高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市電白區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.如圖，直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：直線的傾斜角為的補(bǔ)角，即為.故選：C.2.經(jīng)過點(diǎn)和的直線的傾斜角為，則（）A.3.5 B.8 C.-2 D.2【答案】D【解析】依題意，直線的斜率為，解得.故選：D.3.已知向量，，，則（）A.12 B.-12 C.9 D.-9【答案】A【解析】由題意，，則故選：A.4.已知，，三點(diǎn)，則的邊上的高線所在直線的斜率是（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】∵，∴.故選：B.5.袋子中有個大小質(zhì)地完全相同的球，其中個紅球、個黃球，從中有放回地依次隨機(jī)摸出個球，那么這個球同色的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)個紅球?yàn)?，個黃球?yàn)?，從中有放回地依次隨機(jī)摸出個球，樣本空間為：，則，事件“這2個球同色”，則，則，由古典概率公式，可得.故選：D.6.在平行六面體中，，，，是與的交點(diǎn)，以為空間的一個基底，則直線的一個方向向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故選：A.7.在長方體中，，，，在上．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．若平面的一個法向量為，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】設(shè)，則，，因平面的一個法向量為，則，即，解得，故，故=．故選：B.8.將一顆骰子先后鄭兩次，甲表示事件“第一次向上點(diǎn)數(shù)為1”，乙表示事件“第二次向上點(diǎn)數(shù)為2”，丙表示事件“兩次向上點(diǎn)數(shù)之和為8”，丁表示事件“兩次向上點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（）A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立【答案】B【解析】由題意知，，，，由于，所以甲與丁相互獨(dú)立．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.若是空間的一個基底，則下列說法正確的是（）A.，，不可能共面B.若，，則C.對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使D.，，一定能構(gòu)成空間的一個基底【答案】ACD【解析】對于A，由空間的基底定義，可知，，不可能共面，故A正確；對于B，如圖是底面為等邊三角形的直三棱柱，若則顯然有，，但，不滿足，故B錯誤；對于C，由空間向量基本定理，可知C正確；對于D，假設(shè)，，共面，則存在，使，則有，顯然方程組無解，即，，不共面，故，，一定能構(gòu)成空間的一個基底，D正確.故選：ACD.10.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，．則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題意得，則，，所以，，，，故選：ABD.11.已知空間中三個點(diǎn)A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，則下列說法正確的是（）A.與是共線向量B.與同向單位向量是C.在方向上的投影向量是D.平面ABC的一個法向量是【答案】BCD【解析】由題意得，，A：若與共線，設(shè)，則，方程無解，故不共線，A錯誤；B：與同向的單位向量是，B正確；C：在方向上的投影向量是，C正確；D：設(shè)平面ABC的一個法向量是，則，令，則，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線經(jīng)過點(diǎn)和，且方向向量，則值為_________．【答案】2【解析】，∴.13.設(shè)事件與相互獨(dú)立，，，則______，______．【答案】0.360.94【解析】因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，所以，又.14.如圖，兩條異面直線，所成的角為，在直線，上分別取點(diǎn)，和，，使，且．已知，，，則公垂線段的長為_________．【答案】或【解析】由已知，得或，設(shè)，因?yàn)?，?則，當(dāng)時，可得，解得：；當(dāng)時，可得，解得.綜上可知，即公垂線段的長為或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知：，，，，，求：（1），，；（2）解：（1）因?yàn)?，所以設(shè)，即，故，解得，，，∴，解得，；（2），.16.如圖，在正四棱柱中，，．點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在線段上，當(dāng)時，求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，又不在同一條直線上，.（2）解：由已知得，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.2023年11月，首屆全國學(xué)生（青年）運(yùn)動會在廣西舉行.10月31日，學(xué)青會火炬?zhèn)鬟f在桂林舉行，廣西師范大學(xué)有5名教師參與了此次傳遞，其中男教師2名，女教師3名．現(xiàn)需要從這5名教師中任選2名教師去參加活動．（1）寫出試驗(yàn)“從這5名教師中任選2名教師”的樣本空間；（2）求選出的2名教師中至少有1名女教師的概率．解：（1）將2位男教師記為，3位女教師記為，則樣本空間，共有10個樣本點(diǎn)．（2）設(shè)事件表示“選出的2名教師中至少有1名女教師”，則，中包含9個樣本點(diǎn)，故．18.正方體的棱長為2，為棱上一點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，指出點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由．（1）證明：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以，，，又為棱上一點(diǎn)，設(shè)，則，所以，，所以，所以，即.（2）解：由（1）建系可知，，，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，，，設(shè)面的法向量為，則即，化簡為，令，則.所以，所以點(diǎn)到平面的距離.（3）解：棱上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：由（1）建系可知，，，，，因?yàn)闉槔馍弦稽c(diǎn)，設(shè)，則所以，，，設(shè)面的法向量為，則即，令，則.所以，若平面，則，所以，解得，故在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.19.為普及抗疫知識、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識挑戰(zhàn)賽．每位選手挑戰(zhàn)時，主持人用電腦出題的方式，從題庫中隨機(jī)出道題，編號為，，，電腦依次出題，選手按規(guī)則作答，挑戰(zhàn)規(guī)則如下：①選手每答對一道題目得分，每答錯一道題目扣分；②選手若答對第題，則繼續(xù)作答第題；選手若答錯第題，則失去第題的答題機(jī)會，從第題開始繼續(xù)答題；直到道題目出完，挑戰(zhàn)結(jié)束；③選手初始分為分，若挑戰(zhàn)結(jié)束后，累計得分不低于分，則選手挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失?。x手甲即將參與挑戰(zhàn)，已知選手甲答對題庫中任何一題的概率均為，各次作答結(jié)果相互獨(dú)立，且他不會主動放棄任何一次作答機(jī)會，求：（1）挑戰(zhàn)結(jié)束時，選手甲共答對道題的概率；（2）挑戰(zhàn)結(jié)束時，選手甲恰好作答了道題的概率；（3）選手甲闖關(guān)成功的概率．解：設(shè)為選手答對題，其中.（1）設(shè)挑戰(zhàn)結(jié)束后，選手甲共答對道題為事件，選手甲共答對道即選手甲前題答對且第題答錯，所以，所以，由事件獨(dú)立性的定義得.（2）設(shè)挑戰(zhàn)結(jié)束時