t>1

1 t

>x>0lnx1lnx2>x1-x2

x1+x2

x1-

x

ln

-ln x1>x2>0本質(zhì)上是解題者意識到了題目中的條件給出的情況可以“坍縮”成一個簡單的情況.輪因此，解題時想用“不妨設(shè)”時要確認(rèn)“不妨設(shè)”的條件是否具備.有興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)[2]與文獻(xiàn)[3].8已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+lan，其中l(wèi)10證明：數(shù)列{an}若 1，求l. 參考答案為：（I）數(shù)列{a}是首項(xiàng)為

，公比為

的等比數(shù)列，于是a ?

n-

1-

l- 1-

?l-1

.（證明過程略 （II）由（I）a5

l 5

，得l1(l- 評析：82016III17LL（II）S=31，求

.)改編而成的.對于第（II）

l=-

l 5

l

l=-

l

-

-l)5 l當(dāng) 5

.由

5 ，

(l- (l- 則l<1.所以1-

=2l5，即

+2l51=0f(l

+2l5-0￡

<1

f(l)[0,1]

f(0)=-1<0

f(1)=2>0l (

8-

)= 0時，f

=1+

5，

0，得l8

8

?8

8-?5÷f(l)在?￥-?5÷÷上單調(diào)遞增，在?-?5÷0fê-?5è

è?

èè

?è?=5067f(1)=0f(321<0f(l)在(￥0) 8 è?Sn與an的關(guān)系由公式Sn=1+lan決定.當(dāng)已知l（如l1為常數(shù)）S=1+l

（

=1-

）的線性關(guān)系可知，對應(yīng)的S與a（如S=31與 1）

等價.在未知l（l為變量S與a均為lS（S 與a（ 1）得到的l的值未必相同.將結(jié)論l=-1逆向代入，由S=31得a

由S=31和 1得到l的值并不相同.命題者著眼于結(jié)論l=-1，從結(jié)論B逆向探 (1-l)5=32l4展開可得l5+27l4+10l310l2

-1=0，由l1其轉(zhuǎn)化為(l+1(l4+26l316l2+6l1)=0g(x)=x4+26x316x2+6x1的零點(diǎn)間(0,1)難以求出該方程的精確解，能否確定其解的個數(shù)（通過二分法逼近得到方程的近似解l31f(l

+2l51l

f(l)f(l)在l?(￥0)命題是有效測量的重要保證，是決定測驗(yàn)成敗的關(guān)鍵.試題是從事教育測量的量尺,編制試題則是對量尺的制作和設(shè)計(jì).進(jìn)行一種測驗(yàn),能否真正達(dá)到預(yù)期目的,測到所要測充分地誘發(fā)出我們欲測的行為表現(xiàn).命題的動向直接制約著教學(xué)的發(fā)展方向，影響著努力的\h側(cè)重點(diǎn).無論是大規(guī)模的考試還是平時\h教師教學(xué)中的自編測驗(yàn)，都必須認(rèn)真對待命\h使\h題目的編制更加合理.很多教師剛開始命題時表現(xiàn)出惴惴不安，久而久之，面對命題中的錯誤變得心安理得.英國心理學(xué)家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的.”構(gòu)，命制的脈絡(luò)與邏輯，突破試題設(shè)置的陷阱.對常規(guī)試題做到能解、會解、善解，進(jìn)420113題，可見錯題影響深遠(yuǎn).多編題，通過命題反思自己對內(nèi)容的理解情況，剖析命題的得與失，完善與發(fā)展命題技能.多讀書，提高知識的寬度與深度，弄清問題的來龍去脈，同時為試題提供合適的背景，在細(xì)節(jié)處給學(xué)生人文關(guān)懷.它們相互為用，如較強(qiáng)的解題確保研究對象的存在性；“不怕任性，就怕驗(yàn)證.”求函數(shù)的最值要驗(yàn)證最值（點(diǎn)）的存在性；分式變整式要保證分母不為零等.通過規(guī)范的參考答案的制定，不僅給學(xué)生以引領(lǐng)與示范，還能促進(jìn)自己思維的完善與提升.（12（23（4驗(yàn)（6，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.試題只是檢測