第02講集合間的基本關系知識點1子集1.概念：一般地，如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.2.記法：A?B（或B?A）.3.讀法：A包含于B（或"B包含A"）.4.如果A不是B的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.6.圖形表示：知識點2真子集1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.2.記法：A?B（或BA）.3.讀法：A真包含于B（或“B真包含A”）.4.性質(zhì)：對于集合A，B，C，①如果A?B,B?C,則A?C=2\*GB3②如果A?B，B?C，則A?C；5.圖形表示：6.如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個．（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集【思考】任何兩個集合之間是否有包含關系？提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，這兩個集合就沒有包含關系．【特別提醒】符號“∈”與“?”的區(qū)別：符號“∈”表示元素與集合間的關系，而“?”表示集合與集合之間的關系．知識點3空集1、定義：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，規(guī)定：空集是任何集合的子集．在這個規(guī)定的基礎上，結(jié)合子集和真子集的有關概念，可以得到：（1）空集只有一個子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．②空集是任何集合的子集（即??A）；2、0，{0}，?，{?}的關系?與0?與{0}?與{?}相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點?是集合；0是實數(shù)?中不含任何元素；{0}含一個元素0?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?關系0???{0}?{?}或?∈{?}【思考】{0}與?表示同一集合嗎？提示：{0}表示一個集合，且集合中有且僅有一個元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠?.知識點4Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖。表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。韋恩圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關系知識點5集合的相等與子集的關系1.定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等2.圖形表示：3.如果A?B，且B?A則A=B.4.如果A=B則A?B且B?A.（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個有限數(shù)集A＝B，則這兩個有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個集合的元素個數(shù)相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實質(zhì)是一致的，只是表達方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據(jù)．【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．常用解題方法1.集合與集合之間的關系判斷是通過兩個集合間的元素是否相同，注意跟集合與元素之間的屬于關系進行區(qū)分，通過集合的列舉、描述、圖示法等進行判斷.2.判斷集合關系的方法.（1）觀察法：一一列舉觀察.（2）元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關系.（3）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.提醒：若A?B和AB同時成立，則AB更能準確表達集合A，B之間的關系.3.求集合子集、真子集個數(shù)的3個步驟4.子集、真子集個數(shù)有關的4個結(jié)論假設集合A中含有n個元素，則有(1)A的子集的個數(shù)有2n個．(2)A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．(3)A的真子集的個數(shù)有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．5．兩集合相等常見考法及解法：(1)若兩個集合相等，則所含元素完全相同，與順序無關，但要注意檢驗，排除與集合元素互異性或與已知相矛盾的情形．(2)若兩個集合中元素均有無限多個，則要看兩集合的代表元素是否一致，再看代表元素滿足的條件是否一致．若均一致，則兩集合相等．(3)證明集合A與B相等的常用思路是“證A?B且B?A”．6．集合與集合之間的關系，元素與集合之間的關系是用不同的符號表示的，特別注意空集是不含有任何元素的集合，且規(guī)定???.7．求解含參數(shù)的集合是確定集合的子集或真子集時，應考慮該集合為空集的特殊情況，因此本題求解的易錯之處是忽視集合B為空集的特殊情況而導致漏解．本題若改為A?B時，則不需要考慮集合B為空集的特殊情況．8.利用集合的關系求參數(shù)問題(1)利用集合的關系求參數(shù)的范圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合(含參數(shù))，另一個為靜集合(具體的)，解答時常借助數(shù)軸來建立變量間的關系，需特別注意端點問題．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．題型1：判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)A．7個 B．6個 C．4個 D．3個A．16B．8C．7D．4A．4B．8C．15D．16A．11 B．12 C．15 D．16A．6 B．8 C．9 D．10A．3 B．4 C．6 D．8A．3種 B．5種 C．7種 D．9種A．4 B．6 C．7 D．1511.集合A=1,2,3，B=x,y|x∈A,y∈A,且xy∈A，則集合BA．5 B．15 C．31 D．32A．3 B．5 C．7 D．15A． B． C． D．A．4 B．16 C．8 D．9題型2：根據(jù)子集（真子集）個數(shù)求參數(shù)3.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且僅有兩個子集，則實數(shù)a＝．4.已知集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}恰有兩個非空真子集，則m的值可以是．（說明：寫出滿足條件的一個實數(shù)m的值）(1)若是，求實數(shù)的取值范圍(2)是否存在這樣的實數(shù)，使得集合有且僅有兩個子集，若存在，求出實數(shù)及對應的子集，若不存在，說明理由．題型3：求集合的子集（真子集）A． B． C． D．(1)求的值；(2)寫出集合的所有真子集.(1)寫出集合的子集，真子集；(2)求集合的子集數(shù)，非空真子集數(shù)．(1)寫出集合A的所有子集；(2)若B為非空集合，求a的值．題型4：判斷兩個集合是否相等1.給出以下集合，其中是相等集合的有（

）2．下列每組集合是相等集合的是（

）4.（多選）給出以下幾組集合，其中相等的集合有（

）5．（多選）下列各組中M，P表示相同集合的是（）A．M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B．M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}D．M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}8.下面關于集合的表示正確的序號是.9.已知集合N=xx=n2-13,n∈ZA．NP B．N=P C．PN D．N與P交集為空集題型5：根據(jù)集合相等求參數(shù)A．或2 B．或1 C． D．1A．0 B．1 C． D．A．B．C．0D．5.已知集合A=1,m，B=2m-2,1，若A=B，則實數(shù)m=（A．0 B．1 C．1或2 D．2A．0B．1C．D．題型6：空集的概念判斷以及性質(zhì)與應用1.下列四個集合中是空集的是（

）2.下列四個集合中是空集的是（

）3.下列集合中為的是（

）A． B．4.下列四個說法中，正確的有（

）①空集沒有子集；②空集是任何集合的真子集；④任何集合至少有兩個子集．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．下列命題中正確的是（

）A．空集沒有子集B．空集是任何一個集合的真子集C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集A．1 B． C． D．11.下列集合中為的是（

）A． B．A．3B．4C．5D．616.已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范圍；（2）若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍．題型7：Venn圖表示集合的關系A． B．C． D．A． B．C． D．A．

B．

C．

D．

5.下列Venn圖能正確表示集合M={0,1,2}和N=xx2A．

B．

C．

D．

6.已知集合M=x|a?x<a+1,a∈Z，P=x|logA．-2,-1,1,2 B．-3,-2,-1,0,1,2C．-2,-1,0,1,2 D．-3,-2,-1,1,2題型8：判斷元素與集合，集合與集合的關系1.若A=x|xA．?}?A B．1}=AC．-1,1}?A D．0}?A3.下列集合關系中錯誤的是（

）4.下列關系式正確的為（）5.下列集合之間關系正確的是（

）6．下列各式正確的是（

）C．? D．?A．個 B．個 C．個 D．個10．指出下列各對集合之間的關系：11.已知集合P=x∣x=m2+1,m∈N*,Q=A．P=Q B．P?Q C．Q?P D．P?Q12.已知集合M=x|x=2m+13,m∈Z,N=x|x=n-A．M=N?P B．M?N=PC．M?N?P D．N?P?M13.若P=yyA．P=Q B．P?Q題型9：根據(jù)集合的包含關系求參A．1 B． C．1或0 D．1或(2)若的子集有兩個，求實數(shù)的取值集合.(1)求集合；13.已知全集U為實數(shù)集，集合A=x-1<x<6，

(1)若a=3，求圖中陰影部分的集合M；(2)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍.14.已知集合A=(1)若A中只有一個元素，求a的值(2)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍(3)若A?0,+∞，求(3)若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是多少?(2)若?，求實數(shù)的取值范圍.（一）由集合間的關系確定參數(shù)的取值范圍（必考）1.已知集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，若{3，6}?A，則m＝．2.已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是．3.已知集合A＝{x|ax﹣6＝0}，B＝{x|2x2﹣3x＝0}，且A?B，則a＝．（二）數(shù)形結(jié)合思想（利用數(shù)軸求參數(shù)的取值范圍）（必考）2.設集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則a的取值范圍（）A．a(chǎn)≥﹣1 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)＞﹣1 D．﹣1＜a≤2（三）分類討論思想（必考）1.若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一個元素，則實數(shù)k的值為（）A．0或1 B．1 C．0 D．k＜1易錯點1：忽視空集導致出錯1．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B?A，求m的取值范圍．2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為______．易錯點2：忽視高次項系數(shù)導致出錯易錯點3：忽視判別式導致出錯題型10：集合關系的新定義1.定義集合運算A

B=c|c=a+b,a∈A,b∈B，若A=0,1,2,B=A．14 B．0 C．31 D．322.定義A*B=ZZ=xy+1,x∈A,y∈B，設集合A=0,1，集合B=1,2,3，則A．14 B．15 C．16 D．173.定義：若一個n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù).已知集合A=4,26,81,153,370，B=x∈Ax是自戀數(shù)，則A．16 B．8 C．4 D．2A．2 B．4C．6 D．8B．將階完美集的元素全部加1，得到的新集合，是階完美集(3)若中有3個元素，求實數(shù)的取值范圍．鞏固練習一、單選題A．5 B．6 C．7 D．8A．3 B．4 C．5 D．6A．2 B．4 C．8 D．16二、多選題5．關于下圖說法正確的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同6．下列說法正確的有（

）8．下列關系中正確的有（

）A． B．0 C．1 D．三、填空題四、解答題13．指出下列各組集合之間的關系：14．確定下列每組兩個集合的包含關系或相等關系：(2)若AB，求實數(shù)m的取值范圍．(2)若，求的值組成的集合．(1)若A中只有一個元素，求a的值(2)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍(2)若集合是集合的一個子集，求的取值范圍.A．10 B．11 C．12 D．1324．定義A?B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設集合A＝{0，2}