34.解三角形中常見幾何構型一．基本原理1.正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有，(為的外接圓的半徑).2.正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；④.3.余弦定理：在中，有，推論：；變形：.4.解三角形中，用正（余）弦定理主要解決以下類型：（1）知道兩邊及其一邊所對角，正弦定理解另一角，再用內角和定理解最后那個角，然后正弦（余弦）解最后那個邊，且需注意以下情形的討論：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)一解兩解一解一解無解（2）知道兩邊及其夾角，余弦定理解第三邊后再用正弦定理解角；（3）知道兩角一邊，先內角和定理解第三個角，再正弦定理逐次解邊.5.三角形面積公式：．6.解三角形所涉及的其它知識（1）三角形內角和定理（2）三角形邊角不等關系：.7.誘導公式在中的應用（1）；（2）8.對邊對角結構：由余弦定理：變式可得：此公式在已知的情況下，可得到和的等式，配合均值不等式，這樣就可實現(xiàn)周長或者面積的最值.在中,設.由余弦定理知 所以(當且僅當時等號成立).因此,即 又因為,當且僅當時等號成立,所以即,故,從而,即 下面兩個結論可做了解，并非一定熟記，但有意識的話會有助于做題9.正余弦平方差公式，.10.射影定理：在中，11.爪型三角形（1）.爪型三角形的基本幾何特征:如圖，.（2）若已知頂角的大小，且時，若線段長度已知，可利用向量共線的基本結論求得，此時，根據(jù)向量共線的基本結論：，再平方即可的到一組有用的關系，特別地，若，得到中線公式.（3）.等面積思想.設為的平分線，則設，那么有等面積可得：，進一步可得：，于是可以看到，倘若我們知道角與角平分線的長度，則可得到的轉化關系二．考情研究★考情1.關注解三角形中的恒等變換與邊角轉換例1.(2022新高考全國II卷)記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．（1）求面積；（2）若，求b．解析：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，．★考情2.爪型三角形中的幾何特征例2.（23新高考2）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．（1）若，求；（2）若，求．解析：（1）在中，因為為中點，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.（2）方法1：（雙余弦）在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：（中線的向量表達）在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.．故答案為：．★考情3.對邊對角問題例3.（2020全國2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2）方法1：（化邊配均值不等式），即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.方法2.（化角用三角函數(shù)求范圍）設，則，根據(jù)正弦定理可，所以，當且僅當，即時，等號成立．此時周長的最大值為．例4.（2024新課標全國2卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長．解析：（1）方法1（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法2（同角三角函數(shù)的基本關系）由，又，消去得到：，解得，又，故（2）由題設條件和正弦定理，又，則，進而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為★考情4.解三角形中的范圍問題方法1.消角構造三角函數(shù)例5.（2020浙江卷）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解析：（1）由結合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（2）結合（1）的結論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.在正弦定理中：此時，我們并非一定需要對邊對角，實際上，只要知道任意一邊和一角，即可結合內角和定理得到一組邊角定量關系，下面我通過例題予以分析.例6.（2019全國3卷）的內角對邊為，.（1）.求角的值；（2）.若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．解析：（1）根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.（2）因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是在這一部分中，我們經(jīng)常會看到諸如：等結構，這種類型當然還可利用正弦定理轉化為純角結構，所以，我們只需要做的就是消元，把三個角消成一個角，或用均值不等式，或用一元函數(shù)處理.例7.（2022新高考1卷）記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．解析：（1）由已知條件得：所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，．2）由（1）知，則，，，由正弦定理當且僅當時等號成立，所以的最小值為．方法2.齊二次結構與余弦定理求最值余弦定理的最大特色就是齊次分式結構，同時，在上的嚴格單調性保證了我們可以利用余弦函數(shù)的最值來找到角的最值.若，倘若再能找到這樣一個約束條件，代入余弦定理消掉，即可得到一個均值結構，利用均值不等式即可求得最值，下面通過例題予以分析.例8.記的內角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求的值：（2）求的最大值．解析：（1）由余弦定理可得，代入，得到，化簡得，即.由正弦定理可得，即，展開得，即，所以．（2）由得，故，當且僅當，即時等號成立．因為，所以，所以的最大值為.三．對點訓練與考情預測1．在中，，，，則（

）A． B．4 C． D．解析：，，，所以，解得，，因為，所以，.故選：C.2．在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．解析：由余弦定理可得：，由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（

）A． B． C． D．解析：因為，所以，進而可得因為，當且僅當時等號成立，所以又因為，所以角A的最大值為4.（2017全國新課標2卷）的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，則_______.解析：解法1：，即，因為，所以，故，即.解法2：由射影定理，，故，結合知.5．（2025年四川成都二模）在中，角的對邊分別是，已知.（1）求；（2）若，且的周長為，求.解析：（1）在中，由及正弦定理得，而，則，又，所以或.（2）由的周長為，，得，在中，由余弦定理得，即，則，當時，，于是，，此方程無解；當時，，于是，解得或，所以當時，無解；當時，或.8．（2025年江西南昌一模）在中，角的對邊成公差為2的等差數(shù)列．（1）若為銳角三角形，求a的取值范圍；（2）若，求的面積．解析：（1）∵是公差為2的等差數(shù)列，∴，由三角形三邊關系得，，∴，又∵為銳角三角形，∴最大角，∴，即，∴，即，解得或，∴.（2）∵，∴由正弦定理可得，∴，解得，則，∴，∴，∴．7．（2025年湖北七市州高三聯(lián)考）在中，內角的對邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若為邊上一點（異于端點），，求的取值范圍.解析：（1）在中，因為，所以，得到，據(jù)正弦定理可得，則，由余弦定理得，因為，所以.（2）在中，因為，所以，則，由正弦定理得，則，又因為，所以，則，結合函數(shù)性質可得，故的取值范圍為.5．（2025年廣東一模）已知的內角所對的邊分別為，且．（1）證明：；（2）若的面積為，求．解析：（1）根據(jù)正弦定理設，則，代入，得，即，整理得，由，得，所以；（2）由面積公式得，由正弦定理得，整理得，由，得，由（1）得，由平方關系得解得或因為，所以，