高一函數(shù)基礎(chǔ)知識點

函數(shù)的概念函數(shù)是一種對應(yīng)關(guān)系，設(shè)\(A\)、\(B\)是非空的實數(shù)集，如果對于集合\(A\)中的任意一個實數(shù)\(x\)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系\(f\)，在集合\(B\)中都有唯一確定的實數(shù)\(y\)和它對應(yīng)，那么就稱\(f\)：\(A→B\)為從集合\(A\)到集合\(B\)的一個函數(shù)，記作\(y=f(x)\)，\(x∈A\)。其中\(zhòng)(x\)叫做自變量，\(x\)的取值范圍\(A\)叫做函數(shù)的定義域；與\(x\)的值相對應(yīng)的\(y\)值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合\(\{f(x)|x∈A\}\)叫做函數(shù)的值域，值域是集合\(B\)的子集。函數(shù)的定義域1.具體函數(shù)的定義域：對于給出解析式的函數(shù)，求定義域需考慮使解析式有意義的條件。例如分式中分母不為零；偶次根式中被開方數(shù)非負(fù)；零次冪的底數(shù)不為零等。比如函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，要使分式有意義，則\(x-1\neq0\)，即\(x\neq1\)，所以定義域為\(\{x|x\neq1\}\)。2.抽象函數(shù)的定義域：已知\(f(x)\)的定義域為\([a,b]\)，求\(f(g(x))\)的定義域，需滿足\(a\leqg(x)\leqb\)；已知\(f(g(x))\)的定義域為\([a,b]\)，求\(f(x)\)的定義域，就是求\(g(x)\)在\([a,b]\)上的值域。函數(shù)的表示方法1.解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點是簡潔準(zhǔn)確，便于進(jìn)行理論分析和計算。如\(y=2x+1\)。2.列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，適合自變量取值有限個且較少的情況，能清楚地看出變量之間的對應(yīng)值。如某商店一周內(nèi)每天的銷售額表格。3.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，直觀形象，能清晰地看出函數(shù)的變化趨勢。如一次函數(shù)\(y=x\)的圖象是一條過原點的直線。函數(shù)的單調(diào)性1.定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(I\)，如果對于定義域\(I\)內(nèi)的某個區(qū)間\(D\)上的任意兩個自變量的值\(x_1\)、\(x_2\)，當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時，都有\(zhòng)(f(x_1)\ltf(x_2)\)（或\(f(x_1)\gtf(x_2)\)），那么就說函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)（或減函數(shù)），區(qū)間\(D\)稱為函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間。2.判斷方法-定義法：取值\(→\)作差\(→\)變形\(→\)定號\(→\)下結(jié)論。例如判斷\(f(x)=x^2\)在\((0,+∞)\)上的單調(diào)性，設(shè)\(0\ltx_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)\)，因為\(0\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_1-x_2\lt0\)，\(x_1+x_2\gt0\)，則\(f(x_1)-f(x_2)\lt0\)，即\(f(x_1)\ltf(x_2)\)，所以\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上是增函數(shù)。-圖象法：根據(jù)函數(shù)圖象的上升或下降趨勢判斷單調(diào)性。函數(shù)的奇偶性1.定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域\(D\)關(guān)于原點對稱，如果對于任意\(x∈D\)，都有\(zhòng)(f(-x)=f(x)\)，那么函數(shù)\(f(x)\)就叫做偶函數(shù)；如果對于任意\(x∈D\)，都有\(zhòng)(f(-x)=-f(x)\)，那么函數(shù)\(f(x)\)就叫做奇函數(shù)。2.性質(zhì)-偶函數(shù)的圖象關(guān)于\(y\)軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。-若奇函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處有定義，則\(f(0)=0\)。常見函數(shù)1.一次函數(shù)：形如\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)），當(dāng)\(k\gt0\)時，函數(shù)在\(R\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(k\lt0\)時，函數(shù)在\(R\)上單調(diào)遞減。2.二次函數(shù)：一般式為\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），其圖象是拋物線。對稱軸為\(x=-\frac{2a}\)，當(dāng)\(a\gt0\)時，開口向上，在\((-\infty,-\frac{2a})\)上單調(diào)遞減，在\