2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講》含答案21.導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線的綜合性壓軸21.導(dǎo)數(shù)與幾何背景的結(jié)合一．新題速遞例1.（2024年四川省預(yù)賽）已知為正實(shí)數(shù),若曲線與橢圓交于、兩個(gè)不同的點(diǎn),求證:直線的斜率.解析：設(shè)，其中.注意到對(duì)數(shù)不等式:若,則.取，得.①將和相減，得②.再將和相加，得③.注意到:時(shí)，由知，結(jié)合①②③知：，解得.在這里用到了指數(shù)均值不等式，它是很多導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線綜合問(wèn)題的秘密武器，下面給出詳細(xì)介紹：1.指數(shù)均值不等式.若，則.證明：（方法1.雙變量消元直接證明）欲證，兩邊同除以，即證，即證，即證令即證不等式當(dāng)時(shí)恒成立.設(shè)，∴而，即，∴，∴在上是減函數(shù)，又∴恒成立，得證.接著證明右邊的不等式，同樣設(shè)等價(jià)于.令，則，兩邊同時(shí)除以得1）.設(shè)，再求（因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增.由于，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，1），即0，所以，也就是.綜上，不等式得證.（方法2.對(duì)數(shù)均值不等式轉(zhuǎn)化）兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：，對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式），取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．證明如下：不失一般性，可設(shè)．（1）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.（2）再證：……②不等式②（）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式②成立；綜合（1）（2）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．設(shè)，則，將代入對(duì)數(shù)均值不等式中，可得，即把代入.綜上，由對(duì)數(shù)均值不等式可得到指數(shù)均值不等式.例2．已知函數(shù)的圖象與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn).是上的點(diǎn)，在處的切線交軸于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于在處的切線交軸于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于，重復(fù)上述操作，依次得到.（1）求；（2）記直線的斜率為.（i）設(shè)的面積分別為，證明：；（ii）若，求證：.解析：（1）由題意在處的切線方程為；令，可得，即.由可知在處的切線方程為；令可得，即；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）（i）設(shè)，由題意不同時(shí)為0，不妨令且；.由（1）可知；則.要證，即證，即證；令，即證，再令，即證，即證.構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增；即.所以得證.即.（ii）由（i）可知，，所以.因?yàn)?，得；即，?得，因?yàn)?，所以；所?所以.即.當(dāng)時(shí)，有，即；所以，從而.三．習(xí)題演練1.（24屆深圳中學(xué)高三檢測(cè)）若曲線和圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，記直線的斜率為.（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.解析：我們來(lái)考慮曲線和圓相切的情形，假設(shè)其相切于點(diǎn)，根據(jù)圓在的切線方程為：，對(duì)于曲線而言,過(guò)點(diǎn)的切線為即，故，代入，解得:又點(diǎn)在曲線上,解得要相交于兩點(diǎn),故向上平移,所以，此時(shí)，切線的斜率為.可以看到，這個(gè)題目的幾何背景就是這樣一個(gè)公切線背景.當(dāng)然，代數(shù)證明方法較多，可見(jiàn)相關(guān)公眾號(hào).（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）2．（23屆青島高三二模）已知函數(shù)，圓．（1）若，寫出曲線與圓C的一條公切線的方程(無(wú)需證明)；（2）若曲線與圓C恰有三條公切線．（i）求b的取值范圍；（ii）證明：曲線上存在點(diǎn)，對(duì)任意，．解析：（1）設(shè)f(x)的切線的切點(diǎn)為，∵，∴切線斜率為，∴切線方程為，即，當(dāng)b＝1時(shí)，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)f(x)的切線也是圓的切線時(shí)，，即，易知是該方程的一個(gè)根，此時(shí)切線方程為．（2）（i）設(shè)曲線與圓公切線的方程為(顯然，l斜率存在)，∵與曲線相切，故，∴切點(diǎn)為，，即，即，∵與圓相切，∴，即，∴，令，則，設(shè)，則，易證明：．①當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∴，∵，，；∴存在，，使得．∴，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∵，且，又∵，且，∴存在，使得，∴當(dāng)時(shí)，曲線與圓恰有三條公切線；（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）②當(dāng)時(shí)，∵；∴存在，使得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∴，且，∴不可能存在三個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，；∴在上單調(diào)遞減，最多一個(gè)零點(diǎn)；∴最多一個(gè)極值點(diǎn)，不可能有三個(gè)零點(diǎn)；綜上，若曲線與圓恰有三條公切線，則的取值范圍為．（ii）函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解，即曲線和曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象，顯然存在，使得成立，∴對(duì)任意恒成立．3．（24屆高三溫州二模）如圖，對(duì)于曲線，存在圓滿足如下條件：①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；則稱圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑．（1）求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；（2）求曲線的曲率半徑的最小值；（3）若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．解析：（1）記，設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．則，，故，，即，所以拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為；（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為．則，由知，，所以，故曲線在點(diǎn)處的曲率半徑，所以，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．（3）函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，故，由題意知：

令，則有，所以，即，故．因?yàn)?，所以，所以，所以?2.導(dǎo)數(shù)與概率綜合壓軸隨著概率與統(tǒng)計(jì)的地位越來(lái)越重要，未來(lái)不排除導(dǎo)數(shù)與概率綜合去命制壓軸題目，作為最后一節(jié)，我們賞析一下概率與導(dǎo)數(shù)壓軸題.一．基本原理：似然估計(jì)與概率最值1.已知函數(shù)：輸入有兩個(gè)：表示某一個(gè)具體的數(shù)據(jù)；表示模型的參數(shù)，如果是已知確定的，是變量，這個(gè)函數(shù)叫做概率函數(shù)，它描述對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，其出現(xiàn)概率是多少.如果是已知確定的，是變量，這個(gè)函數(shù)叫做似然函數(shù)，它描述對(duì)于不同的模型參數(shù)，出現(xiàn)這個(gè)樣本點(diǎn)的概率是多少.極大似然估計(jì)，通俗理解來(lái)說(shuō)，就是利用已知的樣本結(jié)果信息，反推最具有可能（最大概率）導(dǎo)致這些樣本結(jié)果出現(xiàn)的模型參數(shù)值.換句話說(shuō)，極大似然估計(jì)提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)估模型參數(shù)的方法，即：“模型已定，參數(shù)未知”.2.二項(xiàng)分布的兩類最值（1）當(dāng)給定時(shí)，可得到函數(shù)，這個(gè)是數(shù)列的最值問(wèn)題..分析：當(dāng)時(shí)，，隨值的增加而增加；當(dāng)時(shí)，，隨值的增加而減少.如果為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值.如果為非整數(shù)，而取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值.注：在二項(xiàng)分布中，若數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量等于期望時(shí)，概率最大.（2）當(dāng)給定時(shí)，可得到函數(shù)，這個(gè)是函數(shù)的最值問(wèn)題，這可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與最值點(diǎn).分析：當(dāng)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，.又當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，從而無(wú)最小值.3．超幾何分布的概率最值將從件產(chǎn)品中取出件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為.其中，次品出現(xiàn)次的可能為.令，則所求概率為即.令則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值.二．典例分析例1.（24屆杭州市高三二模T19）在概率統(tǒng)計(jì)中，常常用頻率估計(jì)概率．已知袋中有若干個(gè)紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計(jì)值為．（1）若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機(jī)摸取3個(gè)球，設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為，則．（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）注：表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為時(shí)，摸出紅球次數(shù)為的概率）（?。┩瓿上卤恚?123（ⅱ）在統(tǒng)計(jì)理論中，把使得的取值達(dá)到最大時(shí)的，作為的估計(jì)值，記為，請(qǐng)寫出的值．（2）把（1）中“使得的取值達(dá)到最大時(shí)的作為的估計(jì)值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計(jì)方法稱為最大似然估計(jì)．具體步驟：先對(duì)參數(shù)構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)，再對(duì)其關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計(jì)值．已知的參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計(jì)值，并且說(shuō)明頻率估計(jì)概率的合理性．解（1）因?yàn)椋缘闹禐榛颍á。┍砀袢缦?123（ⅱ）由題知．當(dāng)或1時(shí)，參數(shù)的概率最大；當(dāng)或3時(shí)，參數(shù)的概率最大．所以（2）對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，，因此似然方程為，解上面的方程，得，因此，用最大似然估計(jì)的參數(shù)與頻率估計(jì)概率的是一致的，故用頻率估計(jì)概率是合理的．例2.（2021新高考2卷）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）解析：（2）設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故.，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1.例3.（24屆湖北省部分學(xué)校聯(lián)考）有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠裼懈玫?，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會(huì)遇到顆麥穗（假設(shè)顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現(xiàn)有如下策略：不摘前顆麥穗，自第顆開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)，該學(xué)生摘到那顆最大的麥穗的概率為.（取）（1）若，，求；（2）若取無(wú)窮大，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.解析：（1）這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有種情況.要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況：①最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有種情況.②最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有種情況.故所求概率為.（2）記事件表示最大的麥穗被摘到，事件表示最大的麥穗在麥穗中排在第顆.因?yàn)樽畲蟮哪穷w麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，所以.以給定所在位置的序號(hào)作為條件，.當(dāng)時(shí)，最大的麥穗在前顆麥穗之中，不會(huì)被摘到，此時(shí).當(dāng)時(shí)，最大的麥穗被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前顆麥穗中的最大的一顆在前顆麥穗中時(shí)，此時(shí).由全概率公式知.令函數(shù)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.所以當(dāng)，時(shí)取得最大值，最大值為，此時(shí)，即的最大值為，此時(shí)的值為.例4.（2011全國(guó)卷）（1）設(shè)函數(shù)，證明：時(shí)，；（2）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為．證明：.解析：（1），當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，又，因此時(shí)， .（2）依題，又，所以由（1）知：當(dāng)時(shí)，，因此在上式中，令，則，即，所以三．習(xí)題演練1．為了估計(jì)一批產(chǎn)品的不合格品率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本容量為的樣本，定義，于是，，，記（其中或1，），稱表示為參數(shù)的似然函數(shù)．極大似然估計(jì)法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A，B，C，…，若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大.極大似然估計(jì)是一種用給定觀察數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)估模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，即“模型已定，參數(shù)未知”，通過(guò)若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用試驗(yàn)結(jié)果得到某個(gè)參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大．根據(jù)以上原理，下面說(shuō)法正確的是（

）A．有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱有99個(gè)白球1個(gè)黑球，乙箱有1個(gè)白球99個(gè)黑球．今隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺?，結(jié)果取得白球，那么該球一定是從甲箱子中抽出的B．一個(gè)池塘里面有鯉魚和草魚，打撈了100條魚，其中鯉魚80條，草魚20條，那么推測(cè)鯉魚和草魚的比例為4:1時(shí)，出現(xiàn)80條鯉魚、20條草魚的概率是最大的C．D．達(dá)到極大值時(shí)，參數(shù)的極大似然估計(jì)值為【詳解】極大似然是一種估計(jì)方法，A錯(cuò)誤；設(shè)鯉魚和草魚的比例為，則出現(xiàn)80條鯉魚，20條草魚的概率為，設(shè)，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，最大，故B正確；根據(jù)題意，（其中或1，），所以，可知C正確；令，解得，且時(shí)，時(shí)，故在上遞增，在上遞減，故達(dá)到極大值時(shí)，參數(shù)的極大似然估計(jì)值為，故D正確.故選：BCD2．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為（當(dāng)為離散型隨機(jī)變量時(shí)，為的概率），其中為未知參數(shù)，極大似然法是求未知參數(shù)的一種方法.在次隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測(cè)值分別為，，…，，定義為似然函數(shù).若時(shí)，取得最大值，則稱為參數(shù)的極大似然估計(jì)值.(1)若隨機(jī)變量的分布列為123其中.在3次隨機(jī)試驗(yàn)中，的觀測(cè)值分別為1，2，1，求的極大似然估計(jì)值.(2)某魚池中有魚尾，從中撈取50尾，做好記號(hào)后放回魚塘.現(xiàn)從中隨機(jī)撈取20尾，觀測(cè)到做記號(hào)的有5尾，求的極大似然估計(jì)值.(3)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，.若，，…，是的一組觀測(cè)值，證明：參數(shù)的極大似然估計(jì)值為.【詳解】（1）依題意得：，所以.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以時(shí)，取得最大值，所以的極大似然估計(jì)值為.（2）依題意得：，所以.令，得，令，得，又，所以…所以或200時(shí)，取得最大值，所以的極大似然估計(jì)值為或200.（3）依題意得：所以令，，則，令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取到最大值.即時(shí)，取得最大值，即取得最大值.所以參數(shù)的極大似然估計(jì)值為.3．函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，曲線上兩點(diǎn)，連線斜率記為k，求證：；(3)盒子中有編號(hào)為1~100的100個(gè)小球（除編號(hào)外無(wú)區(qū)別），有放回的隨機(jī)抽取20個(gè)小球，記抽取的20個(gè)小球編號(hào)各不相同的概率為p，求證：．【詳解】（1）定義域?yàn)椋?，?duì)于方程，，當(dāng)，即時(shí)，，，在上單增，當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩不等根，，，而，，所以當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，在上單增；當(dāng)時(shí)，，或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上單增，在上單減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單增；當(dāng)時(shí)，在和上單增，在上單減；（