試題試題2024北京北京中學初三4月月考數(shù)學一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.2.已知，已知華為麒麟芯片采用7納米工藝制造，則7納米用科學記數(shù)法表示為（）米．A. B. C. D.3.正十邊形的內(nèi)角和是下列哪個圖形內(nèi)角和的2倍？（）A. B. C. D.4.實數(shù)a與b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示．則正確的結(jié)論是（）A. B. C. D.5.經(jīng)過某路口的汽車，只能直行或右轉(zhuǎn)．若這兩種可能性大小相同，則經(jīng)過該路口的兩輛汽車都直行的概率為（）A. B. C. D.6.平面直角坐標系中，若點和在反比例函數(shù)圖像上，則下列關系式正確的是（）A. B. C. D.7.若關于的方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.8.如圖，點B,C,D在同一條線上，點D在點B，C之間，點A在直線上方，連接,，，，，設，，，，給出下面三個結(jié)論：①；②；③；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.② C.①③ D.①②③二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若分式的值為0，則的值為______.10.分解因式：_________．11.如圖，已知菱形，通過測量、計算得菱形的面積約為_______．（結(jié)果保留一位小數(shù)）12.如圖，小軍、小珠之間的距離為，他們在同一盞路燈下的影長分別為，，已知小軍、小珠的身高分別為，，則路燈的高為________m．13.某廠生產(chǎn)了1000只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機抽取了50只燈泡進行檢測，獲得了它們的使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)整理如下：使用壽命燈泡只數(shù)51012176根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數(shù)量為______只．14.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則_______°（點A，B，C是網(wǎng)格線交點）．15.如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點，．若∠CAB=40°，則∠CAD=_____．16.小宇計劃在某外賣網(wǎng)站點如下表所示的菜品．已知每份訂單的配送費為3元，商家為了促銷，對每份訂單的總價（不含配送費）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減12元，滿60元減30元，滿100元減45元．如果小宇在購買下表中的所有菜品時，采取適當?shù)南掠唵畏绞?，那么他點餐的總費用最低可為________元．菜品單價（含包裝費）數(shù)量水煮牛肉（小）30元1醋溜土豆絲（?。?2元1豉汁排骨（?。?0元1手撕包菜（?。?2元1米飯3元2三、解答題17.計算．18.解不等式組：19.若，求解的值．20.已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若為正整數(shù)，求此時方程的根．21.某種電熱淋浴器的水箱盛滿水是200升，加熱到一定溫度，即可供淋浴用，在放水的同時自動注水，設t分鐘內(nèi)注入水升，放水升，當水箱內(nèi)的水量達到最小值時，必須停止放水并將水箱注滿，加熱升溫，過一定時間后，才能繼續(xù)放水使用．現(xiàn)規(guī)定每人入浴用水量約65升，求解該淋浴器一次可連續(xù)供幾人洗?。?2.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象平移得到，且經(jīng)過點．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）當時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．23.已知四邊形，．點E在四邊形的外部，連結(jié)．（1）證明:四邊形是矩形．（2）若，，求解的長．24.為迎接2022年冬奧會，鼓勵更多的學生參與到志愿服務中來，甲、乙兩所學校組織了志愿服務團隊選拔活動，經(jīng)過初選，兩所學校各400名學生進入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)．為了了解兩所學校學生的整體情況，從兩校進入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)的學生中分別隨機抽取了50名學生的綜合素質(zhì)展示成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲學校學生成績的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，）：b．甲學校學生成績在這一組的是：80808181.582838384858686.5878888.58989c．乙學校學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率（85分及以上為優(yōu)秀）如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率83.38478根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）甲學校學生A，乙學校學生B的綜合素質(zhì)展示成績同為83分，這兩人在本校學生中的綜合素質(zhì)展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；（2）根據(jù)上述信息，推斷______學校綜合素質(zhì)展示的水平更高，理由為____________________________（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）；（3）若每所學校綜合素質(zhì)展示的前120名學生將被選入志愿服務團隊，預估甲學校分數(shù)至少達到_________分的學生才可以入選．25.如圖，點P是外一點，過點P的直線m是的切線，切點是A，過點A作弦，連接交于點E，連接．（1）在圖1中，求證：；（2）在圖2中，過點P作直線，直線與直線n相交于點K，若直線n是圓的切線，切點是C，，求解的半徑．26.在平面直角坐標系中，，，是拋物線上任意三點，設拋物線的對稱軸為．（1）若對于，，有，求的值；（2）若對于，，，都有，求的取值范圍．27.在中，，點D是線段上的動點（不與點B，C重合），將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）連結(jié)，證明：．（2）在線段延長線上取一點F，滿足，作點E關于直線的對稱點G，連接，，補充圖形，直接寫出的大小，并說明理由．28.給出坐標平面上的一個定點與一動點，，給出如下定義：連結(jié)，線段的上有一點，若，則稱點為點，的“分圓伴點”．如圖點為點，的“2分圓伴點”的示意圖．（1）已知點的坐標為，，下列給出四個點中，是點，的“2分圓伴點”．，，，（2）已知點的坐標為，，若直線上至少有一個點是，的“2分圓伴點”，求解的取值范圍；（3）已知點在以為圓心，以為半徑的圓上運動，．若，，三點圍成的的三邊上的點都是點，的“2分圓伴點”，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.【答案】A【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐項判斷即可．【詳解】解：A．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；B．不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，不符合題意；C．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意．故選A．2.【答案】D【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，熟練掌握科學記數(shù)法的定義是解題的關鍵．根據(jù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定即可求解．【詳解】解：∵∴∴故選：D．3.【答案】C【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，設邊形的內(nèi)角和是正十邊形內(nèi)角和的2倍，由題意列方程進行求解即可.【詳解】解：設邊形的內(nèi)角和是正十邊形內(nèi)角和的2倍，由題意得，解得：，故選：C．4.【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點所表示的數(shù)即可解答．【詳解】解：A.∵a在原點的右邊，∴a>0，故不正確；B.∵a在b的右邊，∴a>b，故不正確；C.∵，5>0，∴，故正確；D.∵a表示的點到原點的距離比b表示的點到原點的距離近，∴，故不正確；故選C．【點睛】此題主要考查數(shù)利用數(shù)軸上的點的比較代數(shù)式的大小，絕對值的意義，以及加法法則，關鍵熟記數(shù)軸上的點從左至右依次增大，位于原點左邊的數(shù)為負數(shù)．原點右邊的數(shù)為正數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)．5.【答案】A【分析】從所有等可能的情況中找出符合條件的情況數(shù)，利用概率公式求解．【詳解】解：由題意知，A，B兩輛汽車經(jīng)過該路口時共有4種等可能的情況，分別是：A直行B右轉(zhuǎn)，A直行B直行，A右轉(zhuǎn)B右轉(zhuǎn)，A右轉(zhuǎn)B直行，因此經(jīng)過該路口的兩輛汽車都直行的概率為．故選A．【點睛】本題考查簡單概率的計算，根據(jù)題意列出所有等可能的情況是解題的關鍵．6.【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖像的特點即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，∴反比例函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三象限，在第一象限中，函數(shù)值隨的增大而減小，∴點和中，，∴，即，故選：．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的特點，掌握反比例函數(shù)圖像的增減性是解題的關鍵．7.【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握當根的判別式大于等于0時，一元二次方程有兩個實數(shù)根是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式列出不等式求解即可．【詳解】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：．故選D．8.【答案】A【分析】本題考查了三角形的三邊關系，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理等知識，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵．對于①，利用三角形三邊關系，即可判斷答案；對于②，以為直徑畫圓，交于點E，連結(jié)，，則，根據(jù)勾股定理，可得，再根據(jù)，，即可判斷答案；對于③，過點A作于點H，在，和中，根據(jù)勾股定理，可得，，，將前兩式相加得，再，代入，即可化簡為，由此即可判斷答案．【詳解】在和中，，，，；所以①正確；如圖1，以為直徑畫圓，交于點E，連結(jié)，，則，，即，，，，；所以②正確；如圖2，過點A作于點H，，，，，，，，，；所以③錯誤．故選A．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】1【分析】根據(jù)分式的值為零的條件即可得出．【詳解】解：∵分式的值為0，∴x-1=0且x≠0，∴x=1．故答案為1．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件：當分式的分母不為零，分子為零時，分式的值為零．10.【答案】y（x+1）（x﹣1）【分析】利用提公因式及平方差公式進行因式分解．【詳解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），故答案為y（x+1）（x﹣1）．【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握提公因式法與公式法的綜合運用．11.【答案】【分析】如圖（見解析），過點D作于點E，測量出BC，DE的長，再利用菱形的面積公式即可求出菱形的面積．【詳解】如圖，過點D作于點E，經(jīng)測量，則，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的面積公式，熟記面積公式是解題關鍵．12.【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的應用，證得成為解題的關鍵．如圖：先證明可得，再結(jié)合已知條件可得，然后求解即可．【詳解】解：如圖：∵，∴，∴，∴，解得：．故答案為：．13.【答案】460【分析】用1000乘以抽查的燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡所占的比例即可．【詳解】解：估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數(shù)量為（只），故答案為：460．【點睛】本題考查了用樣本估計總體，用樣本估計總體時，樣本容量越大，樣本對總體的估計也就越精確．14.【答案】45【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)網(wǎng)格作出等腰直角三角形即可解答．【詳解】解：如圖：取格點D，則，∴，，∴是等腰直角三角形，∴．故答案為：45．15.【答案】25°【分析】連接BC，BD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠ACB=90°，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，得∠ABD=∠CBD，從而可得到∠BAD的度數(shù)．【詳解】如圖，連接BC，BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案為25°．【點睛】本題考查了圓周角定理及直徑所對的圓周角是直角的知識點，解題的關鍵是正確作出輔助線.16.【答案】54【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，根據(jù)滿3元減元，滿元減元，滿元減元，即可得到結(jié)論．【詳解】解：小宇應采取的訂單方式是一份，一份，所以點餐總費用最低可為元，答：他點餐總費用最低可為元．故答案為：．三、解答題17.【答案】【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【詳解】解：．【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．18.【答案】不等式組的解集為.【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：，∴解不等式②得：，∴∴不等式組的解集為【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．19.【答案】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內(nèi)的式子通分，再根據(jù)分式乘法計算法則約分化簡，再求出，據(jù)此把代入化簡結(jié)果中求解即可．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．20.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意得出關于的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)的范圍可知，代入原方程后利用配方法解方程即可求出答案．【小問1詳解】∵原方程有實數(shù)根，【小問2詳解】∵為正整數(shù)，又，當時，原方程為，即，解得，．因此，原方程的根為；【點睛】本題考查了根的判別式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解題的關鍵：（1）由根的情況得出關于的一元一次不等式；（2）確定的值．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，由方程根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出不等式（或不等式組）是關鍵．21.【答案】該淋浴器一次可連續(xù)供4人洗浴．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用，弄懂題意、確定變量代表的意義是解題的關鍵．設水箱的水量為y，先列出水箱的水量為y與時間t的關系式，再求出水箱內(nèi)水取最小值時的注水時間，然后再求出放水的總量，最后結(jié)合每人入浴用水量約65升即可解得答．【詳解】解：設水箱的水量為y，由題意得：，當時，水箱內(nèi)水量的達到最小值；在此期間，共放水升，∵每人洗浴用水65升，∴可洗浴人數(shù)為，∴該淋浴器一次可連續(xù)供4人洗?。?2.【答案】（1）（2）【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關系等知識點，熟練掌握知識點以及運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關鍵．（1）先根據(jù)直線平移時k的值不變得到，再將點代入一次函數(shù)的解析式求得b即可解答；（2）先根據(jù)題意得出x的范圍，再由得到m的范圍即可．【小問1詳解】解：∵

一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象平移得到，∴點代入一次函數(shù)的解析式，得，解得，∴這個一次函數(shù)的解析式為【小問2詳解】解：∵當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，，解得：，23.【答案】（1）見解析（2）【分析】本題主要考查了矩形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理、正切的定義等知識點，靈活運用相關性質(zhì)和判定定理成為解題的關鍵．（1）先證可得，即四邊形是平行四邊形；如圖：作的角平分線分別交于點F、G，可證四邊形是矩形，即，最后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明結(jié)論；（2）如圖：過E作交延長線于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)可得，設，則，根據(jù)正切的定義可列方程求得，即，然后運用勾股定理求得的長即可．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴如圖：作的角平分線分別交于點F、G，∵，∴,同理：，∴∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形．【小問2詳解】解：如圖：過E作交延長線于H，∵，∴,∵四邊形是矩形，∴,即，∴,∴,設，則，∵，∴,即，解得：，∴,∴,∴．24.【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位數(shù)高于甲校，乙校的優(yōu)秀率高于甲校；（3）88.5【分析】（1）先算出甲校的中位數(shù)，發(fā)現(xiàn)A的成績在中位數(shù)前，而讀表得出B的成績在中位線以下，以此判斷排名；（2）計算出甲校的中位數(shù)，優(yōu)秀率，比較回答即可；（3）先計算90-100分的人數(shù)為96人，不夠120人，要從80-90分之間補充，設需要補充x個人，根據(jù)題意，得，解得x即可．【詳解】解：（1）甲校共有50名學生，則中位數(shù)為第25位和第26位的平均成績由直方圖和題干數(shù)據(jù)得，第25位和第26位的成績?yōu)椋?1和81.5∴中位數(shù)為：∵A成績?yōu)?3分，高于中位數(shù)，則A排名在甲校為前半部分∵B成績?yōu)?3分，低于乙校中位數(shù)84，則B排名在乙校為后半部分故A的排名更靠前；故答案為：A；（2）乙校，理由如下：甲校的優(yōu)秀率為：，由（1）甲校的中位數(shù)是81.25分，乙校的中位數(shù)是84，優(yōu)秀率為46%，從中位數(shù)，優(yōu)秀率兩個方面比較看出，乙校都高于甲校，故乙校高，故答案為：乙校，乙校的中位數(shù)高于甲校，乙校的優(yōu)秀率高于甲校；（3）根據(jù)題意，90-100分的人數(shù)為為：人，不夠120人，要從80-90分之間補充，設需要補充x個人，根據(jù)題意，得，解得x=3，而這個3個數(shù)依次為89，89，88.5，至少要88.5分，故答案為：88.5．【點睛】本題考查了中位數(shù)，數(shù)據(jù)的集中趨勢，直方圖，樣本估計總體，熟練掌握中位數(shù)的定義，直方圖的意義，用樣本估計總體的思想是解題的關鍵．25.【答案】（1）見解析（2）2【分析】本題主要考查了解直角三角形、垂徑定理、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，說明為的直徑成為解題的關鍵．（1）連接，設，則，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差可得即可證明結(jié)論；（2）連接，過作，由等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)可得可得，再結(jié)合可得點O在上，即為的直徑，則；再結(jié)合以及三角形內(nèi)角和定理可得，進而得到；再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得,即；由垂徑定理可得，最后再解直角三角形即可解答．【小問1詳解】解：如圖：連接，設，則，∵,∴，∵直線m是的切線，∴，∴，∴．【小問2詳解】解：如圖：連接，過作，∵，∴，∵，∴,∴，∵直線m是的切線，直線n是圓的切線，∴,∵,∴，∴，，∵，∴點O在上，即為的直徑，∴,∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴,即，∵，∴，∵，∴．26.【答案】（1）2（2）【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)成為解題的關鍵；（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可解答；（2）分在對稱軸上的右側(cè)和左側(cè)時兩種情況，分別列不等式求解即可．【小問1詳解】解：∵對于，，有，∴拋物線的對稱軸為，【小問2詳解】解：∵，∴拋物線開口向向上，∵拋物線的對稱軸為，對于，，，都有，∴，當在對稱軸右側(cè)時，∴，，∴，∵，，，∴；當在對稱軸的左側(cè)時，∴，∴且，∵，，，∴；綜上所述，t的取值范圍是．27.【答案】（1）見詳解（2）【分析】（1）連接并延長，交于點M，取中點N，連接，由等腰三角形的“三線合一”得到，，可證明，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求證；（2）在射線上取點H，使得，連接，先證明，則可得，再證明，則，繼而，可證明，因此，可證明，繼而求解．【小問1詳解】證明：連接并延長，交于點M，取中點N，連接，由題意得，，∵中點為點N，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即：；【小問2詳解】解：，在射線上取點H，使得，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴∵點E與點G關于對稱，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換以及軸對稱變換的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握知識點，正確添加輔