第頁(yè)第1講集合知識(shí)點(diǎn)目錄知識(shí)點(diǎn)目錄TOC\o"1-1"\h\u【知識(shí)點(diǎn)1】判斷自然語(yǔ)言描述內(nèi)容能否組成集合 1【知識(shí)點(diǎn)2】常用數(shù)集及其記法 4【知識(shí)點(diǎn)3】集合的確定性、互異性、無(wú)序性 5【知識(shí)點(diǎn)4】集合的表示方法 8【知識(shí)點(diǎn)5】集合的相等 10【知識(shí)點(diǎn)6】子集與真子集 11【知識(shí)點(diǎn)7】集合的基本運(yùn)算 15知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)1】判斷自然語(yǔ)言描述內(nèi)容能否組成集合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷自然語(yǔ)言描述內(nèi)容能否組成集合是高中數(shù)學(xué)中集合概念的重要部分．集合是由某種特定性質(zhì)確定的對(duì)象組成的整體，這些對(duì)象稱為元素．自然語(yǔ)言描述內(nèi)容能否組成集合，關(guān)鍵在于描述內(nèi)容是否明確、具體．例如，描述“所有小于10的偶數(shù)”能組成集合，因?yàn)榭梢悦鞔_確定這些元素為2，4，6，8．而描述“所有美麗的花”則不能組成集合，因?yàn)椤懊利悺笔侵饔^的，缺乏明確標(biāo)準(zhǔn)．判斷時(shí)，需要分析描述的內(nèi)容是否具有唯一性和清晰性，以確保所有元素均能明確歸類到該集合中．【解題方法點(diǎn)撥】在解題過(guò)程中，判斷自然語(yǔ)言描述內(nèi)容能否組成集合，通常需要以下步驟．首先，仔細(xì)閱讀描述內(nèi)容，確定其標(biāo)準(zhǔn)或特征．其次，檢驗(yàn)這些標(biāo)準(zhǔn)是否具體明確，是否能對(duì)所有元素進(jìn)行唯一判斷．例如，描述“所有3的倍數(shù)小于20的數(shù)”能組成集合，因?yàn)檫@些元素可以明確列舉為3，6，9，12，15，18．再者，通過(guò)反例驗(yàn)證描述內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)是否嚴(yán)謹(jǐn)，如描述“所有高個(gè)子的學(xué)生”因“高”定義不明確，無(wú)法組成集合．最后，綜合判斷描述內(nèi)容是否具備形成集合的條件．【命題方向】在高中數(shù)學(xué)考試中，關(guān)于判斷自然語(yǔ)言描述內(nèi)容能否組成集合的命題，常以簡(jiǎn)單明了的方式出現(xiàn)．這類題目主要考查學(xué)生對(duì)集合概念的理解和應(yīng)用能力．例如，題目可能會(huì)給出一段描述，要求學(xué)生判斷其能否組成集合并說(shuō)明理由．題目可能描述“所有小于100的平方數(shù)”或“所有以字母A開(kāi)頭的英語(yǔ)單詞”，學(xué)生需通過(guò)分析描述的明確性和唯一性進(jìn)行判斷．這類命題旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)性，要求他們?cè)陂喿x理解和分析推理方面具備一定的能力．通過(guò)這些練習(xí)，學(xué)生能夠更好地掌握集合的基礎(chǔ)知識(shí)．典型例題典型例題例1：例1.（2025秋?南充校級(jí)期中）下列選項(xiàng)中，能夠構(gòu)成集合的是（）A．南充高中高2024級(jí)個(gè)子較高的學(xué)生B．高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)中的難題C．關(guān)于x的方程x2-1=0的所有實(shí)根D．無(wú)限接近于π的所有實(shí)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)集合中的元素滿足的特征即可求解．【解答】解：對(duì)于A，個(gè)子較高，不滿足集合元素的確定性，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，難題，不滿足集合元素的確定性，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，x2-1=0的根為x=±1，故集合為{-1，1}，故C正確；

對(duì)于D，無(wú)限接近于π，不滿足集合元素的確定性，故D錯(cuò)誤．

故選：C．例2.（2025秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)期中）下列對(duì)象能組成集合的是（）A．非常接近0的數(shù)B．身高很高的人C．絕對(duì)值為5的數(shù)D．著名的數(shù)學(xué)家【答案】C【分析】借助集合中元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可得．【解答】解：由集合中元素的確定性可知，A、B、D選項(xiàng)中的對(duì)象都不能組成集合，

故A、B、D錯(cuò)誤；

對(duì)于C：絕對(duì)值為5的數(shù)有5或-5，符合集合的概念，故C正確．

故選：C．跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2025秋?于都縣校級(jí)月考）下列敘述能夠組成集合的是（）A．我校所有體質(zhì)好的同學(xué)B．我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生C．全國(guó)所有優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員D．全國(guó)所有環(huán)境優(yōu)美的城市【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?北碚區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法中正確的是（）A．聯(lián)合國(guó)所有常任理事國(guó)（共5個(gè)）組成一個(gè)集合B．朝陽(yáng)中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個(gè)集合C．{1，2，3}與{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5組成的集合有六個(gè)元素【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）下列各對(duì)象的全體不能構(gòu)成集合的有______．（填序號(hào)）

①上大嘉高高一年級(jí)全體學(xué)生；

②與1非常接近的全體實(shí)數(shù)；

③7的正整數(shù)倍的全體；

④給定的一條長(zhǎng)度為1的線段上的所有點(diǎn)．【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?浦東新區(qū)期末）請(qǐng)將下列各組對(duì)象能組成集合的序號(hào)填在后面的橫線上______．

①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；

②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)（0，0）的距離等于1的所有點(diǎn)；

③影響力比較大的中國(guó)數(shù)學(xué)家；

④不等式3x-10＜0的所有正整數(shù)解．知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)2】常用數(shù)集及其記法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；

全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；

全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；

全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記為R．【解題方法點(diǎn)撥】熟練掌握幾個(gè)常見(jiàn)數(shù)集的符號(hào)與含義，能判斷給出的數(shù)是否屬于這些數(shù)集．典型例題典型例題例1：例1.（2024秋?雙清區(qū)校級(jí)期末）給出下列關(guān)系：①12∈R；②2?R；③|-3|∈N；④A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，利用元素與集合的關(guān)系判斷作答．【解答】解：顯然12，2都是實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；

|-3|=3是自然數(shù)，③正確；|-3|=3是無(wú)理數(shù)，不是有理數(shù)，④錯(cuò)誤，

例2.（2024?包河區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）A．-3∈N*B．5C．1D．0?N【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即得．【解答】解：選項(xiàng)A，因-3不是正整數(shù)，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，5是無(wú)理數(shù)，故必是實(shí)數(shù)，故B正確；

選項(xiàng)C，12是分?jǐn)?shù)，故不是整數(shù)，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，0是自然數(shù)，故D錯(cuò)誤．

故選：B跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2025秋?武威月考）下列關(guān)系正確的是（）A．0∈N*B．5C．-D．-7.8∈R【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）設(shè)有下列關(guān)系：①2∈R；②4∈Q；③0∈N；④0∈{0，1}．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【跟蹤訓(xùn)練3】（2025春?武威月考）用符號(hào)“∈”或“?”填空：5______N，16______N．【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）在下列表達(dá)式中，①0?N；②??{0}；③π∈Q；④{1}∈{0，1}，其中正確的為_(kāi)_____（填寫所有正確的序號(hào)）．知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)3】集合的確定性、互異性、無(wú)序性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】集合中元素具有確定性、互異性、無(wú)序性三大特征．

（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都說(shuō)明它是或者不是某個(gè)集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會(huì)模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合．

（2）互異性：一個(gè)給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}．

（3）無(wú)序性：集合中的元素，不分先后，沒(méi)有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個(gè)集合．

【解題方法點(diǎn)撥】解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個(gè)特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的思想，解答問(wèn)題，結(jié)果需要回代驗(yàn)證，元素不許重復(fù)．【命題方向】

本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合相等，含參數(shù)的集合的討論為主．典型例題典型例題例1：例1.（2025?青山湖區(qū)校級(jí)模擬）8月20日《黑傳說(shuō)悟空》風(fēng)靡全球，下列幾組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（）A．游戲中會(huì)變身的妖怪B．游戲中長(zhǎng)的高的妖怪C．游戲中能力強(qiáng)的妖怪D．游戲中擊敗后給獎(jiǎng)勵(lì)多的妖怪【答案】A【分析】根據(jù)集合的確定性依次判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)A：游戲中會(huì)變身的妖怪可以構(gòu)成集合，故A正確；

對(duì)B、C、D：不滿足集合的確定性，故不能構(gòu)成集合，故B、C、D錯(cuò)誤．

故選：A．例2.（2024秋?安康期末）有4根火柴棒的長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)四元數(shù)集，將這4根火柴棒首尾相接連成一個(gè)平面四邊形，則這個(gè)平面四邊形可能是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個(gè)元素互不相等，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，4根火柴棒的長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)四元數(shù)集，則4根火柴棒的長(zhǎng)度互不相等，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，梯形的四條邊長(zhǎng)度可以互不相等，符合題意；

對(duì)于B，矩形的對(duì)邊相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意；

對(duì)于C，菱形的四條邊都相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意；

對(duì)于D，等腰梯形的腰相等，不能由這4根火柴棒首尾相接連成，不符合題意．

故選：A．跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋?潁上縣校級(jí)期末）下列說(shuō)法中正確的是（）A．1與{1}表示同一個(gè)集合B．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}C．方程（x-1）2（x-2）=0的所有解的集合可表示為{1，1，2}D．集合{x|4＜x＜5}可以用列舉法表示【跟蹤訓(xùn)練2】（2025秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）若集合A={x|（a2-1）x=a-1}，則不論實(shí)數(shù)a取何值，集合A不可能是（）A．RB．?C．{0}D．{1}【跟蹤訓(xùn)練3】（2025秋?莎車縣期中）若一個(gè)集合中的三個(gè)元素a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則此三角形一定不是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?水城區(qū)月考）若4∈{a,a2-12}，則a=______．【跟蹤訓(xùn)練5】（2025秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知集合M={-1，3a-1}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．知識(shí)點(diǎn)4知識(shí)點(diǎn)4知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)4】集合的表示方法列舉法表示集合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．【解題方法點(diǎn)撥】把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)即可．描述法表示集合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為{x|P（x）}，這種表示集合的方法稱為描述法．【解題方法點(diǎn)撥】明確描述對(duì)象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述條件：描述條件要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，通常用文字或符號(hào)來(lái)表示集合中的元素特征．統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)：確保描述的方法能夠唯一確定一個(gè)集合，避免模糊或歧義的描述．區(qū)間法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】設(shè)a＜b，①開(kāi)區(qū)間：{x|a＜x＜b}=（a，b）

②閉區(qū)間：{x|a≤x≤b}=[a，b]

③半開(kāi)半閉區(qū)間：{x|a＜x≤b}=（a，b]{x|a≤x＜b}=[a，b）

正無(wú)窮：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，表示某一大于零的有理數(shù)或無(wú)理數(shù)數(shù)值無(wú)限大的一種方式，沒(méi)有具體數(shù)字，但是正無(wú)窮表示比任何一個(gè)數(shù)字都大的數(shù)值．符號(hào)為+∞．?dāng)?shù)軸上可表示為向右箭頭無(wú)限遠(yuǎn)的點(diǎn)．

負(fù)無(wú)窮：某一負(fù)數(shù)值表示無(wú)限小的一種方式，沒(méi)有具體數(shù)字，但是負(fù)無(wú)窮表示比任何一個(gè)數(shù)字都小的數(shù)值．符號(hào)為-∞．

{x|a≤x}=[a，+∞）

{x|a＜x}=（a，+∞）

{x|x≤a}=（-∞，a]

{x|x＜a}=（-∞，a）

{x|x∈R}=（-∞，+∞）

【解題方法點(diǎn)撥】通常情況下，解答不等式，函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題利用單調(diào)性的定義，或者函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，注意函數(shù)的定義域，變量的取值范圍，集合一般利用區(qū)間表示，函數(shù)的單調(diào)性多個(gè)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間必須用“，”分開(kāi)；不能利用并集符號(hào)連接．解題時(shí)注意區(qū)間的端點(diǎn)的數(shù)值的應(yīng)用．

【命題方向】區(qū)間上的最值，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的最值，恒成立等知識(shí)有關(guān)問(wèn)題，高考?？碱}目．典型例題典型例題例1：例1.（2024秋?新泰市校級(jí)期末）集合{x∈N*|x-3＜2}的另一種表示法是（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}例2.（2024秋?玉溪期末）已知集合A={x|5x2+4x=0}，則集合A=（）A．{0}B．-C．0D．0跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2025春?唐縣校級(jí)期中）集合{x∈N+|x-2≤1}用列舉法表示為（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2，3，4}D．{1，2，3，4}【跟蹤訓(xùn)練2】.（2025秋?安溪縣期中）已知集合M={1，5，9，13，17}，則M=（）A．{x|x=2n+1，n∈N，n≤8}B．{x|x=2n-1，n∈N，n≤9}C．{x|x=4n+1，n∈N，n≤4}D．{x|x=4n-3，n∈N，n≤5}【跟蹤訓(xùn)練3】（2025?黃浦區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）用列舉法表示集合{x|-2≤x≤2，x∈N}=______．【跟蹤訓(xùn)練4】（2025秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）能被3整除余2的自然數(shù)組成的集合可以用描述法表示為_(kāi)_____．【跟蹤訓(xùn)練5】（2025秋?牡丹區(qū)校級(jí)期中）已知集合A={x|x（x-1）（x+1）=0}，則A=______．【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋?仁壽縣校級(jí)期末）方程組{x+y=0x2知識(shí)點(diǎn)5知識(shí)點(diǎn)5知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)5】集合的相等【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．

（2）對(duì)集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A=B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說(shuō)這兩個(gè)集合相等，記作A=B．【解題方法點(diǎn)撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個(gè)元素都在B中，而且B中的每一個(gè)元素都在A中．元素一一對(duì)應(yīng)：兩個(gè)集合相同，需確保每個(gè)元素都在兩個(gè)集合中出現(xiàn)，且沒(méi)有遺漏．直接對(duì)比：對(duì)于簡(jiǎn)單集合，可以直接對(duì)比元素列舉是否完全一致．典型例題典型例題例1：例1.（2025?石景山區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=4m+6n,m,n∈Z}．則（）A．A∩B=?B．A?BC．A=BD．A∪B=Z【答案】C【分析】由集合相等的概念，說(shuō)明B?A，同時(shí)A?B即可；【解答】解：從B中任取一個(gè)元素x=4m+6n=2（2m+3n），一定是偶數(shù)，所以B?A，

從A中任取一個(gè)元素x=2k=4（-k）+6k,x∈B，所以A?B，

所以A=B．

故選：C．例2.（2025秋?吉林月考）下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（）A．{x|x=2020}B．{y|（y-2020）2=0}C．{x=2020}D．{2020}【答案】C【分析】根據(jù)集合的表示方法判斷即可．【解答】解：選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2020，都是數(shù)集，

選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．

故選：C．跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2024春?博湖縣期末）下列集合中表示同一集合的是（）A．M={（3，2）}，N={（2，3）}B．M={2，3}，N={3，2}C．M={（x,y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}D．M={2，3}，N={（2，3）}【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋?鄖陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）下列各組中集合P與Q，表示同一個(gè)集合的是（）A．P是由元素1，3，π構(gòu)成的集合，Q是由元素π，1，|-3|構(gòu)成的集合B．P是由π構(gòu)成的集合，Q是由3.141

59構(gòu)成的集合C．P是由2，3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(duì)（2，3）構(gòu)成的集合D．P是滿足不等式-1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x2=1的解集【跟蹤訓(xùn)練3】下列集合中，A={x=2，y=1}，B={2，1}，C={（x,y）|（x-2）2+|y-1|=0}，D=（x,y）|{x+y=3x-y=1}，E={（x,y）|x=2且y=1}，F(xiàn)={（x,y）|x=2或y=1}，其中與集合{（【跟蹤訓(xùn)練4】①M(fèi)={（1，2）}與N={（2，1）}表示同一個(gè)集合；

②M={1，2}與N={2，1}表示同一個(gè)集合；

③空集是唯一的；

④若M={y|y=x2+1，x∈R}，N={x|x=t2+1，t∈R}，則集合M=N，以上的說(shuō)法中正確的序號(hào)為_(kāi)_____．知識(shí)點(diǎn)6知識(shí)點(diǎn)6知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)6】子集與真子集子集的判斷與求解【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．

記作：A?B（或B?A）．

2、真子集是對(duì)于子集來(lái)說(shuō)的．

真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．

也就是說(shuō)如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，

若B中有一個(gè)元素，而A中沒(méi)有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亞洲國(guó)家的集合是地球上所有國(guó)家的集合的真子集．

所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．

{1，3}?{1，2，3，4}

{1，2，3，4}?{1，2，3，4}【解題方法點(diǎn)撥】定義子集：A是B的子集，當(dāng)且僅當(dāng)A中的每一個(gè)元素都在B中．

驗(yàn)證元素：逐個(gè)檢查A中的元素是否在B中．符號(hào)表示：用?表示子集關(guān)系，若A是B的子集，記為A?B．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會(huì)考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．空集及空集的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空集的定義：不含任何元素的集合稱為空集．記作?．空集的性質(zhì)：空集是一切集合的子集．

2、注意：

空集不是沒(méi)有；它是內(nèi)部沒(méi)有元素的集合，而集合是存在的．這通常是初學(xué)者的一個(gè)難理解點(diǎn)．

將集合想象成一個(gè)裝有其元素的袋子的想法或許會(huì)有幫助；

袋子可能是空的，但袋子本身確實(shí)是存在的．

例如：{x|x2+1=0，x∈R}=?．雖然有x的表達(dá)式，但方程中根本就沒(méi)有這樣的實(shí)數(shù)x使得方程成立，所以方程的解集是空集．

3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【解題方法點(diǎn)撥】解答與空集有關(guān)的問(wèn)題，例如集合A∩B=B?B?A，實(shí)際上包含3種情況：

①B=?；

②B?A且B≠?；

③B=A；往往遺漏B是?的情形，所以老師們?cè)谥v解這一部分內(nèi)容或題目時(shí)，總是說(shuō)“空集優(yōu)先的原則”，就是首先

考慮空集．【命題方向】

一般情況下，多與集合的基本運(yùn)算聯(lián)合命題，是學(xué)生容易疏忽、出錯(cuò)的地方，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的細(xì)心程度，難度不大，可以在選擇題、填空題、簡(jiǎn)答題中出現(xiàn)．子集的個(gè)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．

也就是說(shuō)如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個(gè)元素，而A中沒(méi)有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

2、一般來(lái)說(shuō)，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對(duì)于含有n個(gè)（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個(gè)；真子集就有2n-1．但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒(méi)有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】公式計(jì)算：若一個(gè)集合有n個(gè)元素，則它的子集個(gè)數(shù)為2^n．理解冪集：冪集是一個(gè)集合的所有子集組成的集合．典型例題典型例題例1：例1.（2023秋?綏寧縣校級(jí)期末）下列集合中，是集合{1，2}的真子集的是（）A．{1，2}B．?C．{?}D．{1，2，3}例2.（2025秋?襄城區(qū)校級(jí)月考）已知集合M={-1，0，1}，N={0，1}，則（）A．M?NB．M∩N=?C．N?MD．M=N例3.（2025秋?敖漢旗校級(jí)月考）若?是集合M={x|x2-ax+1=0，a∈R}的真子集，則a的取值范圍是（）A．-2＜a＜2B．a(chǎn)＜-2或a＞2C．-2≤a≤2D．a(chǎn)≤-2或a≥2跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練1】（2025?武漢模擬）已知集合A={-3，-2，0，2}，B={x|-1＜x＜4}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為（）A．2B．4C．8D．16【跟蹤訓(xùn)練2】（2025春?北京校級(jí)期中）已知集合A={1，2，3，4，5，?，2025}的子集B滿足：對(duì)任意x,y∈B，有x+y?B，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是（）A．506B．507C．1012D．1013【跟蹤訓(xùn)練3】（2025春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）若從兩男兩女四人中隨機(jī)選出兩人，設(shè)兩個(gè)男生分別用A，B表示，兩個(gè)女生分別用C，D表示，相應(yīng)的樣本空間為Ω={AB，AC，AD，BC，BD，CD}，則與事件“選出一男一女”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為_(kāi)_____．【跟蹤訓(xùn)練4】（2024秋?仁壽縣校級(jí)期末）定義集合的商集運(yùn)算為：BA=x|x=nm，m∈A，n【跟蹤訓(xùn)練5】（2025秋?湖北期中）設(shè)集合A={x|ax2-（a+1）x+1=0，a∈R}，B={x|x2-5x+4=0}．

（1）若A∪B=B，求a的取值；

（2）記C=A∪B，若集合C的非空真子集有6個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)7知識(shí)點(diǎn)7知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)7】集合的基本運(yùn)算求集合的交集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．

符號(hào)語(yǔ)言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．

當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集．

運(yùn)算性質(zhì)：

①A∩B=B∩A．②A∩?=?．③A∩A=A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖．掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．求集合的并集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．

符號(hào)語(yǔ)言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．

A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．

運(yùn)算性質(zhì)：

①A∪B=B∪A．②A∪?=A．③A∪A=A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點(diǎn)撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．求集合的補(bǔ)集【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．

對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA，即CUA={x|x∈U，且x?A}．【解題方法點(diǎn)撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對(duì)立事件，否命題，反證法．通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補(bǔ)集的選擇題，有時(shí)出現(xiàn)在簡(jiǎn)易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．典型例題典型例題例1：例1.（2025?煙臺(tái)三模）已知集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|x2≤3}，則A∪B=（）A．[B．[C．（-∞