2．2.1綜合法和分析法預(yù)習(xí)課本P85～89，思考并完成下列問題(1)綜合法的定義是什么？有什么特點？(2)綜合法的推證過程是什么？(3)分析法的定義是什么？有什么特點？(4)分析法與綜合法有什么區(qū)別和聯(lián)系？[新知初探]1．綜合法定義推證過程特點利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(P表示已知條件，已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論).順推證法或由因?qū)Ч?.分析法定義框圖表示特點從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個明顯成立的條件)逆推證法或執(zhí)果索因法3．綜合法、分析法的區(qū)別綜合法分析法推理方向順推，由因?qū)Ч顾荩瑘?zhí)果索因解題思路探路較難，易生枝節(jié)容易探路，利于思考表述形式形式簡潔，條理清晰敘述繁瑣，易出錯思考的側(cè)重點側(cè)重于已知條件提供的信息側(cè)重于結(jié)論提供的信息[點睛]一般來說，分析法解題方向明確，利于尋求解題思路；而綜合法解題條理清晰，宜于表述．因此在解決問題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程．[小試身手]1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法．()(2)分析法就是從結(jié)論推向已知．()(3)所有證明的題目均可使用分析法證明．()答案：(1)×(2)×(3)×2．若a＞b＞0，則下列不等式中不正確的是()A．a(chǎn)2＞ab B．a(chǎn)b＞b2C.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b) D．a(chǎn)2＞b2答案：C3．欲證eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需證()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2＜(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2＜(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2＜(－eq\r(7))2答案：C4．如果aeq\r(a)＞beq\r(b)，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是________．答案：a＞b＞0綜合法的應(yīng)用[典例]在△ABC中，三邊a，b，c成等比數(shù)列．求證：acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)≥eq\f(3,2)b.[證明]∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.∵左邊＝eq\f(a(1＋cosC),2)＋eq\f(c(1＋cosA),2)＝eq\f(1,2)(a＋c)＋eq\f(1,2)(acosC＋ccosA)＝eq\f(1,2)(a＋c)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))＝eq\f(1,2)(a＋c)＋eq\f(1,2)b≥eq\r(ac)＋eq\f(b,2)＝b＋eq\f(b,2)＝eq\f(3,2)b＝右邊，∴acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)≥eq\f(3,2)b.當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時等號成立．綜合法的解題步驟[活學(xué)活用]1．已知a，b，c，d∈R，求證：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．證明：∵左邊＝a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右邊，∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．2．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0，eq\f(1,1－an＋1)－eq\f(1,1－an)＝1.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1－\r(an＋1),\r(n))，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，證明：Sn＜1.解：(1)∵eq\f(1,1－an＋1)－eq\f(1,1－an)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－an)))是公差為1的等差數(shù)列．又∵eq\f(1,1－a1)＝1，∴eq\f(1,1－an)＝n，an＝1－eq\f(1,n).(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(1－\r(an＋1),\r(n))＝eq\f(\r(n＋1)－\r(n),\r(n＋1)·\r(n))＝eq\f(1,\r(n))－eq\f(1,\r(n＋1))，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))－eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))－eq\f(1,\r(n＋1))＝1－eq\f(1,\r(n＋1))＜1.∴Sn＜1.分析法的應(yīng)用[典例]設(shè)a，b為實數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[證明]當(dāng)a＋b≤0時，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．當(dāng)a＋b＞0時，用分析法證明如下：要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)(a＋b)))2.即證a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．綜上所述，不等式得證．分析法證明不等式的依據(jù)、方法與技巧(1)解題依據(jù)：分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論；(2)適用范圍：對于一些條件復(fù)雜，結(jié)構(gòu)簡單的不等式的證明，經(jīng)常用綜合法．而對于一些條件簡單、結(jié)論復(fù)雜的不等式的證明，常用分析法；(3)思路方法：分析法證明不等式的思路是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式；(4)應(yīng)用技巧：用分析法證明數(shù)學(xué)命題時，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”等詞語．[活學(xué)活用]已知a，b，c都為正實數(shù)，求證：eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3).證明：要證eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)，只需證eq\f(a2＋b2＋c2,3)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3)))2，只需證3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，只需證2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，只需證(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而這是顯然成立的，所以eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)成立．分析法與綜合法的綜合應(yīng)用[典例]已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，且0＜x＜1.求證：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc.[證明]要證明logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc，只需要證明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))＜logx(abc)，由已知0＜x＜1，只需證明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc，由公式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)＞0.又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞eq\r(a2b2c2)＝abc.即eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc成立．∴l(xiāng)ogxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc成立．分析綜合法的應(yīng)用綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因，因此在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程．[活學(xué)活用]已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c為三個內(nèi)角對應(yīng)的邊長，求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).證明：要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即證eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1.即證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即證c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列．∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命題得證．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．要證明eq\r(a)＋eq\r(a＋7)＜eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)可選擇的方法有多種，其中最合理的是()A．綜合法 B．類比法C．分析法 D．歸納法解析：選C直接證明很難入手，由分析法的特點知用分析法最合理．2．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其過程應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法C．綜合法、分析法綜合使用D．間接證法解析：選B結(jié)合分析法及綜合法的定義可知B正確．3．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足什么條件()A．a(chǎn)2＜b2＋c2 B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2＞b2＋c2 D．a(chǎn)2≤b2＋c2解析：選C由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＜0，得b2＋c2＜a2.4．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c解析：選C利用函數(shù)單調(diào)性．設(shè)f(x)＝eq\f(lnx,x)，則f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，∴0＜x＜e時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；x＞e時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．又a＝eq\f(ln4,4)，∴b＞a＞c.5．已知m＞1，a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)，則以下結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)，b大小不定解析：選B∵a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)＝eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)＝eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1)).而eq\r(m＋1)＋eq\r(m)＞eq\r(m)＋eq\r(m－1)＞0(m＞1)，∴eq\f(1,\r(m＋1)＋\r(m))＜eq\f(1,\r(m)＋\r(m－1))，即a<b.6．命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)＝x－xlnx取導(dǎo)得f′(x)＝－lnx，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)＝－lnx＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了________的證明方法．解析：該證明過程符合綜合法的特點．答案：綜合法7．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，則正數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是________．解析：∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴只要a≠b，就有aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a).答案：a≠b8．若不等式(－1)na＜2＋eq\f((－1)n＋1,n)對任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)n為偶數(shù)時，a＜2－eq\f(1,n)，而2－eq\f(1,n)≥2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以a＜eq\f(3,2)，當(dāng)n為奇數(shù)時，a＞－2－eq\f(1,n)，而－2－eq\f(1,n)＜－2，所以a≥－2.綜上可得，－2≤a＜eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))9．求證：2cos(α－β)－eq\f(sin(2α－β),sinα)＝eq\f(sinβ,sinα).證明：要證原等式，只需證：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，①因為①左邊＝2cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα＝sinβ.所以①成立，所以原等式成立．10．已知數(shù)列{an}的首項a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．(1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列．(2)求an.解：(1)證明：由條件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f((2an＋1)＋1,an＋1)＝eq\f(2(an＋1),an＋1)＝2.又n＝1時，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，所以a2＝11，所以eq\f(a2＋1,a1＋1)＝eq\f(11＋1,5＋1)＝2，所以數(shù)列{an＋1}是以2為公比的等比數(shù)列．(2)因為a1＋1＝6，所以an＋1＝6×2n－1＝3×2n，所以an＝3×2n－1.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．使不等式eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的條件是()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＞b且ab＜0 D．a(chǎn)＞b且ab＞0解析：選D要使eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，須使eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＜0，即eq\f(b－a,ab)＜0.若a＞b，則b－a＜0，ab＞0；若a＜b，則b－a＞0，ab＜0.2．對任意的銳角α，β，下列不等式中正確的是()A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ解析：選D因為α，β為銳角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cosα＞cos(α＋β)．又cosβ＞0，所以cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．3．若兩個正實數(shù)x，y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)＜m2－3m有解，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：選B∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝2＋eq\f(y,4x)＋eq\f(4x,y)≥2＋2eq\r(\f(y,4x)·\f(4x,y))＝4，等號在y＝4x，即x＝2，y＝8時成立，∴x＋eq\f(y,4)的最小值為4，要使不等式m2－3m＞x＋eq\f(y,4)有解，應(yīng)有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故選B.4．下列不等式不成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(a＋b)(a＞0，b＞0)C.eq\r(a)－eq\r(a－1)＜eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)D.eq\r(2)＋eq\r(10)＞2eq\r(6)解析：選D對A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；對B，∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(a＋b))2＝a＋b，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(a＋b)；對C，要證eq\r(a)－eq\r(a－1)＜eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)成立，只需證明eq\r(a)＋eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)＋eq\r(a－1)，兩邊平方得2a－3＋2eq\r(a(a－3))＜2a－3＋2eq\r((a－2)(a－1))，即eq\r(a(a－3))＜eq\r((a－2)(a－1))，兩邊平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因為0＜2顯然成立，所以原不等式成立；對于D，(eq\r(2)＋eq\r(10))2－(2eq\r(6))2＝12＋4eq\r(5)－24＝4(eq\r(5)－3)＜0，∴eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)，故D錯誤．5．已知函數(shù)f(x)＝2x，a，b為正實數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系是________．解析：∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b為正實數(shù))，eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)，且f(x)＝2x是增函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，即C≤B≤A.答案：C≤B≤A6．如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿足________時，BD⊥A1C(寫上一個條件即可)．解析：要證BD⊥A1C，只需證BD⊥平面A