7.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1.(2022全國乙,理7,文9,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則()

A.平面B1EF⊥平面BDD1

B.平面B1EF⊥平面A1BD

C.平面B1EF∥平面A1AC

D.平面B1EF∥平面A1C1D

答案A如圖所示,

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,EF∥AC,∴EF⊥BD,又D1D⊥平面ABCD,EF平面ABCD,∴D1D⊥

?

EF,又D1D∩BD=D,∴EF⊥平面BDD1,又EF平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1,故選A.

?

2.(2023全國甲文,18,12分,中)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠

ACB=90°.

(1)證明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;

(2)設(shè)AB=A1B,AA1=2,求四棱錐A1-BB1C1C的高.

解析(1)證明:∵A1C⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,?

又∵A1C,AC平面ACC1A1,且A1C∩AC=C,

∴BC⊥平面?ACC1A1,又∵BC平面BB1C1C,

∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C?.

(2)過A1作A1O⊥CC1,垂足為O,

∵平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1O平面ACC1A1,

∴A1O⊥平面BB1C1C,即A1O是四棱錐A1-BB1C1C的高.?

由(1)知∠A1CB=∠BCA=90°.

在RtA1CB與RtACB中,A1B=AB,BC=BC,

∴Rt△A1CB≌Rt△ACB,∴A1C=AC,∴A1C=A1C1,

又知△A1C⊥A1C1,△

∴△CA1C1為等腰直角三角形,∴A1O=CC1=AA1=1,即四棱錐A1-BB1C1C的高為1.

11

22

3.(2015陜西,18,12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC

π1

與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置,得到四棱錐2A1-BCDE.2

(1)證明:CD⊥平面A1OC;

(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為36,求a的值.

解析(1)證明:在題圖1中,2

因?yàn)锳B=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),

1

2

∠BAD=,所以BE⊥AC.

π

2

即在題圖2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,

又A1O∩OC=O,

從而BE⊥平面A1OC,

又CD∥BE,

所以CD⊥平面A1OC.

(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,

且平面A1BE∩平面BCDE=BE,

又由(1)知,A1O⊥BE,

所以A1O⊥平面BCDE,

即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.

由題圖1知,A1O=AB=a,平行四邊形BCDE的面積

22

S=BC·AB=a2.22

從而四棱錐A1-BCDE的體積為

23

V=×S×A1O=×a×a=a,

1122

3326

由a3=36,得a=6.

2

2

評析6本題首先借“折疊”問題考查空間想象能力,同時(shí)考查線面垂直的判定及面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用.

4.(2015福建,20,12分)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),PO垂直于圓O所在的平面,且

PO=OB=1.

(1)若D為線段AC的中點(diǎn),求證:AC⊥平面PDO;

(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值;

(3)若BC=,點(diǎn)E在線段PB上,求CE+OE的最小值.

2

解析(1)證明:在△AOC中,因?yàn)镺A=OC,D為AC的中點(diǎn),所以AC⊥DO.

又PO垂直于圓O所在的平面,

所以PO⊥AC.

因?yàn)镈O∩PO=O,

所以AC⊥平面PDO.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上,

所以當(dāng)CO⊥AB時(shí),C到AB的距離最大,且最大值為1.

又AB=2,所以△ABC面積的最大值為×2×1=1.

1

又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO=1,2

故三棱錐P-ABC體積的最大值為×1×1=.

11

33

(3)解法一:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,

所以PB==.同理,PC=,所以PB=PC=BC.

22

1+122

在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB所在直線旋轉(zhuǎn)至平面BC'P,使之與平面ABP共面,如圖所示.

當(dāng)O,E,C'共線時(shí),CE+OE取得最小值.

又因?yàn)镺P=OB,C'P=C'B,所以O(shè)C'垂直平分PB,

即E為PB中點(diǎn).從而OC'=OE+EC'=+=,

262+6

222

亦即CE+OE的最小值為.

2+6

解法二:在△POB中,PO=OB2=1,∠POB=90°,

所以∠OPB=45°,PB==.同理PC=.

22

1+122

所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.

在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB所在直線旋轉(zhuǎn)至平面BC'P,使之與平面ABP共面,如圖所示.

當(dāng)O,E,C'共線時(shí),CE+OE取得最小值.

所以在△OC'P中,由余弦定理得:

OC'2=1+2-2×1××cos(45°+60°)

2

=1+2-2=2+.

2123

2×?×3

2222

從而OC'==.

2+6

2+3

2

所以CE+OE的最小值為+.

26

評析本題主要考查直線2與2平面的位置關(guān)系、錐體的體積等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、推理論證能力、

運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

5.(2014福建文,19,12分)如圖,三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.

(1)求證:CD⊥平面ABD;

(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點(diǎn),求三棱錐A-MBC的體積.

解析(1)證明:∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,∴AB⊥CD.

又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB?平面ABD,BD?平面ABD,

∴CD⊥平面ABD.

(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.

∵AB=BD=1,

∴S△ABD=.

1

∵M(jìn)是A2D的中點(diǎn),

∴S△ABM=S△ABD=.

11

由(1)知2,CD⊥4平面ABD,

∴三棱錐C-ABM的高h(yuǎn)=CD=1,

因此VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=.

11

解法二:由AB⊥平3面BCD知12,平面ABD⊥平面BCD,

又平面ABD∩平面BCD=BD,

如圖,過點(diǎn)M作MN⊥BD交BD于點(diǎn)N,

則MN⊥平面BCD,且MN=AB=,

11

又CD⊥BD,BD=CD=1,22

∴S△BCD=.

1

∴三棱錐2A-MBC的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD

=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.

111

3312

6.(2014山東文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分別為線段AD,PC

1

的中點(diǎn).2

(1)求證:AP∥平面BEF;

(2)求證:BE⊥平面PAC.

證明(1)設(shè)AC∩BE=O,連接OF,EC.

由于E為AD的中點(diǎn),

AB=BC=AD,AD∥BC,

1

所以AE2∥BC,AE=AB=BC,

因此四邊形ABCE為菱形,

所以O(shè)為AC的中點(diǎn).

又F為PC的中點(diǎn),

因此在△PAC中,

可得AP∥OF.

又OF?平面BEF,AP?平面BEF,

所以AP∥平面BEF.

(2)由題意知ED∥BC,ED=BC,

所以四邊形BCDE為平行四邊形,

因此BE∥CD.

又AP⊥平面PCD,CD?平面PCD,

所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.

因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形,

所以BE⊥AC.

又AP∩AC=A,AP,AC?平面PAC,

所以BE⊥平面PAC.

7.(2014廣東文,18,13分)如圖1,四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如圖2折疊:折痕

EF∥DC,其中點(diǎn)E,F分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點(diǎn)P在線段AD上的點(diǎn)記為M,并且MF⊥CF.

(1)證明:CF⊥平面MDF;

(2)求三棱錐M-CDE的體積.

解析(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,

AD?平面ABCD,∴PD⊥AD.

∵四邊形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.

又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD.

∵CF?平面PCD,∴AD⊥CF.

又∵M(jìn)F⊥CF,MF∩AD=M,

∴CF⊥平面MDF.

(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC,

在△PCD中,DC2=CF·PC.

∴CF==.

2

??1

又∵EF?∥?DC2,

=?ED===.

∴1

??????·??3×23

??????24

∴PE=ME=-=,

333

3

44

∴S△CDE=DC·ED=×1×=.

1133

2248

在Rt△MDE中,MD==,

226

???E?

2

∴VM-CDE=S△CDE·MD=××=.

11362

338216

8.(2013廣東文,18,14分)如圖1,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),AD=AE,F是BC

的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G.將△ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐A-BCF,其中BC=.

2

2

圖1

圖2

(1)證明:DE∥平面BCF;

(2)證明:CF⊥平面ABF;

(3)當(dāng)AD=時(shí),求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG.

2

3

解析(1)證明:在等邊三角形ABC中,AD=AE,∴=,在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立,∴DE∥BC,∵DE?

????

平面BCF,BC?平面BCF,∴DE∥平面BCF.????

(2)證明:在等邊三角形ABC中,F是BC的中點(diǎn),

∴AF⊥BC,BF=CF=.

1

2

∵在三棱錐A-BCF中,BC=,

2

∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF.2

∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.

(3)由(1)可知GE∥CF,結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG.

∴VF-DEG=VE-DFG=··DG·FG·GE=····=.

111111313

·

評析本題考3查2線面平行、線面垂3直2的證3明以3及2空間幾3何32體4體積的計(jì)算,考查立體幾何中翻折問題以及學(xué)生

的空間想象能力和邏輯推理論證能力.抓住翻折過程中的不變量是解決這類問題的關(guān)鍵,第(3)問的關(guān)鍵在

于對幾何體的轉(zhuǎn)化.

9.(2012北京文,16,14分)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一

點(diǎn).將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖2.

(1)求證:DE∥平面A1CB;

(2)求證:A1F⊥BE;

(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.

解析(1)證明:因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn),

所以DE∥BC.

又因?yàn)镈E?平面A1CB,

所以DE∥平面A1CB.

(2)證明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC,

所以DE⊥AC.

所以DE⊥A1D,DE⊥CD.

因?yàn)锳1D∩CD=D,所以DE⊥平面A1DC.

而A1F?平面A1DC,

所以DE⊥A1F.

又因?yàn)锳1F⊥CD,CD∩DE=D,

所以A1F⊥平面BCDE.

所以A1F⊥BE.

(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:

如圖,分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,連接PQ,則PQ∥BC.

又因?yàn)镈E∥BC,

所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即為平面DEP.

由(2)知,DE⊥平面A1DC,

所以DE⊥A1C.

又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn),

所以A1C⊥DP.

所以A1C⊥平面DEP.

即A1C⊥平面DEQ.

故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使得A1C⊥平面DEQ.

評析本題的前兩問屬容易題,第(3)問是創(chuàng)新式問法,可以先猜后證,此題對于知識掌握不牢靠的學(xué)生而言,

可能不能順利解答.

10.(2019課標(biāo)Ⅲ文,19,12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中

AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.

(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.

解析本題考查了線面、面面垂直問題,通過翻折、平面與平面垂直的證明考查了空間想象能力和推理論證

能力,考查了直觀想象的核心素養(yǎng).

(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.

由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.

又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)取CG的中點(diǎn)M,連接EM,DM.

因?yàn)锳B∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.

由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.

因此DM⊥CG.

在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.

所以四邊形ACGD的面積為34.

思路分析(1)翻折問題一定要注意翻折前后位置的變化,特別是平行、垂直的變化.由矩形、直角三角形中

的垂直關(guān)系,利用線面垂直、面面垂直的判定定理可證兩平面垂直;而由平行公理和平面的基本性質(zhì)不難證

明四點(diǎn)共面.(2)根據(jù)菱形的特征結(jié)合(1)的結(jié)論找到菱形BCGE的邊CG上的高求解.

解題關(guān)鍵抓住翻折前后的垂直關(guān)系,靈活轉(zhuǎn)化線線垂直、線面垂直和面面垂直,題中構(gòu)造側(cè)棱的特殊“直

截面”△DEM,是本題求解的關(guān)鍵和難點(diǎn).

11.(2021全國乙文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點(diǎn),且PB

⊥AM.

(1)證明:平面PAM⊥平面PBD;

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

解析(1)證明:由于PD⊥平面ABCD,AM平面ABCD,則PD⊥AM,又PB⊥AM,PB∩PD=P,PB,PD平

??

面PBD,所以AM⊥平面PBD,因?yàn)锳M平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.

(2)由(1)知AM⊥平面PBD,因?yàn)锽D平?面PBD,所以AM⊥BD,所以∠MAB+∠ABD=90°,因?yàn)樗倪呅蜛BCD

為矩形,所以∠DAB=∠ABM,所以∠M?AB+∠AMB=90°,所以∠ABD=∠AMB,則DAB∽△ABM,則,

????

????

又AB=DC=1,M為BC的中點(diǎn),∴AD=,△=

2

∴S矩形ABCD=AB·AD=,

2

∴V四棱錐P-ABCD=S矩形ABCD·PD=.

112

33×2×1=3

名師點(diǎn)撥:本題以學(xué)生熟悉的四棱錐為載體,充分考查了學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,要求學(xué)生熟

練掌握空間幾何體中垂直的證明方法,在計(jì)算中體現(xiàn)空間和平面之間的轉(zhuǎn)化思想,尤其是基本圖形的運(yùn)算.

12.(2022全國乙文,18,12分)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明:平面BED⊥平面ACD;

(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)AFC的面積最小時(shí),求三棱錐F-ABC的體積.

△

解析(1)證明:∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,

∴△ADB≌△CDB,∴AB=BC,

又E為AC的中點(diǎn),∴BE⊥AC,

在ADC中,AD=CD,E為AC的中點(diǎn),∴DE⊥AC,

又△DE平面BED,BE平面BED,DE∩BE=E,

∴AC⊥?平面BED,?

∵AC平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.

(2)由?(1)可知AB=BC且∠ACB=60°,

∴△ABC為等邊三角形,∴AC=AB=2.

又AD=DC,AD⊥CD,∴AD=DC=,

連接EF,由(1)知AC⊥平面BED,2

∵EF平面BED,∴AC⊥EF,

?

∴SACF=AC×EF=EF,

1

△

2

在RtADC中,可得DE=1,在ABC中,可得BE=,

又BD△=2,∴BD2=DE2+BE2,△3

∴△BED為直角三角形,且∠EBD=30°,

∴EF的最小值為RtBED斜邊上的高h(yuǎn),

△

且h=BEsin∠EBD=,

3

2

∵AC⊥平面BEF,

∴VF-ABC=SBEF×AC

1

△

3

=×AC

11

3×2??·?

=×AC

11

3×2??cos30°·?

=×2

1133

3×2×3×2×2

=.

3

4

13.(2022全國乙理,18,12分)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明:平面BED⊥平面ACD;

(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)AFC的面積最小時(shí),求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

△

解析(1)證明:因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn),所以DE⊥AC.

因?yàn)椤螦DB=∠BDC,AD=CD,BD=BD,所以ADB≌△CDB,所以AB=CB,又E為AC的中點(diǎn),

所以BE⊥AC.△

又DE,BE平面BED,且DE∩BE=E,所以AC⊥平面BED,又AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BED.

(2)由題意?及(1)知AB=BC=2,又∠ACB=60°,所以AC=2,BE=.?

因?yàn)锳D⊥DC,E為AC的中點(diǎn),所以DE=1.3

所以DE2+BE2=BD2,則DE⊥BE.

連接EF,因?yàn)锳C⊥平面BED,EF平面BED,

?

所以AC⊥EF,所以SAFC=AC·EF=EF.

1

△

2

當(dāng)EF⊥BD時(shí),EF最小,即AFC的面積最小,此時(shí)EF=.

3

△2

如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則

?