第19講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立(能成立)問題第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用202X/01/01匯報(bào)人：研題型·能力養(yǎng)成01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1f(x)＜g(x)型

(2024·邵陽二聯(lián)節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝m(x＋1)ex，m＞0．若對(duì)任意x∈(－1，＋∞)，lnf(x)≤2ex恒成立，求m的最大值．1【解答】

lnf(x)≤2ex對(duì)?x∈(－1，＋∞)恒成立，即lnm≤2ex－ln(x＋1)－x對(duì)?x∈(－1，＋∞)恒成立．令g(x)＝2ex－ln(x＋1)－x，x∈(－1，＋∞)，則只需lnm≤g(x)min即可．(1)若a＞f(x)對(duì)?x∈D恒成立，則只需a＞f(x)max；(2)若a＜f(x)對(duì)?x∈D恒成立，則只需a＜f(x)min；(3)?x∈D，使得a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；(4)?x∈D，使得a＜f(x)能成立?a＜f(x)max．變式1

(2025·濰坊期初)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－x－1．(1)若f(1)＝e－2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；【解答】因?yàn)閒(x)＝ex－ax2－x－1，f(1)＝e－2，所以f(1)＝e－a－1－1＝e－a－2＝e－2，所以a＝0，所以f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1．令f′(x)＝ex－1＝0，得x＝0，易知當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．變式1

(2025·濰坊期初)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－x－1．(2)若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】目標(biāo)2f(x1)＜g(x2)型設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R．若對(duì)?x2∈[0，＋∞)，都?x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的最大值．2【解答】對(duì)?x2∈[0，＋∞)，都?x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，等價(jià)于f(x1)min≤g(x2)min．當(dāng)x＜1時(shí)，x－1＜0，ex－e＜0，所以f(x)＞0；當(dāng)x≥1時(shí)，x－1≥0，ex－e≥0，所以f(x)≥0，所以f(x)≥0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)min＝0，所以對(duì)?x2∈[0，＋∞)，g(x2)≥0恒成立，即ex－ax－1≥0(x≥0)．詳見第3講目標(biāo)4的總結(jié)提煉．目標(biāo)3f(x1，x2)＜g(x1，x2)型3【解答】1．(2024·荊州模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；【解答】1．(2024·荊州模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx．【解答】配套精練02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題1．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，不等式x－lnx＋1＞a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)【解析】B【解析】【答案】A【解析】【答案】D【解析】【答案】C【解析】(－∞，8]【解析】【解析】(－∞，0]【解答】(1)討論f(x)的最值；【解答】【解答】B組滾動(dòng)小練10．(2025·南昌期初)算術(shù)基本定理也稱素因數(shù)分解定理，它是這樣描述的：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N，可以唯一分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么這個(gè)乘積形式是唯一的．記N＝pa11·pa22·…·pakk(其中pi是素?cái)?shù)，p1＜p2＜…＜pk，i，k∈N*,1≤i≤k，ai是正整數(shù))，這樣的分解稱為自然數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)素?cái)?shù)分解式，則60的標(biāo)準(zhǔn)素?cái)?shù)分解式是 (

)A．2×5×6 B．22×15C．2×3×10 D．22×3×5【解析】

60＝4×15＝22×3×5．D