歐氏空間測試題與答案

一、單項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.在歐氏空間中,向量$\vec{a}$與自身的內(nèi)積等于（）A.0B.向量長度C.向量長度的平方D.12.歐氏空間中兩個非零向量$\vec{a}$,$\vec$正交是指()A.$\vec{a}+\vec=0$B.$\vec{a}\cdot\vec=0$C.$\vec{a}=\vec$D.$\vec{a}=-\vec$3.若$\vec{e_1}$,$\vec{e_2}$是歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基,向量$\vec{a}=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}$,則$|\vec{a}|$等于()A.5B.$\sqrt{13}$C.13D.$\sqrt{5}$4.歐氏空間中線性變換$T$是正交變換的充要條件是()A.$T$保持向量長度不變B.$T$保持向量內(nèi)積不變C.$T$是可逆變換D.$T$是線性變換5.設(shè)$\vec{a}$,$\vec$是歐氏空間的向量,則$(\vec{a}+\vec)\cdot(\vec{a}-\vec)$等于()A.$|\vec{a}|^2-|\vec|^2$B.$|\vec{a}|^2+|\vec|^2$C.$|\vec{a}+\vec|^2$D.$|\vec{a}-\vec|^2$6.歐氏空間$V$的維數(shù)是$n$,它的標(biāo)準(zhǔn)正交基所含向量個數(shù)是()A.$n-1$B.$n$C.$n+1$D.不確定7.若$\vec{a}$是歐氏空間中的向量,$k$是實(shí)數(shù),則$|k\vec{a}|$等于()A.$k|\vec{a}|$B.$|k||\vec{a}|$C.$k^2|\vec{a}|$D.$|k|^2|\vec{a}|$8.歐氏空間中向量$\vec{a}$在向量$\vec$上的投影向量為()A.$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|^2}\vec$B.$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}\vec$C.$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$D.$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|}\vec{a}$9.歐氏空間中兩個向量組等價(jià),則它們的()A.長度相等B.內(nèi)積相等C.秩相等D.以上都不對10.設(shè)$A$是歐氏空間中線性變換$T$在某標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣,$A$為正交矩陣是$T$為正交變換的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、多項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.以下哪些是歐氏空間的性質(zhì)(）A.內(nèi)積滿足對稱性B.內(nèi)積滿足線性性C.向量長度非負(fù)D.向量正交性具有傳遞性2.歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基具有的特點(diǎn)有()A.向量兩兩正交B.向量都是單位向量C.向量組線性無關(guān)D.可以唯一確定歐氏空間3.若$\vec{a}$,$\vec$,$\vec{c}$是歐氏空間向量,下列等式成立的有()A.$(\vec{a}+\vec)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec\cdot\vec{c}$B.$\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}$C.$(k\vec{a})\cdot\vec=k(\vec{a}\cdot\vec)$D.$\vec{a}\cdot(\vec+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec+\vec{a}\cdot\vec{c}$4.歐氏空間中正交變換具有的性質(zhì)有()A.保持向量長度不變B.保持向量夾角不變C.保持向量內(nèi)積不變D.保持線性無關(guān)性不變5.下列屬于歐氏空間中向量運(yùn)算的有()A.加法B.數(shù)乘C.內(nèi)積D.外積6.歐氏空間中兩個向量正交,能推出()A.它們的內(nèi)積為0B.它們線性無關(guān)C.它們的夾角為$90^{\circ}$D.它們長度相等7.歐氏空間中線性變換$T$滿足()時是正交變換A.對任意向量$\vec{a}$,$\vec$,$(T(\vec{a}),T(\vec))=(\vec{a},\vec)$B.若$\vec{e_1},\cdots,\vec{e_n}$是標(biāo)準(zhǔn)正交基,則$T(\vec{e_1}),\cdots,T(\vec{e_n})$也是標(biāo)準(zhǔn)正交基C.$T$保持向量長度不變D.$T$是可逆線性變換8.歐氏空間中,關(guān)于向量長度正確的說法有()A.$|\vec{a}|\geq0$,且$|\vec{a}|=0$當(dāng)且僅當(dāng)$\vec{a}=0$B.$|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$C.$|\vec{a}+\vec|\leq|\vec{a}|+|\vec|$D.$|\vec{a}-\vec|\geq|\vec{a}|-|\vec|$9.設(shè)$\vec{a}$,$\vec$是歐氏空間向量,以下哪些與$\vec{a}$,$\vec$夾角有關(guān)（）A.$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}$B.$(\vec{a}\cdot\vec)^2\leq|\vec{a}|^2|\vec|^2$C.若$\vec{a}\cdot\vec=0$則夾角為$90^{\circ}$D.向量$\vec{a}$在$\vec$上投影向量10.歐氏空間中一個向量組線性無關(guān),且向量兩兩正交,則該向量組()A.可擴(kuò)充為標(biāo)準(zhǔn)正交基B.是正交向量組C.向量長度都為1D.是極大線性無關(guān)組三、判斷題(每題2分,共10題)1.歐氏空間中向量的內(nèi)積一定是實(shí)數(shù)。()2.若$\vec{a}$,$\vec$是歐氏空間向量,且$\vec{a}\cdot\vec>0$,則$\vec{a}$,$\vec$夾角為銳角。（)3.歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基是唯一的。()4.正交變換一定是線性變換。()5.若$\vec{a}$,$\vec$是歐氏空間向量,$|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}|+|\vec|$當(dāng)且僅當(dāng)$\vec{a}$,$\vec$同向。()6.歐氏空間中,向量$\vec{a}$與向量$-\vec{a}$長度相等。()7.線性變換$T$在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣,則$T$是正交變換。(）8.歐氏空間中,若向量$\vec{a}$與向量組$\{\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots\}$中每個向量都正交,則$\vec{a}$與該向量組生成的子空間正交。（)9.歐氏空間中向量的長度滿足三角不等式。()10.兩個歐氏空間只要維數(shù)相同就一定同構(gòu)。(）四、簡答題(每題5分,共4題)1.簡述歐氏空間中內(nèi)積的定義及性質(zhì)。答案:歐氏空間內(nèi)積是滿足對稱性、線性性、正定性的二元運(yùn)算。即$(\vec{a},\vec)=(\vec,\vec{a})$,$(k\vec{a},\vec)=k(\vec{a},\vec)$,$(\vec{a},\vec{a})\geq0$且$(\vec{a},\vec{a})=0$當(dāng)且僅當(dāng)$\vec{a}=0$,還滿足$(\vec{a}+\vec,\vec{c})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec,\vec{c})$。2.說明正交變換保持向量夾角不變的原因。答案:設(shè)正交變換$T$,向量$\vec{a}$,$\vec$,其夾角$\theta$滿足$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}$。經(jīng)$T$變換后,$(T(\vec{a}),T(\vec))=(\vec{a},\vec)$,$|T(\vec{a})|=|\vec{a}|$,$|T(\vec)|=|\vec|$,所以變換后夾角余弦值不變,即夾角不變。3.怎樣將歐氏空間中一個線性無關(guān)向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組?答案：可采用施密特正交化方法。先正交化,設(shè)向量組$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots$,令$\vec{\beta_1}=\vec{\alpha_1}$,$\vec{\beta_2}=\vec{\alpha_2}-\frac{(\vec{\alpha_2},\vec{\beta_1})}{(\vec{\beta_1},\vec{\beta_1})}\vec{\beta_1}$等。再單位化,令$\vec{e_i}=\frac{\vec{\beta_i}}{|\vec{\beta_i}|}$得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。4.歐氏空間中向量長度有哪些重要性質(zhì)?答案：非負(fù)性,$|\vec{a}|\geq0$且$|\vec{a}|=0$當(dāng)且僅當(dāng)$\vec{a}=0$；齊次性,$|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$；三角不等式,$|\vec{a}+\vec|\leq|\vec{a}|+|\vec|$及$|\vec{a}-\vec|\geq|\vec{a}|-|\vec|$。五、討論題(每題5分,共4題)1.討論歐氏空間中正交矩陣與正交變換的聯(lián)系與區(qū)別。答案:聯(lián)系:正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣,反之,正交矩陣確定的線性變換是正交變換。區(qū)別:正交變換是歐氏空間中的一種變換,關(guān)注的是對向量的作用;正交矩陣是一個矩陣,從代數(shù)角度描述正交性,二者一個是變換概念,一個是矩陣概念。2.舉例說明歐氏空間在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案:在物理學(xué)中,向量表示力、速度等物理量,內(nèi)積可計(jì)算功(力與位移內(nèi)積)。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里,用向量描述圖形頂點(diǎn)位置,正交變換用于圖形的旋轉(zhuǎn)、平移等操作,能實(shí)現(xiàn)三維場景展示和動畫制作。3.探討歐氏空間中線性無關(guān)向量組與標(biāo)準(zhǔn)正交基的關(guān)系。答案:線性無關(guān)向量組可通過施密特正交化方法化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,進(jìn)而擴(kuò)充為標(biāo)準(zhǔn)正交基。標(biāo)準(zhǔn)正交基是特殊的線性無關(guān)向量組,具有向量兩兩正交且為單位向量的特性。線性無關(guān)向量組是構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交基的基礎(chǔ)。4.分析歐氏空間中向量內(nèi)積與向量正交性的重要意義。答案:向量內(nèi)積能定義向量長度、夾角,衡量向量間的"關(guān)聯(lián)程度"。向量正交性很關(guān)鍵,正交向量組線性無關(guān),在很多領(lǐng)域有應(yīng)用