3.2導數(shù)的運算3．2.1常數(shù)與冪函數(shù)的導數(shù)3．2.2導數(shù)公式表[學習目標]1.理解各個公式的證明過程，進一步理解運用定義求導數(shù)的方法.2.掌握常見函數(shù)的導數(shù)公式.3.靈活運用公式求某些函數(shù)的導數(shù)．[知識鏈接]在前面，我們利用導數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點處的導數(shù)，那么能不能利用導數(shù)的定義求出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導數(shù)呢？類比用導數(shù)定義求函數(shù)在某點處導數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)？答：(1)計算eq\f(Δy,Δx)，并化簡；(2)觀察當Δx趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)趨近于哪個定值；(3)eq\f(Δy,Δx)趨近于的定值就是函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)．[預(yù)習導引]1．常數(shù)與冪函數(shù)的導數(shù)原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝Cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表原函數(shù)導函數(shù)y＝Cy′＝0y＝xny′＝nxn－1(n為自然數(shù))y＝xμ(x>0，μ≠0)y′＝μxμ－1(μ為有理數(shù))y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，且a≠1)y′＝axln_ay＝exy′＝exy＝logax(a>0，且a≠1，x>0)y′＝eq\f(1,xlna)y＝lnx(x>0)y′＝eq\f(1,x)要點一利用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)例1用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝2014x2的導數(shù)．解f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2014x＋Δx2－2014x2,x＋Δx－x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2014[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2014x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4028x·Δx＋2014Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4028x＋2014Δx)＝4028x.規(guī)律方法解答此類問題，應(yīng)注意以下幾條：(1)嚴格遵循“一差、二比、三取極限”的步驟．(2)當Δx趨于0時，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趨于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的應(yīng)用．跟蹤演練1用導數(shù)的定義求函數(shù)y＝x2＋ax＋b(a，b為常數(shù))的導數(shù)．解y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x·Δx＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要點二利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)例2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝sineq\f(π,3)；(2)y＝5x；(3)y＝eq\f(1,x3)；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝(eq\r(4,x3))′＝(xeq\f(3,4))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).規(guī)律方法求簡單函數(shù)的導函數(shù)的基本方法：(1)用導數(shù)的定義求導，但運算比較繁雜；(2)用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程、降低運算難度．解題時根據(jù)要解決問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，再選擇合適的求導公式．跟蹤演練2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x8；(2)y＝(eq\f(1,2))x；(3)y＝xeq\r(x)；(4)y＝logeq\f(1,3)x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝(eq\f(1,2))xlneq\f(1,2)＝－(eq\f(1,2))xln2；(3)∵y＝xeq\r(x)＝xeq\f(3,2)，∴y′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2)；(4)y′＝eq\f(1,xln\f(1,3))＝－eq\f(1,xln3).要點三利用導數(shù)公式求曲線的切線方程例3求過曲線y＝sinx上點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且與過這點的切線垂直的直線方程．解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲線在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線斜率是：y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).∴過點P且與切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2,\r(3))，故所求的直線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))(x－eq\f(π,6))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.規(guī)律方法導數(shù)的幾何意義是曲線在某點處的切線的斜率；相互垂直的直線(斜率均存在)斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵．跟蹤演練3已知點P(－1,1)，點Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．解∵y′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點為M(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2)，所以切點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).∴所求的切線方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，則f′(3)等于()A．0B．2xC．6D．9答案C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(3)等于()A.eq\f(\r(3),6)B．0C.eq\f(1,2\r(x))D.eq\f(\r(3),2)答案A解析∵f′(x)＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴f′(3)＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).3．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值等于()A.eq\f(19,3)B.eq\f(16,3)C.eq\f(13,3)D.eq\f(10,3)答案D解析f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝eq\f(10,3).4．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為________．答案eq\f(1,2)e2解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當x＝0時，y＝－e2，當y＝0時，x＝1.∴S△＝eq\f(1,2)×1×|－e2|＝eq\f(1,2)e2.1.利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可以比較簡捷地求出函數(shù)的導數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和