高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市H7聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.三個不同的盒子中分別裝有3張不同的白色卡牌?2張不同的黑色卡牌?2張不同的綠色卡牌，某人從這三個盒子中任意取出1張卡牌，則不同的取法有（）A.3種 B.7種 C.10種 D.12種【答案】B【解析】根據(jù)題意，不同的取法有種，故選：B..2.質(zhì)點按規(guī)律做直線運動（位移單位：，時間單位：），則質(zhì)點在時的瞬時速度是其在時的瞬時速度的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，可得，則，，所以，即質(zhì)點在時的瞬時速度是其在時的瞬時速度的.故選：A.3已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由題可得，猜測是周期為3數(shù)列，下證周期為3.因為，故,故是周期數(shù)列且周期為3.故.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，得.故選：C.5.在公差大于的等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，得，所以，即，又，解得.故選：D.6.現(xiàn)需要給一個四棱錐的五個頂點涂色，有四種不同的顏色可供選擇，要求相鄰頂（在同一條棱上的兩個頂點）不能涂同一種顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（）A.48 B.72 C.96 D.144【答案】B【解析】若用四種顏色，則同色或同色，則涂色方案有種；若用三種顏色，則同色且同色，則涂色方案有種.綜上，不同的涂色方案有種.故選：B7.函數(shù)的大致圖象如圖所示，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】即為或，故或，由圖可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的解為；的解為，所以的解集為.故選：D.8.從中任選4個不同的數(shù)字組成一個四位數(shù)，若這個四位數(shù)是偶數(shù)，則個位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若個位上的數(shù)字是0，則這樣的四位偶數(shù)有個；若個位上的數(shù)字不是0，則這樣的四位偶數(shù)有個.故四位數(shù)是偶數(shù)的有156個.下面考慮這個四位數(shù)既滿足是偶數(shù)，又滿足個位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況：若個位?十位和百位上的數(shù)字都是偶數(shù)，則這樣的四位數(shù)有個；若個位?十位和百位上數(shù)字是1個偶數(shù)和2個奇數(shù)，則當(dāng)這個偶數(shù)是0時，這樣的四位數(shù)有個，當(dāng)這個偶數(shù)不是0時，這樣的四位數(shù)有個.綜上，滿足這兩個條件的四位數(shù)有60個.故所求的概率為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知離散型隨機變量的分布列如下表所示，則（）247A. B.C. D.【答案】BC【解析】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可得，解得，故A錯誤，B正確;由期望公式可得，故C正確;錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)在處取得極值0，則下列說法正確的是（）A.B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，D.過點且與曲線相切的直線有且只有一條【答案】ACD【解析】求導(dǎo)得，則，解得，，此時，由于，，，，所以滿足在處取得極大值，則，故A正確；則，因為當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，又因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，故B錯誤；當(dāng)時，，則，故C正確；設(shè)切點為，則切線方程為，又點在切線上，所以，整理得：，解得，所以過點且與曲線相切的直線有且只有一條，故D正確.故選：ACD11.已知是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.數(shù)列是等比數(shù)列D.若恒成立，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，由題可知，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，A正確；對于B，，，B正確；對于C，，所以，則，故不是等比數(shù)列，C錯誤.對于D，由題可知易知當(dāng)為奇數(shù)時，單調(diào)遞增且；當(dāng)為偶數(shù)時，單調(diào)遞減，且；若恒成立，則當(dāng)為奇數(shù)時，，所以；當(dāng)為偶數(shù)時，，所以.綜上，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】的展開式的通項公式，令，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：13.將本不同的書（包括本數(shù)學(xué)書和本英語書）平均分給甲?乙?丙三人，其中數(shù)學(xué)書和英語書不能分給同一個人，則不同的分配方法種數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】方法一：先從甲?乙?丙三人中選一人，這個人既不分?jǐn)?shù)學(xué)書，又不分英語書，有種分配方法，再將數(shù)學(xué)書和英語書分給剩下兩人一人一本，最后把其余本書平均分給這兩個人，有種分配方法，綜上，不同的分配方法種數(shù)是.方法二：各選兩本書與數(shù)學(xué)書?英語書組成一組，然后再分配給三人，則不同分配方法種數(shù)是.故答案為：14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即在上恒成立，所以在上恒成立，因為當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）證明：.解：（1）由題可知，則，解得.又，所以點在切線上，故.（2）由（1）知，定義域為.當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增.所以，故.16.已知是等差數(shù)列的前項和，且.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，可得，兩式相減可得：，所以，兩式相減可得：，即.當(dāng)時，，解得，所以，故通項公式為.（2），則，則，①①得，②①②得，故.17.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）證明：能被3整除.解：（1）由的展開式中的系數(shù)為，所以，即解得.（2）由，令，得，令，得，兩式相減得.（3）證明：當(dāng)，可得，，所以能被3整除.18.甲?乙兩人參加某答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每次由其中一人答題，若答對了，則此人繼續(xù)答題，若未答對，則換對方答題，每次答題系統(tǒng)都會隨機地給出一道文學(xué)題或科學(xué)題，給出文學(xué)題的概率為，給出科學(xué)題的概率為.已知甲答對文學(xué)題與科學(xué)題的概率分別為，，乙答對文學(xué)題與科學(xué)題的概率均為，且各輪答題正確與否相互獨立.由抽簽確定第1次答題的人選，第1次答題的人是甲?乙的概率各為.（1）已知第1次甲答題，求甲答對題目的概率；（2）求第2次答題的人是乙的概率；（3）求第次答題的人是甲的概率.解：（1）甲答對題目的概率為.（2）乙答對題目的概率為.記“第次答題的人是甲”為事件，“第次答題的人是乙”為事件，所以.（3）設(shè)，依題可知，，則，即.設(shè)，解得，則.又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即.19.己知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是的零點，若在上，恒成立，則稱是上的“好函數(shù)”.（1）若函數(shù)是上的“好函數(shù)”，求整數(shù)的值.（2）已知函數(shù).（i）討論的零點個數(shù)；（ii）已知是的零點，證明：是上的“好函數(shù)”.（1）解：易知在上單調(diào)遞增，且，則是唯一的零點.因為是上的“好函數(shù)”，且，所以在上恒成立，即.因為在上單調(diào)遞增，且，所以整數(shù).（2）解：（i）因為，且，所以的零點個數(shù)等價于函數(shù)在上的零點個數(shù).當(dāng)時，沒有零點.當(dāng)時，，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時，，此時沒有零點；當(dāng)時，，此時有一個零點；當(dāng)時，，又，所以結(jié)合的單調(diào)性可知，在和上各恰有一個零點，即在上存在一個零點，在上存在一個零點.綜上，當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，有兩個零點.（ii）證明：①若，由（i）可知，在上沒有零點，且