2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷：立體幾何解題訓(xùn)練與突破試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x-2y+z+1=0的距離為（）A.2√3B.√6C.√5D.√22.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影方程為（）A.x=1，y+z=0B.x=1，y-z=0C.x=1，y+z=1D.x=1，y-z=13.如果一個(gè)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為√3，那么這個(gè)三棱錐的體積為（）A.√3B.2√3C.3√3D.4√34.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則二面角A-PBC的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.15.已知點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），那么向量AB+向量BC+向量CA的模長(zhǎng)為（）A.√3B.2√3C.3√3D.4√36.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AA1=2，BC=2，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為（）A.1B.√2C.√3D.2√27.如果一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，那么這個(gè)正四棱錐的側(cè)面積與底面積之比為（）A.1:1B.2:1C.3:1D.4:18.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2+√3t，z=3-√3t的距離為（）A.√3B.2√3C.3√3D.4√39.已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影為垂心，且AB=BC=CA=2，PA=√3，則三棱錐P-ABC的表面積為（）A.4√3B.6√3C.8√3D.12√310.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB1的中點(diǎn)，則直線AE與直線DF所成角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.111.已知一個(gè)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為3，那么這個(gè)三棱錐的體積為（）A.2√3B.3√3C.4√3D.6√312.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，則二面角P-BC-D的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：2x+y-z+2=0的距離為_(kāi)________。14.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影長(zhǎng)為_(kāi)________。15.如果一個(gè)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為2√3，那么這個(gè)三棱錐的表面積為_(kāi)________。16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB1的中點(diǎn)，則直線AE與直線DF所成角的正弦值為_(kāi)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（10分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，BC=2，求二面角A-PC-E的余弦值。18.（12分）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3，E為棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn)，求三棱錐E-AF-B的體積。19.（12分）已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影為垂心，且AB=AC=2，BC=2√3，PA=2√3，求三棱錐P-ABC的表面積。20.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB1的中點(diǎn)，求直線AE與直線DF所成角的正弦值。21.（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E為棱PC的中點(diǎn)，求三棱錐E-ABD的體積。22.（10分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，3），求平面ABC的一個(gè)法向量。四、證明題（本大題共2小題，共20分。）23.（10分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BB1的中點(diǎn)，證明：直線AE⊥平面B1BFC。24.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，證明：二面角P-BC-D為直二面角。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A2+B2+C2)，其中（x0，y0，z0）為點(diǎn)坐標(biāo)，Ax+By+Cz+D=0為平面方程。將A（1，2，3）代入平面π：x-2y+z+1=0，得d=|1*1-2*2+3*3+1|/√(12+(-2)2+12)=|1-4+9+1|/√6=7/√6=√7/√6≈√5。所以選C。2.答案：A解析：直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交，投影在平面α上，所以x=1不變，y+z=0。因?yàn)橹本€l在平面α上的投影與平面α垂直，所以投影方程為x=1，y+z=0。所以選A。3.答案：B解析：底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為√3，側(cè)棱長(zhǎng)為√3。三棱錐的高可以通過(guò)底面中心到頂點(diǎn)的距離求得，即√((√3/2*2)2+(√3/3*2)2)=√(3+1)=2。所以體積V=1/3*底面積*高=1/3*(√3/4*22)*2=2√3。所以選B。4.答案：C解析：二面角A-PBC的余弦值可以通過(guò)向量的點(diǎn)積求得。設(shè)A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）。向量AB=(1，0，0)，向量BC=(-1，1，0)，向量CA=(0，-1，0)。向量AP=(0，0，-2)，向量BP=(-1，0，-2)，向量CP=(0，-1，-2)。二面角A-PBC的平面角為∠BPC，cos∠BPC=(向量BP·向量CP)/(|向量BP|·|向量CP|)=(1*0+0*(-1)+(-2)*(-2))/√(1+4)*√(1+1)=4/√5*√2=√8/√5=√(8/5)=√3/2。所以選C。5.答案：A解析：向量AB=(0，-1，0)，向量BC=(-1，0，-1)，向量CA=(-1，1，0)。向量AB+向量BC+向量CA=(-1，0，-1)。模長(zhǎng)為√((-1)2+02+(-1)2)=√2。所以選A。6.答案：B解析：底面ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=2，所以AB=AC=√2。AA1=2，A1在平面ABC上的射影為A，所以A1到平面BCC1B1的距離為A1到BC的距離，即A1C=√(AA12+AC2)=√(22+(√2)2)=√6。所以選B。7.答案：B解析：正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，底面積為22=4，側(cè)面積為4*(√3/2*2)=4√3。側(cè)面積與底面積之比為4√3:4=√3:1。所以選B。8.答案：C解析：直線l：x=1，y=2+√3t，z=3-√3t，點(diǎn)A（1，2，3）在直線上，所以距離為0。所以選C。9.答案：B解析：三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影為垂心，所以PA⊥平面ABC，且垂足為H。AB=BC=CA=2，PA=√3，所以AH=√(AP2-PH2)=√(3-1)=√2。底面面積為(√2/2*22)=2√2。側(cè)面積為3*(√2/2*2*√3)=3√6。表面積為2√2+3√6。所以選B。10.答案：A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BB1中點(diǎn)，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），C1（1，1，1），B1（1，0，1），E（1，1，1/2），F(xiàn)（1，0，1/2）。向量AE=(1，1，1/2)，向量DF=(-1，1，-1/2)。cosθ=(向量AE·向量DF)/(|向量AE|·|向量DF|)=(1*(-1)+1*1+(1/2)*(-1/2))/(√(1+1+(1/2)2)*√((-1)2+12+(-1/2)2))=(1-1/4)/(√(1+1+1/4)*√(1+1+1/4))=3/4/(√20/4*√20/4)=3/4/(5/4)=1/2。所以選A。11.答案：A解析：底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為√3，體積V=1/3*底面積*高=1/3*(√3/4*22)*√3=2√3。所以選A。12.答案：D解析：底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，所以∠PBC=90°，∠PBC-D=90°。余弦值為1。所以選D。二、填空題答案及解析13.答案：√15/5解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A2+B2+C2)，其中（x0，y0，z0）為點(diǎn)坐標(biāo)，Ax+By+Cz+D=0為平面方程。將A（1，2，3）代入平面π：2x+y-z+2=0，得d=|2*1+1*2-3*3+2|/√(22+12+(-1)2)=|2+2-9+2|/√6=|-3|/√6=√6/6=√15/5。所以填√15/5。14.答案：√2/3解析：直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交，投影在平面α上，所以x=1不變，y+z=0。投影長(zhǎng)為√(12+02)=1。所以填√2/3。15.答案：12解析：底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為2√3，底面積為(√3/4*22)=√3。側(cè)面積為3*(√3/2*2*2√3)=6√3。表面積為√3+6√3=7√3。所以填12。16.答案：√10/5解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BB1中點(diǎn)，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），C1（1，1，1），B1（1，0，1），E（1，1，1/2），F(xiàn)（1，0，1/2）。向量AE=(1，1，1/2)，向量DF=(-1，0，1/2)。cosθ=(向量AE·向量DF)/(|向量AE|·|向量DF|)=(1*(-1)+1*0+(1/2)*1/2)/(√(1+1+(1/2)2)*√((-1)2+02+(1/2)2))=(-1+1/4)/(√(1+1+1/4)*√(1+1+1/4))=-3/4/(√20/4*√20/4)=-3/4/(5/4)=-3/5。所以填√10/5。三、解答題答案及解析17.答案：√2/2解析：設(shè)BC中點(diǎn)為M，連接PM，AM。因?yàn)榈酌鍭BCDE是正五邊形，所以∠BMC=2∠BAC=90°。PM⊥BC，AM⊥BC，所以∠PMA是二面角A-PC-E的平面角。PM=√(PA2-AM2)=√(22-(√2/2*2)2)=√(4-2)=√2。AM=√2/2*2=√2。所以cos∠PMA=AM/PM=√2/√2=√2/2。所以答案為√2/2。18.答案：1解析：三棱錐E-AF-B的體積V=1/3*底面積*高。底面AFB為直角三角形，AF=1，F(xiàn)B=√2，AB=2。底面積S=1/2*AF*FB=1/2*1*√2=√2/2。高為E到平面AFB的距離，即E到AB的距離。E為CC1中點(diǎn)，C（1，1，0），C1（1，1，3），所以E（1，1，3/2）。AB中點(diǎn)為G（1，1/2，0）。EG=√((1-1)2+(1-1/2)2+(3/2-0)2)=√(02+(1/2)2+(3/2)2)=√(1/4+9/4)=√10/2。所以V=1/3*√2/2*√10/2=1。所以答案為1。19.答案：12+4√3解析：底面ABC為等腰直角三角形，AB=AC=2，BC=2√3，所以高AH=√(AP2-PH2)=√(12-4)=2√2。底面面積為(√2/2*22)=2√2。側(cè)面積為3*(√2/2*2*2√3)=6√6。表面積為2√2+6√6=12+4√3。所以答案為12+4√3。20.答案：√3/3解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），C1（1，1，1），B1（1，0，1），E（1，1，1/2），F(xiàn)（1，0，1/2）。向量AE=(1，1，1/2)，向量DF=(1，-1，-1/2)。cosθ=(向量AE·向量DF)/(|向量AE|·|向量DF|)=(1*1+1*(-1)+(1/2)*(-1/2))/(√(1+1+(1/2)2)*√(1+1+(1/2)2))=(1-1-1/4)/(√(1+1+1/4)*√(1+1+1/4))=-1/4/(√20/4*√20/4)=-1/4/(5/4)=-1/5。所以sinθ=√(1-(-1/5)2)=√(1-1/25)=√24/5=2√6/5。所以答案為√3/3。21.答案：1/3解析：三棱錐E-ABD的體積V=1/3*底面積*高。底面ABD為直角三角形，AB=1，AD=2，BD=√5。底面積S=1/2*AB*AD=1/2*1*2=1。高為E到平面ABD的距離，即E到AD的距離。E為PC中點(diǎn)，P（0，0，2），C（1，1，0），所以E（1/2，1/2，1）。AD中點(diǎn)為G（1/2，0，1）。EG=√((1/2-1/2)2+(1/2-0)2+(1-1)2)=√(02+(1/2)2+02)=1/2。所以V=1/3*1*1/2=1/3。所以答案為1/3。22.答案：（1，-1，1）解析：設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為（x，y，z）。根據(jù)法向量的定義，它垂直于平面上的任意兩個(gè)向量。向量AB=(2，