南京大學(xué)面試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設(shè)集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則集合A與B的交集為？

A.{1,2}

B.{3,4}

C.{1,3}

D.{2,3}

2.函數(shù)f(x)=x^2-2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是？

A.(1,2)

B.(1,-2)

C.(-1,4)

D.(2,1)

3.極限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+4)的值為？

A.0

B.1/5

C.3/5

D.∞

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,-4)位于？

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f(c)等于？

A.(f(b)-f(a))/(b-a)

B.0

C.f(a)+f(b)

D.f(a)f(b)

6.矩陣A=|12|，B=|34|，則矩陣A與B的乘積AB為？

A.|56|

B.|78|

C.|34|

D.|912|

7.設(shè)向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的點(diǎn)積為？

A.32

B.24

C.18

D.10

8.在三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于？

A.75°

B.65°

C.70°

D.80°

9.設(shè)圓的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，則該圓的圓心坐標(biāo)為？

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(-1,-2)

D.(-2,-1)

10.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，則根據(jù)羅爾定理，至少存在一點(diǎn)c∈(0,1)，使得？

A.f'(c)=0

B.f(c)=0

C.f'(c)=1

D.f(c)=1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有？

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=ln(x)

D.y=-x+1

2.下列方程中，表示圓的有？

A.x^2+y^2-2x+4y+1=0

B.x^2+y^2+4x+6y+9=0

C.x^2+y^2=1

D.x^2-y^2=1

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上連續(xù)的有？

A.y=1/x

B.y=sin(x)

C.y=|x|

D.y=tan(x)

4.下列不等式中，成立的有？

A.log_2(3)>log_2(4)

B.e^2>e^3

C.(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)

D.sqrt(2)>sqrt(3)

5.下列向量中，線性無(wú)關(guān)的有？

A.a=(1,0,0)

B.b=(0,1,0)

C.c=(0,0,1)

D.d=(1,1,1)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)等于________。

2.曲線y=ln(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為________。

3.設(shè)向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的向量積[a×b]等于________。

4.矩陣A=|123|，B=|4;5;6|，則矩陣A與B的乘積AB等于________。

5.設(shè)圓的方程為(x+2)^2+(y-3)^2=16，則該圓的半徑等于________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(3x)-3x)/(x^2)。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx。

3.求解方程x^3-3x^2+2x=0。

4.計(jì)算矩陣A=|12;34|的逆矩陣A^-1。

5.計(jì)算向量a=(1,2,3)與向量b=(4,5,6)的向量積[a×b]，并求其模長(zhǎng)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.D

2.A

3.B

4.D

5.A

6.B

7.A

8.A

9.A

10.A

解題過程：

1.集合A與B的交集是同時(shí)屬于A和B的元素，即{2,3}，選項(xiàng)D正確。

2.函數(shù)f(x)=x^2-2x+3可以寫成f(x)=(x-1)^2+2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，選項(xiàng)A正確。

3.極限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+4)可以通過分子分母同除以x^2得到lim(x→∞)(3+2/x+1/x^2)/(5-3/x+4/x^2)，當(dāng)x→∞時(shí)，1/x和1/x^2都趨于0，所以極限為3/5，選項(xiàng)C正確。

4.點(diǎn)P(3,-4)的橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，位于第四象限，選項(xiàng)D正確。

5.根據(jù)介值定理，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的值會(huì)取到區(qū)間端點(diǎn)值之間的所有值，所以至少存在一點(diǎn)c，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，選項(xiàng)A正確。

6.矩陣A與B的乘積AB為|1*3+2*4;1*4+2*5|=|11;14|，選項(xiàng)B正確。

7.向量a與向量b的點(diǎn)積為1*4+2*5+3*6=32，選項(xiàng)A正確。

8.三角形內(nèi)角和為180°，所以角C=180°-60°-45°=75°，選項(xiàng)A正確。

9.圓的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，圓心坐標(biāo)為(1,2)，選項(xiàng)A正確。

10.根據(jù)羅爾定理，如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，則至少存在一點(diǎn)c∈(0,1)，使得f'(c)=0，選項(xiàng)A正確。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.B,C

2.A,C

3.B,C

4.C

5.A,B,C,D

解題過程：

1.函數(shù)y=2^x是指數(shù)函數(shù)，在整個(gè)實(shí)數(shù)域上單調(diào)遞增；函數(shù)y=ln(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增。選項(xiàng)B和C正確。

2.方程x^2+y^2-2x+4y+1=0可以寫成(x-1)^2+(y+2)^2=4，表示以(1,-2)為圓心，半徑為2的圓；方程x^2+y^2+4x+6y+9=0可以寫成(x+2)^2+(y+3)^2=4，表示以(-2,-3)為圓心，半徑為2的圓；方程x^2+y^2=1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓。選項(xiàng)A和C正確。

3.函數(shù)y=1/x在x=0處無(wú)定義，不連續(xù)；函數(shù)y=sin(x)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上連續(xù)；函數(shù)y=|x|在整個(gè)實(shí)數(shù)域上連續(xù)；函數(shù)y=tan(x)在x=kπ+π/2(k為整數(shù))處無(wú)定義，不連續(xù)。選項(xiàng)B和C正確。

4.log_2(3)<log_2(4)因?yàn)?<4；e^2<e^3因?yàn)?<3；(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)因?yàn)?3<-2；sqrt(2)<sqrt(3)因?yàn)?<3。選項(xiàng)C正確。

5.任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)的向量積[a×b]=(a2*b3-a3*b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)是垂直于a和b的向量。向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1)是單位向量，且兩兩垂直，所以線性無(wú)關(guān)；向量d=(1,1,1)與向量a,b,c都不平行，所以也線性無(wú)關(guān)。選項(xiàng)A,B,C,D正確。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.f'(x)=3x^2-3

2.y=x-1

3.[a×b]=(-3,6,-3)

4.AB=|141618;202428|

5.4

解題過程：

1.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)可以通過求導(dǎo)得到，f'(x)=3x^2-3。

2.曲線y=ln(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率為y'(1)=1/1=1，所以切線方程為y-0=1*(x-1)，即y=x-1。

3.向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量積[a×b]=(2*6-3*5,3*4-1*6,1*5-2*4)=(-3,6,-3)。

4.矩陣A=|123|，B=|4;5;6|，則矩陣乘積AB為|1*4+2*5+3*6;1*4+2*5+3*6;1*4+2*5+3*6|=|141618;202428|。

5.圓的方程為(x+2)^2+(y-3)^2=16，圓心為(-2,3)，半徑為sqrt(16)=4。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.lim(x→0)(sin(3x)-3x)/(x^2)=lim(x→0)(3cos(3x)-3)/(2x)=-3/2

2.∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx=∫(x+1)^2/(x+1)dx=∫(x+1)dx=x^2/2+x+C

3.方程x^3-3x^2+2x=0可以因式分解為x(x^2-3x+2)=0，即x(x-1)(x-2)=0，解為x=0,x=1,x=2。

4.矩陣A=|12;34|的逆矩陣A^-1可以通過公式A^-1=1/|A|*adj(A)計(jì)算，其中|A|=1*4-2*3=-2，adj(A)=|4-2;-31|，所以A^-1=-1/2*|4-2;-31|=-1/2*|4-2;-31|=|-21;3/2-1/2|。

5.向量積[a×b]=(2*6-3*5,3*4-1*6,1*5-2*4)=(-3,6,-3)，模長(zhǎng)為sqrt((-3)^2+6^2+(-3)^2)=sqrt(54)=3sqrt(6)。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.函數(shù)與極限：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性；極限的計(jì)算方法；連續(xù)性與間斷點(diǎn)。

2.一元函數(shù)微分學(xué)：導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；微分中值定理；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、拐點(diǎn)）。

3.一元函數(shù)積分學(xué)：不定積分的計(jì)算方法；定積分的計(jì)算方法；定積分的應(yīng)用（面積、體積、弧長(zhǎng)、功、平均值）。

4.矩陣與向量：矩陣的運(yùn)算；逆矩陣的計(jì)算；向量的運(yùn)算；向量的線性相關(guān)性。

5.解析幾何：平面曲線的方程；空間曲面的方程；圓錐曲線；球面；旋轉(zhuǎn)曲面。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)基本概念、基本性質(zhì)、基本運(yùn)算的掌握程度。例如，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性；極限的計(jì)算方法；導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算；定積分的計(jì)算方法；矩陣的運(yùn)算；向量的運(yùn)算等。

2.多項(xiàng)選擇題：考察學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的