最全版高中文科數(shù)學(xué)知識點

必修1數(shù)學(xué)

集合：

1、集合H勺定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一種集合，也簡稱集。集合中日勺每個對象叫做

這個集合中的元素

2、集合元素的特性：①確定性②互異性③無序性

3、集合的分類：①有限集②無限集③空集，記作0

4、集合的表達(dá)法：①列舉法②描述法③文氏圖法④特殊集合⑤區(qū)間法

常用數(shù)集及其記法：①自然數(shù)集（或非負(fù)整數(shù)集）記為N正整數(shù)集記為N*或N+

②整數(shù)集記為Z③實數(shù)集記為R④有理數(shù)集記為。

5、元素與集合的關(guān)系：①屬于關(guān)系，用表達(dá)；②不屬于關(guān)系，用“住”表達(dá)

6、集合間的關(guān)系：①包括：用“1”表達(dá)②真包括：用表達(dá)③相等④不相等

7、集合II勺交、并、補

交集的定義：由所有屬于集合A且屬于集合H勺元素構(gòu)成的集合，叫做A與8的交集，記作API8,

即ACl8=｛小GAjElxeM

并集的定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素構(gòu)成的集合，叫做A與3的并集，記作

AUB,

即AU3=｛x|xGA或YGZ?｝

8、全集與補集：對于一種集合A,由全集U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合稱為集合A相對于集合

U時補集，記作，A,即?！?｛小￡。，歷史人｝

9、交集、并集、補集的運算：

（1）互換律：AQB=BC\AA\JB=B\JA

屹）結(jié)合律：（AD3）nc=An（/nc）（AUB）UC=AU（BUC）

(3)分派律:.An(BUC)=(AnB)U(AAC)ALJ(5nC)=(ALJB)n(AUC)

(4)0-1律：①nA=(D，①LA=AUC|A=AUUA=U

(5)等暴律：AC|A=AA\JA=A

(6)求補律：AC\CUA=^A\JC(,A=UCyU=(/)Cu(/)=UCl](CliA)=A

(7)反演律：。(ACl8)=(QfA)UB)孰(AU8)=(QrA)A(QB)

10、文氏圖時應(yīng)用：交集、并集、補集的文氏圖表達(dá)

11、重要的等價關(guān)系：AA'^<=>A\JB=B<^>A^B

12、一種由〃個元素構(gòu)成的集合有2"個不一樣的子集，其中有2"-1個非空子集，也有2"-1個真子集

函數(shù)：

1、映射：設(shè)A、8是兩個集合，假如按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中的任何一種元素。，在集合3

中均有唯一的元素〃和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)(包括輿合A、4以及A到31向?qū)?yīng)法則/)叫

做從集合4到集合的映射，記作/:Af3,其中人叫做。的象，。叫做人的原象

假如在這個映射下，友于集合A中U勺不一樣元素，在集合中有不一樣的象，并且〃中的每一種

元素均有原象，那么這個映射叫做4到4上的一一映射

2、函數(shù)：設(shè)A、8是兩個非空數(shù)集，那么從4到3的映射/:AfB就叫做函數(shù)，記作)，=/(幻，其

中X￡A,)，￡b,4叫做自變量，y是x日勺函數(shù)值.自變量的取值集合A叫做函數(shù)的定義域，

函

數(shù)值的集合。叫做函數(shù)的值域，值域CqB,函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則；兩個函數(shù)相似：

定義域和對?應(yīng)關(guān)系都分別相似

3、函數(shù)的表達(dá)措施：(1)列表法(2)圖象法(3)解析法

4、分段函數(shù)：在自變量的M、一樣取值范圍內(nèi)，其解析式小一?樣，分段困數(shù)小是幾種函數(shù)，是一種函數(shù)

5、（1）函數(shù)的定義域H勺常用求法：

①分式的分母不等于零②偶次方根II勺被開方數(shù)不小于等于零③對數(shù)的真數(shù)不小于零

④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)不小于零且不等于1

⑤三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x=2乃+］（2￡Z）,余切函數(shù)丁=以）1工中，x豐k兀（keZ）

⑥假如函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)根據(jù)自變量口勺實際意義確定其取值范圍

（2）值域的J求法：①直接法②分離常數(shù)法③圖象法④換無法⑤鑒別式法⑥不等式與對勾函

數(shù)

6、求函數(shù)解析式的措施：

①直代②湊配法③換元法④待定系數(shù)法⑤列方程組法⑥特殊值法

7、增減函數(shù)的J定義：對于函數(shù)勺定義域/內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值芭“2

①若當(dāng)為<%時，均有fW</（%），則說fM在這個區(qū)間上是增函數(shù)

②若凡<%當(dāng)時，均有/（「）>/（々），則說在這個區(qū)間上是減函數(shù)

8、（1）單調(diào)性U勺證明：討論函數(shù)的增減性應(yīng)先確定單調(diào)區(qū)間，用定義證明函數(shù)U勺增減性，有“一設(shè),

二差，三判斷”三個環(huán)節(jié)

（2）函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

①若/（x）,g（x）均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則/（x）+g（x）在這個區(qū)間上也為增（減）函

數(shù)

②若/（x）為增（減）函數(shù)，則一/（幻為減（增）函數(shù)

③若/（X）與g（x）的單調(diào)性相似，則），=〃g（x）］是增函數(shù)；若/（一與g（x）的單調(diào)性不一

樣，則），=/［以外］是減函數(shù)，即復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是“同增異減”

④奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相似，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上H勺單調(diào)性相反

9、（1）奇、偶函數(shù)”勺定義：對于函數(shù)/（x）

①假如對于函數(shù)定義域自任意一種X，均有/（-幻=/'（幻，那么函數(shù)/"）就叫做偶函數(shù)

②假如對于函數(shù)定義域區(qū)任意一種X,均有/（-x）=-f（x）,那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)

注意：①函數(shù)為奇偶函數(shù)的前提是定義域在數(shù)軸上有關(guān)原點對稱

②〃_乃=-/（x）^/-（-x）=/（X）是定義域上的恒等式

③若奇函數(shù)/（幻在x=0處故意義，則/（0）=0

④奇函數(shù)的圖像有關(guān)原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象有關(guān)y軸成軸對稱圖形

（2）函數(shù)奇偶性的J常用結(jié)論：

①假如一種奇函數(shù)在x=0處有定義，則/（0）=0,假如一種函數(shù)），=/（x）既是奇函數(shù)又是

偶函數(shù)，則/（幻=0（反之不成立）

②兩個奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)：之枳（商）為偶函數(shù)

③一種奇函數(shù)與一種偶函數(shù)日勺積（商）為奇函數(shù)

④兩個函數(shù)y=/'（〃）和〃=g"）復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一種是偶函數(shù)，那么該復(fù)合

函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)

基本初等函數(shù)

1、（1）一般地，假如x"=a,那么x叫做。的〃次方根。其中〃>l,〃eN+

①負(fù)數(shù)沒有偶次方根②0的任何次方根都是0,記作五=0

③當(dāng)〃是奇數(shù)時，叱當(dāng)〃是偶數(shù)時，^=\a\=r920）

-a（a<0）

④我們規(guī)定：（1）。"'二板7（ci>0,in,nGN\m>1）（2）an=—（?>0）

（2）對數(shù)的定義：設(shè)。>（）且。=1,對于數(shù)N>0,若能找到實數(shù)人，使得c/=N，那么數(shù)力稱為認(rèn)為a

底的N臥J對數(shù),記作b=log,N,其中。叫做對數(shù)日勺底數(shù)，N叫做真數(shù)

注：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)（由于N=a">0）（2）log“1=0,log“。=1（〃>0口

。/1)

(3)將/?=log”N代回/=N得到一種常用公式a2=N(4)

aK=N。log“N=x

(3)塞函數(shù)的定義：一般地，我們把形如y=犬函數(shù)稱為塞函數(shù).其中x是自變量，，是常數(shù)

2、⑴①/優(yōu)=4rt'(4>0,八5￡Q)②D=>0,r,5￡Q)

③(ab)'-arbr(4/>0,Z?>0,reQ)

(2)當(dāng)。>0,Qwl,M>(),N>()時：

①log“(MN)=log0M+log”N②Io

=log(tM-log(,N③log“M"=〃log〃M

④換底公式：log,*=卜民"(a>0,awl,c>0,cHl.〃>0),運用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：

log。。

n1

(1)log.?bn=—logj?(2)logJ?=------

mlog//

3、(1)指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)丫=/(〃〉0,〃工1)叫做指數(shù)函數(shù).函數(shù)口勺定義域是實數(shù)集尺

(2)對數(shù)函數(shù)叢J定義：一般把函數(shù)y=log”x(a>。且。/。叫做對數(shù)函數(shù),它口勺自變量為x,其定義域

是(0,y),底數(shù)a為常數(shù)

表1指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,aw1)對數(shù)數(shù)函數(shù)y=log"x(a>0,。W1)

定義

xwR(0,+<?)

域

值域JG(0,+QO)yeR

D<<1

\0<tf<1

圖象J

1

過定點(0,1)過定點(1,0)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

xe.(YO,0)時，yG(1,+OO)xw(-oo,0)時，yw(0,l)xe(0,1)時，ye(0,+oo)xe(0,l)時，yw(Yo,0)

性質(zhì)

xe(0,+oo)時,ye(0,1)xe(0,+cc*寸，ye(l,+x)xw(l,+oo)時，ye(-oo,0)xe(l,欣)時，yG(0,-HX>)

/Tog/f

J

ci<ba>ba<ba>b

表2基函數(shù))，=亡(?！?)

a-a<00<a<\a>1a=\

q

1/

〃為奇數(shù)/“)

奇函數(shù)

為奇數(shù)

jE-1)\

?

〃為奇數(shù)(LD

為偶數(shù)—1-------------1-------1-------11—

q-卜+?

?

1\7

〃為偶數(shù)

偶函數(shù)

夕為奇數(shù)???-4-----------------------------；-------1-------H(-LD\

第一象限性

減函數(shù)增函數(shù)過定點(0,1)

質(zhì)

零點、二分法：

1、(1)函數(shù)的零點：

①對于函數(shù)＞'=/(X),我們把使/(%)=0的實數(shù)叫做函數(shù))，=/(幻H勺零點

方程/(X)=0有實根=函數(shù)y=/(X)歡J圖象與x軸有交點。函數(shù)y=f(x)有零點

②假如函數(shù))，=/*)=0在區(qū)間［出司上的圖象是持續(xù)不停的J一條曲線，并且〃。)/(份〈0,那

么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間以力］內(nèi)有零點,即存在一匕㈤,使得f(c)=O,這個c也就是方程

/?=0時根

(2)函數(shù)零點的求法：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=OH勺實數(shù)根

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)絡(luò)起來，并運用函

數(shù)的性質(zhì)找出零點

2、二分法：

定義：對于在區(qū)間上持續(xù)不停且的函數(shù)，通過不停地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,

使區(qū)間的兩個端點逐漸迫近零點，進(jìn)而得到零點近似值的I措施叫做二分法

高中數(shù)學(xué)必修2知識點

立體幾何初步

底面

(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其他各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平

行，由這些面所圍成II勺幾何體

分類：以底面多邊形日勺邊數(shù)作為分類的原則分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等

表達(dá)：用各頂點字母,如五棱柱ABCDE-ABCDE或用對角線的端點字母,如五棱柱AD

幾何特性：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等：

平行于底面的截面是與底面全等的多邊形

(2)棱錐定義：有一種面是多邊形，其他各面都是有一種公共頂點口勺三角形，由這些面所圍成的兒何體

分類：以底面多邊形H勺邊數(shù)作為分類H勺原則分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表達(dá)：用各頂點字母，如五棱錐尸—A

幾何特性：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面日勺截而與底面相似，其相似比等于頂點到截面距

離與高I內(nèi)比的平方

（3）棱臺：定義：用一種平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形口勺邊數(shù)作為分類日勺原則分為三棱態(tài)、四楂臺、五棱臺等

表達(dá)：用各頂點字母，如五棱臺P-ABC'OE

幾何特性：①上下底面是相似H勺平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐R勺頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的邊所在的百.線為軸旋粒，其他三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特性：①底面是全等的圓②母線與軸平行③軸與底面圓的半徑垂直

④側(cè)面展開圖是一種矩形

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特性：①底面是一種圓②母線交于圓錐口勺頂點③側(cè)面展開圖是一種扇形

（6）用【臺：定義：用一種平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特性：①上下底面是兩個圓②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點③側(cè)面展開圖是一種弓形

（7）球體：定義：以半圓H勺直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特性：①球的截面是圓②球面上任意一點到球心的距離等于半徑

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體口勺前面向背面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向

下）

注：正視圖反應(yīng)了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反應(yīng)了物體的高度和長度

俯視圖反應(yīng)了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反應(yīng)了物體的長度和寬度

側(cè)視圖反應(yīng)了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反應(yīng)了物體的高度和寬度

3、空間幾何體口勺直觀圖---斜二測網(wǎng)法

斜二測畫法特點：①本來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變

②本來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為本來的J二分之一

4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積日勺和

(2)特殊幾何體表面積公式(C為底面周長，〃為高，”為斜高，/為母線)：

S直棱柱側(cè)面枳=chS圓柱側(cè)=17urhS正極低側(cè)面枳=萬"?'S圓錐側(cè)面根=用

$正樓臺順潮=+7)〃“臺例面積=(r+R)"

S圓柱表=2m*(r+/)S圓錐表=m*(r+/)S圓臺表"萬仁+"+R/+R2)

(3)柱體、錐體、臺體的體積公式：

%=助V^=Sh=jir-hV惟=%〃％錐=：加%

22

%=；(s+47+s)力=1(S'+y[s~s+S)h=^7T(r+rR+R)/?

4?、

(4)球體的表面積和體積公式：V球=一派3$球面=4成2

3

5、空間點、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面R勺概念：4、描述性闡明8、平面是無限伸展的

②平面口勺表達(dá)：一般用希臘字母。、A7表達(dá)，如平面a(一般寫在一種銳角內(nèi))；也可以用

兩個相對頂點H勺字母來表達(dá)，如平面BC

③點與平面歐J關(guān)系：點A在平面a內(nèi)，記作Aea；點A不在平面a內(nèi)，記作4任a

點與直線的關(guān)系：點AEN直線/上，記作：Aw/：點A在直線/外，記作A￡/

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作/ua；直線/不在平面。內(nèi)，記作/oa

（2）公理1：假如一條直線H勺兩點在一種平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)

（即直線在平面內(nèi)，或者平面通過直線）

應(yīng)用：檢查桌面與否平；判斷直線與否在平面內(nèi)

用符號語言表達(dá)公理1：Ae/,8e/,A￡a,5wa=/ua

<3）公理2：通過不在同條直線上II勺三點，有且只有種平面

推論：一直線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面口勺根據(jù)②它是證明平面重疊的根據(jù)

（4）公理3：假如兩個不重疊口勺平面有一種公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面。和夕相交，交線是〃，記作。0尸=。符號語言：PeA[}B^>A[yB=lyPel

公理3的作用:

①它是鑒定兩個平面相交的措施

②它闡明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點

③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要根據(jù)

（5）公理4：平行于同一條直線U勺兩條直線互相平行

（6）空間直線與直線之間H勺位置關(guān)系

①異面直線定義：不一樣在任何一種平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相

交

③異面直線鑒定：過平面外一點與平面內(nèi)一點II勺直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，通過空間任意一點。，分別引直線a'〃a

〃"/〃，則把直線，和Z/所成H勺銳角（或直角）叫做異面直線。和b所成H勺角。兩條異面直線

所成角的范圍是（0°,90。],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂

直

闡明：（1）鑒定空間直線是異直直線措施：①根據(jù)異面直線的定義②異面直線的鑒定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取FJ,而和點。的位置無關(guān)

（3）求異面直線所成角環(huán)節(jié)：

A、運用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同步平移到某個特殊的H立置，頂點選

在特殊的位置上

B、證明作出口勺角即為所求角C、運用三角形來求角

（7）等先定理：假如一種角的兩邊和另一種角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補

（8）生間直線“平一面之間的位置關(guān)系直線不在平面內(nèi)’相交----只有一個公共點.

古他大醞而由右下將人八廿七（或直線在平面外）（平行一一沒有公共點.

直線在平面內(nèi)---有無數(shù)個公共點

三種位置關(guān)系的符號表達(dá)：aC\a=Aalia

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒有公共點：alip相交一一有一條公共直線:

aC。=b

6、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行日勺鑒定及其性質(zhì)

線面平行的I鑒定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行

線線平行二線面平行

線面平行口勺性質(zhì)定理：假如一條直線和一種平面平行，通過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行=線線平行

（2）平面與平面平行的鑒定及其性質(zhì)

兩個平面平行的鑒定定理

（1）假如一種平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一種平面,那么這兩個平面平行

（線面平行O面面平行）

（2）假如在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行

（線線平行=面面平行）

<3）垂宜于同一條直線的兩個平面平行

兩個平面平行的性質(zhì)定理

（1）假如兩個平面平行，那么某一種平面內(nèi)的直線與另一種平面平行（面面平行O線面平行）

（2）假如兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行（面面平行O線線平行）

7、空間中H勺垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線歐J垂直：假如兩條異面直線所成H勺角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直

②線面垂直:假如一條直線和一種平面內(nèi)日勺任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直

③平面和平面垂直：假如兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組

成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直

（2）垂直關(guān)系日勺鑒定和性質(zhì)定理

①線面垂直鑒定定理和性質(zhì)定理

鑒定定理:假如一條直線和一種平面內(nèi)口勺兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面

性質(zhì)定理：假如兩條直線同垂直于一種平面，那么這兩條直線平行

②面面垂直日勺鑒定定理和性質(zhì)定理

鑒定定理：假如一種平面通過另一種平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

性質(zhì)定理：假如兩個平面互相垂直，那么在一種平面內(nèi)垂直于他們H勺交線的直線垂直于另

一種平面

8、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不不小于宜角的角，叫這兩條直線所成的角

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點。，分別作弓兩條異面直線平行口勺直線

a',b',形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成口勺不不小于直

角II勺角叫做兩條異面直線所成U勺角

（2）直線和平面所成的角

①平面『、J平行線與平面所成的角：規(guī)定為0°②平而的垂線與平面所成的J角：規(guī)定為90“

③平面日勺斜線與平面所成R勺隹：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)日勺射影所成的銳角，叫做這條直線和這

個平面所成H勺角

求斜線與平面所成角H勺思緒類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”

在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面口勺垂線，在解題時，注意挖

掘題設(shè)中兩個重要信息：（D斜線上一點到面的垂線

（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂

線

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角日勺定義：從一條直線出發(fā)的I兩個半平面所構(gòu)成的圖形叫做二面

角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二

面角的面

②二面角H勺平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個間內(nèi)分別

作率拿r棱的兩條射線，這兩條射線所成日勺角叫二面

角的平面角

③直二面角：平面角是直角U勺二面角叫直二面角兩相交平面假如所構(gòu)成

的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，假

如兩個平面垂直，那么所成的I二面角為直二面角

④求二面角的措施

定義法：在樓上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射

線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個

面FI勺交線所成的角為二面角的平面角

直線與方程

1、直線H勺傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。尤其地，當(dāng)直線與x軸平

行或重疊時，我們規(guī)定它H勺傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是（）。180。

2、直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°R勺直線，它口勺傾斜角時正切叫做這條直線的斜率。直線口勺斜率

常用攵表達(dá)。即4=lana。斜率反應(yīng)直線與軸曰勺攸斜程度

當(dāng)時，^>0當(dāng)。￡（90°,180°）時，k<0當(dāng)a=90°時，Z不存在

②過兩點的直線的J斜率公式：憶二2二&（王工乙）

注意下面四點：（1）當(dāng)*=超時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90。

（2）&與《，6日勺次序無關(guān)

（3）后來求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得

（4）求直線口勺傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到

3、直線方程

①點斜式：y-y=4"一為）直線斜率k,且過點（西方）

注意：當(dāng)直線的I斜率為0"時，2=（）,直線的方程是y二y

當(dāng)直線的斜率為90。時，直線口勺斜率不存在，它口勺方程不能用點斜式表達(dá)。但因/上每一點口勺橫

坐標(biāo)都等于修，因此它的方程是工二項

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為h直線在），軸上的截距為〃

③兩點式：——工=L（%wx,，x#力）直線兩點&,y）,（x,,），2）

%一,泡一百

④截矩式：h+2=1,其中直線/與x軸交于點30）,與y軸交于點（0力），即/與x軸、y軸的截距

ab

分別為

⑤一般式：Ax+8y+C=0（A,8不全為0）

注意：①各式的合用范圍②特殊的方程如：平行于X軸的直線：y=b（〃為常數(shù)）：平

行于），軸的直線：x=a（。為常數(shù)）

4、兩直線平行與垂直

當(dāng)/］：y=占尤+仇,乙：.=42八十”2時，［〃.=匕=網(wǎng)，仇工:2；h工12Ok&=7

注意：運用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率口勺存在與否

5、兩條直線的交點：/1：4x+q），+G=。4：42%+層），+。2=0相交

交點坐標(biāo)即方程組1人/+與）'+G=oH勺■一組解

A2x+B2y+C2=0

方程組無解<=>Z,///2方程組有無數(shù)解O/1與4重疊

6、兩點間距離公式：設(shè)8（馬,必）是平面直角坐標(biāo)系口的兩個點，

則IAB|=-內(nèi)）2+（%-行

7、點到直線距離公式：一點P（飛,打）到直線4:Ar+By+C=0口勺距離d=人以生二,|

^JA2+B2

8、兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解

圓的方程

1、圓H勺定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長H勺點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑

2、圓日勺方程

（1）原則方程（x—。）2+（），一。2二/，圓心（〃/）,半徑為r

（2）一般方程1*y2+Di+力,+產(chǎn)=0

當(dāng)。2+￡2-4/>0時，方程表達(dá)圓，此時圓心為（----）,半徑為

22

r=-y/D2+E2-4F

2

當(dāng)。2+七2-4/=0時，表達(dá)一種點；當(dāng)。2+七二一4產(chǎn)<0時，方程不表達(dá)任何圖形

（3）求圓方程的措施:

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一種圓需要三個獨立條件，若運用圓的原則方程，需

求出。、b、r；若運用一般方程，需規(guī)定出。、E、F,此外要注意多運用圓的幾何性質(zhì)：如

弦的中垂線必通過原點，以此來確定圓心的位置

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種狀況，基本上由下列兩種措施判斷：

(1)設(shè)直線/:Ax十By+C=0,圓C?—4)2十(),一刀2二/,圓心。(氏/?到/口勺距離為

\Aa+Bb+C\f貝|j有〃>廠o/與c方口離；d=廠<=>/與C#(切；"<廠<=>/與。/目交

(2)設(shè)直線/:Ax+&y+C=0,同C:(x—4+()，一〃)2=/,先將方程聯(lián)立消元，得到一種

一元二次方程之后，令其中H勺鑒別式為△,則有AvOo/與。相離

△=0=/與Cffl切△>0u>Z與C相交

注：假如圓心H勺位置在原點，可使用公式*o+?'。=非去解直線與圓相切口勺問題，其中

(%，%)

表達(dá)切點坐標(biāo)，「表達(dá)半徑

(3)過圓上一點的切線方程：

①圓/+_/=/,圓上一點為(%,先)，則過此點的J切線方程為*o+)%=/

②圓(X-〃)2+(y_與2=汽圓上一點為(題,比)，則過此點的切線方程為

(x-6z)(x0_Q)+(y-〃)()，0-h)=r

4、圓與圓日勺位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(4)之間日勺大小比較來確定

設(shè)圓C)：(x-t7])2+(>-仇丁=r2>。2：(x—〃2)2+(、一匕2)2=*

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定

當(dāng)d>R+r時兩圓外離，此時有公切線四條

當(dāng)4=寵+一時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條

當(dāng)R—〃v4vR+)?時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線

當(dāng)d二|/e—時，兩圓內(nèi)切，連心線通過切點，只有一條公切線

當(dāng)dv|R-r|時，兩圓內(nèi)含

當(dāng)d=0時，為同心圓

高一數(shù)學(xué)必修3

算法初步

1、秦九韶算法：通過一次式R勺反復(fù)計算逐漸得出高次多項式的值，對于一種〃次多項式，只要作〃次乘

法和〃次加法即可。體現(xiàn)式如下：

nn

anx十a(chǎn)n_xx~'+...+-=((((*x+an_[)x+an_2)x+…卜+a2)x+a{

2、理解算法的含義：一般而言，對于一類問題曰勺機械的I、統(tǒng)一日勺求解措施稱為算法，其意義具有廣泛的

含義

(I)描述算法有三種方式;：自然語言，流程圖，程序設(shè)計語言(木書指偽代碼)

(2)算法的特性：

①有限性：算法執(zhí)行日勺環(huán)節(jié)總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和次序必須含義確切，并且必須有輸出，輸出可以是一

種或多種。沒有輸出的算法是無意義的

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的I,即每一步都可以通過手工或者機器在一定期

間內(nèi)可以完畢，在時間上有一種合理的程度

(3)算法具有兩大要素：①操作：算術(shù)運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關(guān)系運算等

②控制構(gòu)造：次序構(gòu)造，選擇構(gòu)造，循環(huán)構(gòu)造

3、流程圖：(flowchart):是用某些規(guī)定的圖形、連線及簡樸11勺文字闡明表達(dá)算法及程序構(gòu)造口勺一種

圖

形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改

注意：(1)畫流程圖的時候一定要清晰,用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

(2)拿不準(zhǔn)的時候可以先根據(jù)構(gòu)造特點畫出大體的流程，反過來再檢查，例如：碰到判斷框時

往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一種臨界條件，畫好大體流程，然后檢查

這個條件與否對的，再考慮與否取等號H勺問題，這時候也就可以有幾種書寫措施了

⑶在輸出成果時，假如有多種輸出，一定要用流程線把所有口勺輸出總結(jié)到一起，一起終止到

結(jié)

束框

4、算法構(gòu)造：次序構(gòu)造、選擇構(gòu)造、循環(huán)構(gòu)造

(1)次序構(gòu)造(sequencestructure)：是一種最簡樸最基本『、J構(gòu)造它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和

反復(fù)執(zhí)行口勺操作，種次序構(gòu)造口勺各部分是按照語句出現(xiàn)的先后次序執(zhí)行的

(2)選擇構(gòu)造(selectionstructure)：或者稱為分支構(gòu)造。其中的I判斷框，書寫時重要是注意臨界

條件確實定。它有一種入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一種語句，不能同步執(zhí)行，其中的A,B兩

語句可以有一種為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立

時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其他語句

(3)循環(huán)構(gòu)造(cyclestructure)：它用來處理現(xiàn)實生活中H勺反復(fù)操作問題，分直到型(匕〃〃7)和當(dāng)

型兩種構(gòu)造(見上圖)。當(dāng)事先不懂得與否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(即不懂得循環(huán)次數(shù)時)

用當(dāng)型循環(huán)

5、基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseud。code),且是使用BASIC語言編寫時,是介于自然語

言和機器語言之間的文字和符號，是體現(xiàn)算法的I簡樸而實用的I好措施。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只

要書寫清晰，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，防止引起混淆。如：賦值語句中可以用

x=.y,也可以用x<-.y;表達(dá)兩變量相乘時可以用“*"，也可以用“x”

(1)賦值語句(assignmentstatement)：用<—表達(dá)，如：y,表達(dá)將值賦給犬，其中

x是一種變量，)，是一種與工同類型的變量或者體現(xiàn)式

一般格式：“變量一表達(dá)式”，有時在偽代碼口勺書寫時也可以用“x=y”，但此時的

“=”不是數(shù)學(xué)運算中的等號，而應(yīng)理解為一種賦值號

注：1)賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者體現(xiàn)式，右邊可以是常數(shù)或者體現(xiàn)式

“二”具有計算功能。如：3=。力+6=〃，都是錯誤時，而。=3*5—1,。=2〃+3

都是對於川、J

2)一種賦值語句一次只能給一種變量賦值。如I：a=b=c=2,。，"c=2都是錯誤的，而

。=3是對的日勺

(2)輸入語句(inputstatement):Read〃/表達(dá)輸入H勺數(shù)一次送給

輸出語句(outstatement)：Printx,y表達(dá)一次輸出運算成果

注：1)支持多種輸入和輸出，不過中間要用逗號隔開！

2)Read語句輸入日勺只能是變量而不是體現(xiàn)式

3)Print語句不能起賦值語句,意旨不能在Print語句中用“=”

4)Print語句可以輸出常量和體現(xiàn)式的值5)有多種語句在一行書寫時用“：”隔開

例題：當(dāng)x等于5時，Print"x=”；x在屏幕上輸出的成果是x=5

(3)條件語句(conditionalstatement)：

1)行If語句：IfAThenB注：沒有EndIf

2)塊If語句：注：①不要忘掉結(jié)束語句EndIf,當(dāng)有If語句嵌套使用時，有幾種

If,就必須要有幾種EndIf②ElseIf是對上一種條件的否認(rèn)，即已經(jīng)不屬于上面的

條件，此外ElseIf背面也要有EndIf③注意每個條件U勺臨界性，即某個值是屬于上一種

條件里，還是屬于下一種條件④為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下：

(4)循環(huán)語句(cyclestatement)：1)當(dāng)事先懂得循環(huán)次數(shù)時用For循環(huán)，雖然是N

次也是已知次數(shù)的循環(huán)2)當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定期用While循環(huán)

3)Do循環(huán)有詼種體現(xiàn)形式，與循環(huán)構(gòu)造的兩種循環(huán)相對應(yīng).

I

：ForIFrom初值to終值St叩步長WhileA

DoWhilepDo

闡明：1)循環(huán)是前測試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在處理

有關(guān)問題時，可以寫成〉循環(huán)，較為簡樸，由于它的條件相對好判斷

2)但凡能用卬出/e循環(huán)書寫日勺循環(huán)都能用For循環(huán)書寫

3)While循環(huán)和D。循環(huán)可以互相轉(zhuǎn)化

4)D。循環(huán)的I兩種形式也可以互相轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時條件要對應(yīng)變化

5)注意臨界條件的鑒定

高中數(shù)學(xué)必修4知識點

‘正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角。的頂點與原點重疊，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重疊，終邊落在第幾象限，則稱。為第幾象限角

第一象限角的集合為｛。卜?360＜。＜h360+90',攵wZ

第二象限角的集合為{方卜360+90°vh360°+18(T,，uZ}

第三象限角的J集合為{a360+180<a<h3600+270,k￡Z}

第四象限角日勺集合為{咻-360+270<。<公360+360',2"}

終邊在x軸上的角的集合為{a卜=h180,AEZ}

終邊在y軸上H勺角的集合為{a|a=h180+90。,AEZ}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{a,二女?90次￡Z}

3、與角a終邊相似的角的集合為{/忸=h360+a,丘Z}

4,已知a是第幾象限角，確定?(〃GN*)所在象限的措施：先把各象限均分”等份，再從x軸H勺正半軸

a

日勺上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則。本來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為一終邊所落在

n

R勺區(qū)域

5、長度等于半徑長的孤所對日勺圓心角叫做1弧度

6、半徑為r的圓日勺圓心角a所對弧的長為/,則角aR勺弧度數(shù)的絕對值是卜|=」

7、弧度制與角度制的換算公式：2萬=360Is=—1=|―]?57.3°

180\7T)

8、若扇形日勺圓心角為a(a為弧度制)，半徑為人弧長為/,周長為C,面積為S,則

I=r\a\,C=2r+/,S=—lr=~\a\r2

22

9、設(shè)。是一種任意大小H勺角，aH勺終邊上任意一點P歡I坐標(biāo)是(x,y),它與原點的距離是

/?(r=y)x2+y2>01,則sina=),cosa=—,tana=±(xw0)

1()、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限

正切為正，第四象限余弦為正

11、三角函數(shù)線：sina=MP,cosnr=OM,tan?=AT

12、同角三角函數(shù)H勺基本關(guān)系：(l)sin2a+cos2(z=l(sin2a=1-cos2a,cos2=1-sin2ar)

z_xsina(.sina、

(2)-------=tanasina=tan?cosa,cosa=-------

cosa\tana)

13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

(l)sin(2A〃+a)=sina,cos(2Z;r+a)=cosa,tan(2br+a)=tana(ZwZ)

（2）sin（）+a）=-sina,cos（-r+a）=-cosa?tan（〃+a）=tana

（3）sin（-cr）=-sina?cos（-cr）=cos?,tan（-a）=-tanc

（4）sin（"一a）=sina,cos（^-cr）=-cosez?tan（乃一a）=-tana

（71.

=cosa,cos—+a=-sina

（2）

口訣：奇變偶不變，符號看象限

14、函數(shù)），=sinx的圖象上所