人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)15.3.1等腰三角形第1課時(shí)

等腰三角形的性質(zhì)第十五章·軸對(duì)稱等腰三角形的性質(zhì)知識(shí)目標(biāo)1.理解等腰三角形的定義及其基本性質(zhì)。2.掌握等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)。3.學(xué)會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何證明和計(jì)算。能力目標(biāo)1.能夠通過折疊等腰三角形，直觀理解其對(duì)稱性和性質(zhì)。2.能夠運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何推理和證明。3.能夠解決與等腰三角形相關(guān)的實(shí)際問題，如計(jì)算角度和邊長(zhǎng)。素質(zhì)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。2.通過幾何圖形的對(duì)稱性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的感受。3.培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和細(xì)致的觀察能力。教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)等腰三角形的定義及其基本性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)及其證明等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的直觀理解和證明、計(jì)算角度和邊長(zhǎng)情景導(dǎo)入1合作探究2抽象概括3示范講解4課堂練習(xí)5課堂小結(jié)6情景導(dǎo)入合作探究抽象概念示范講解課堂練習(xí)課堂小結(jié)情景激趣生活中的等腰三角形情景導(dǎo)入合作探究抽象概念示范講解課堂練習(xí)課堂小結(jié)情景激趣回顧：等腰三角形等腰三角形頂角底角腰底邊有兩邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊兩腰的夾角叫做頂角腰與底邊的的夾角叫做底角情景導(dǎo)入合作探究抽象概念示范講解課堂練習(xí)課堂小結(jié)情景激趣思考：為什么是水平的？建筑工人在蓋房子時(shí)，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點(diǎn)系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點(diǎn)，就說(shuō)房梁是水平的，你知道為什么嗎？分析問題，尋找對(duì)應(yīng)如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點(diǎn)？分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ACB分析問題，尋找對(duì)應(yīng)如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點(diǎn)？分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ABCAB=AC等腰三角形分析問題，尋找對(duì)應(yīng)如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點(diǎn)？分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ABCD△ABC是軸對(duì)稱圖形嗎，對(duì)稱軸在哪兒？AD分析問題，尋找對(duì)應(yīng)觀察重合的線段和角，猜想等腰三角形的性質(zhì)分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ABCD相等的線段相等的角AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠BAD=∠CAD∠ADB=∠ADC等腰三角形的性質(zhì)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)怎么證明呢？性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)先變成符號(hào)形式已知：△ABC中，AB=AC．求證：∠B=∠C．作底邊BC的中線AD，則BD=CD在△ABD和△ACD中，ABCD

AB=AC，∵

BD=CD，

AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SSS）．∴∠B=∠C．這樣就證明了“等邊對(duì)等角”等腰三角形的性質(zhì)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ABCD∵△BAD≌△CAD∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA．∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．說(shuō)明中線AD是底邊BC的高∵△BAD≌△CAD∴∠BAD=∠CAD．∴AD平方∠BAC．說(shuō)明中線AD也是∠BAC的角平分線AD同時(shí)是底邊BC上的中線，高和角平分線．等腰三角形的性質(zhì)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ABCD性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成：等邊對(duì)等角）.性質(zhì)2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)寫成：三線合一）.等腰三角形的性質(zhì)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成：等邊對(duì)等角）.ABC符號(hào)語(yǔ)言：∵AB=AC∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）等腰三角形的性質(zhì)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ABC性質(zhì)2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)寫成：三線合一）.D符號(hào)語(yǔ)言：①∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD，∠BAD=∠CAD③∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度數(shù)．例1ABCD找出圖中所有相等的角；找一找，圖中有幾個(gè)等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC.△ABC,△ABD，△BCD.技巧：看到等腰，就把等角標(biāo)出來(lái)．例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度數(shù)．例1ABCDx⌒2x⌒⌒2x解∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對(duì)等角）.設(shè)∠A=x°,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x°,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x°,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)建筑工人在蓋房子時(shí)，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點(diǎn)系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點(diǎn)，就說(shuō)房梁是水平的，你知道為什么嗎？例2解由“三線合一”可知繩子一定會(huì)垂直房梁，而繩子肯定是豎直的，所以房梁是水平的．例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=100o,，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC．求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù)．例3解∵AD平分∠BAC（三線合一），而∠BAC=100°，∴∠BAD=∠CAD=100°÷2=50°∵∠ADB=90°（因?yàn)锳D⊥BC）∴∠B=40°（已求得）∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-40°=50°同理∠C=40°，∠CAD=50°⌒50°⌒50°⌒40°⌒40°等腰三角形的性質(zhì)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ABCD公式：在等腰三角形中：①頂角+2×底角=180°②頂角=180°－2×底角

對(duì)照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)1.在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù).72°30°

對(duì)照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)ABCD2.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度數(shù).⌒26°找一找，圖中有幾個(gè)等腰三角形？△ADC,△ABD.解：由AB=AD，得△ABD為等腰三角形，因此，∠ABD=∠ADB（等邊對(duì)等角）。

由AD=DC，得△ADC為等腰三角形，因此，∠DAC=∠C（等邊對(duì)等角）?！螪AC+∠C=77°，得∠C=38.5°。對(duì)照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)3.求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.ABCD

對(duì)照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)3.求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

法二：延長(zhǎng)AD至E，使得AD=DE，連接BE、CE，證明四邊形EBAC是矩形，即可作答ABCDE對(duì)照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)4.（1）等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為

；（2）等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為

；（3）等腰三角形一個(gè)角為120°,它的另外兩個(gè)角為

.75°,30°72°,72°或36°,108°30°，30°對(duì)應(yīng)中考情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)1.（2025·陜西·中考真題）

如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD為AB邊上的中線,DE⊥AC,則圖中與∠A互余的角共有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)互余的兩個(gè)角的和為90°【分析】該題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=70°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD=AD=BD,根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠DCA=∠A=20°,∠DCB=∠B=70°,再結(jié)合DE⊥AC根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CDE=70°,∠ADE=70°,最后根據(jù)余角的性質(zhì)求解即可.對(duì)應(yīng)中考情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)1.（2025·陜西·中考真題）

如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD為AB邊上的中線,DE⊥AC,則圖中與∠A互余的角共有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)互余的兩個(gè)角的和為90°【詳解】解:在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-90°-20°=70°,∵CD為AB邊上的中線，∴CD=AD=BD,∴∠DCA=∠A=20°,∠DCB=∠B=70°,∠CDB=2∠A=40°,∵DE⊥AC,∴∠CDE=180°-90°-∠DCA=70°,∠ADE=180°-90°-∠A=70°,∴圖中與∠A互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE,共有4個(gè),故選:C.對(duì)應(yīng)中考情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)2.（2025·四川涼山·中考真題）

如圖,AB=AC,AE=AD,點(diǎn)E在BD上,∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°,則∠ABC的度數(shù)為()A.56° B.60° C.62° D.64°【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角，先證明∠BAE=∠CAD,再利用SAS可證明△BAE≌△CAD得到∠ABE=∠ACD,利用三角形內(nèi)角和定理可證明∠BAO=∠CDO=56°，據(jù)此根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案.O對(duì)應(yīng)中考情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)2.（2025·四川涼山·中考真題）

如圖,AB=AC,AE=AD,點(diǎn)E在BD上,∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°,則∠ABC的度數(shù)為()A.56° B.60° C.62° D.64°

O對(duì)應(yīng)中考情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示