第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年青海師大附屬第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱

B.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐

C.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)

D.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2,b=3,cosB=74，則A=A.π6 B.π3 C.5π6 D.3.已知向量a=(1,2)，b=(m,3)，若a⊥(2a?b)，則A.1010 B.31010 4.已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的表面積之比(

)A.1：1 B.2：1 C.3：2 D.2：35.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b=1,C=π4，△ABC的面積S=2，則△ABC的外接圓的半徑為(

)A.45 B.25 C.6.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，設(shè)a=AB,b=ACA.14a+34bB.?7.化橘紅具有散寒燥濕，利氣消疾，止咳、健脾消食等功效.如圖，小明為了測量一棵老橘紅樹的高度，他選取與樹根部C在同一水平面的A、B兩點(diǎn)，在A點(diǎn)測得樹根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行20米到B處，測得樹根部C在西偏北75°的方向上，樹梢D的仰角為30°，則樹的高度是(

)A.106米B.10C.1033米 8.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M是棱CA.105 B.31010 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m//n，n?α，m?α，則m//α B.若m//α，α//β，則m//β

C.若m//α，n//α，則m//n D.若α//β，m?α，則m//β10.已知向量a=(1,m)，b=(2,?4)，則下列說法正確的是(

)A.若|a+b|=10，則m=5

B.若a//b，則m=?2

C.若a⊥b，則11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列敘述正確的是(

)A.a=3，b=4，A=150°，有兩解

B.若acosB=bcosA，則△ABC為等腰三角形

C.若△ABC為銳角三角形，則sinA>cosB

D.若sinA：sinB：sinC=2：3：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a，b的夾角為π6，且|a|=2，b=(?1,3)，則a在b方向上的投影向量為______13.如圖，這是用斜二測畫法畫出的水平放置的梯形ABCD的直觀圖，其中A′B′//C′D′，A′B′=2C′D′=8，梯形A′B′C′D′的面積為30，則梯形ABCD的高為______．14.在△ABC中，∠ABC=π4，BC=2，S△ABC=2，若E為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a=(1,3)，b=(6,x)．

(1)若a⊥b，求向量2a?b的坐標(biāo)；

(2)若a//b，求|b|的值；

(3)16.(本小題15分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為線段DD1，BD的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)D到平面17.(本小題15分)

在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，3(acosC+ccosA)=2bsinB．

(1)求角B的值；

(2)若b=2318.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對的分別為a，b，c.向量m=(3a,b)，n=(sinA,cosB)，且m//n．

(1)求B的大??；

(2)若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值；

(3)若19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=2，DC=4，E，F(xiàn)分別為棱CD，PD的中點(diǎn)．

(1)求證：PB//平面AEF；

(2)求證：AE⊥平面PBD．

(3)求證：平面AEF//平面PBC．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體，若側(cè)棱不平行，則不為棱柱，故A錯(cuò)誤；

對于B，棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，則頂角為60°，

若為六棱錐，則60°×6=360°，為一個(gè)周角，故為平面圖形，故B錯(cuò)誤；

對于C，由棱臺(tái)的定義，棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，C正確；

對于D，以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)軸是梯形的斜邊，則旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，D錯(cuò)誤．

故選：C．

結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．

本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，注意棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)cosB=74，B∈(0,π)，可得sinB=1?cos2B=34，

因?yàn)閍=2，b=3，

所以由正弦定理asinA=bsinB，可得sinA=a?sinBb=2×343=3.【答案】D

【解析】解：∵a=(1,2)，b=(m,3)，∴2a?b=(2?m,1)．

又∵a⊥(2a?b)，∴a?(2a?b)=2?m+2=0，

解得m=4，即b=(4,3)，

4.【答案】D

【解析】解：設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面圓的半徑為r，高為2r，

所以S圓柱=2πr2+2πr?2r=6πr2，S球=4πr2，

所以球的表面積與圓柱的表面積之比為2：35.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閎=1,C=π4，

所以S=12a×1×sinπ4=2，解得a=42，

由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC=(42)6.【答案】D

【解析】解：由已知，AE=14AD=18(AB+AC)，

所以BE=AE?7.【答案】D

【解析】解：依題意可得如下圖形，

在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°?30°=45°，AB=20，

由正弦定理得，BCsin30°=20sin45°，解得，BC=20×1222=102，

在Rt△BCD中，∠BDC=30°，

所以，CD=BC?tan30°=102×8.【答案】A

【解析】【分析】本題考查異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題．

取DD1的中點(diǎn)N，∠NAC(或其補(bǔ)角)是異面直線BM與AC所成的角，在【解答】

解：取DD1的中點(diǎn)N，連AN，MN，CN，

則MN//AB，MN=AB，

所以四邊形ABMN是平行四邊形，

所以AN//BM，

所以∠NAC(或其補(bǔ)角)是異面直線BM與AC所成的角，

設(shè)正方體的棱長為1，

則AC=2，AN=CN=52，

則cos∠NAC=12ACAN=9.【答案】AD

【解析】解：若m/?/n，n?α，m?α，則m/?/α，所以A選項(xiàng)正確；

若m/?/α，α/?/β，則m//β或m?β，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m/?/α，n/?/α，則m/?/n或m與n相交或異面，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若α/?/β，m?α，則m//β，所以D選項(xiàng)正確．

故選：AD．

根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理分別判斷即可．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10.【答案】BD

【解析】解：對于A，因?yàn)閍=(1,m)，b=(2,?4)，所以a+b=(3,m?4)，|a+b|=9+(m?4)2=10，解得m=5或m=3，故A錯(cuò)誤；

對于B，因?yàn)閍/?/b，所以2m=?4，解得m=?2，故B正確；

對于C，因?yàn)閍⊥b，所以a?b=2?4m=0，解得m=12，故C錯(cuò)誤；

對于D，當(dāng)m=1時(shí)，a=(1,1)，a?b=2?4=?2<0，又因?yàn)榇藭r(shí)a，b不共線，所以向量a11.【答案】CD

【解析】解：A中，a=3，b=4，顯然a<b，可得角A為銳角，而A=150°，顯然該三角形不存在，所以A不正確；

B中，因?yàn)閍cosB=bcosA，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

所以2A=2B或2A+2B=π，可得A=B或A+B=π2，即C=π2，所以B不正確；

C中，△ABC為銳角三角形，則A+B>π2，可得π2>A>π2?B>0，所以sinA>sin(π2?B)=cosB，即sinA>cosB，所以C正確；

D中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，

設(shè)a2k，b=3k，c=4k，k>0，可得c邊最大，可得角C最大，可得cosC=a2+b2?c22ab=4k2+9k2?16k22×2k×3k=?14，

所以C為鈍角，所以D正確．12.【答案】(?【解析】解：b=(?1,3)，

則|b|=2，

平面向量a，b的夾角為π6，且|a|=2，

則a在b方向上的投影向量為：|13.【答案】10【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)原圖梯形ABCD的高為?，

直觀圖梯形A′B′C′D′的面積為30，

則原圖的面積S=22×30=602，

原圖中，AB/?/CD，且AB=8，CD=4，

則有(8+4)?2=602，則?=102．

14.【答案】26【解析】解：在△ABC中，∠ABC=π4,BC=2，

所以S△ABC=12AB?BC?sinπ4=12AB×2×22=2，則AB=4，

由余弦定理得：AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cosπ4=16+2?2×4×2×22=10，故AC=15.【答案】(?4,8)；

610；

18【解析】解：(1)因?yàn)閍⊥b，

所以a?b=0，

則1×6+3x=0，

解得x=?2，

故b=(6,?2)，

則2a?b=2(1,3)?(6,?2)=(?4,8)；

(2)因?yàn)閍//b，

所以x=3×6=18，

則b=(6,18)，

則|b|=62+182=610；

(3)因?yàn)閍+b=(1,3)+(6,x)=(7,3+x)，b+c=(6,x)?(1,?1)=(5,x+1)，

若a?+b?與b?c共線，

16.【答案】63；

【解析】(1)在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為線段DD1，BD的中點(diǎn)，

所以EF=3,AE=5,AF=2，

因?yàn)锳E2=EF2+AF2，所以∠AFE=90°，

S△AEF=12×2×3=62,S△ADF=12S△ABD=12×12×2×2=1，

記點(diǎn)D到平面AEF的距離為d，

因?yàn)閂D?AEF=VE?ADF，

所以13×DE×S17.【答案】解：(1)因?yàn)?(acosC+ccosA)=2bsinB，

由正弦定理邊化角可得3(sinAcosC+sinCcosA)=2sinBsinB，

所以3sin(A+C)=3sinB=2sinBsinB，又sinB≠0，

所以sinB=32，又B為銳角，則B=π3；

(2)由正弦定理asinA=csinC=bsinB=2332=4，

則a=4sinA，c=4sinC，

所以a2+c2=16sin2A+16si【解析】(1)利用正弦定理邊化角后整理化簡即可；

(2)利用正弦定理得到a=4sinA，c=4sinC，則a2+c18.【答案】B=π3；

a=3,c=2【解析】(1)因?yàn)閙=(3a,b)，n=(sinA,cosB)，且m//n，

所以3acosB=bsinA，

由正弦定理得3sinAcosB=sinBsinA，

又A∈(0,π)，sinA≠0，

所以3cosB=sinB，所以tanB=3，

因?yàn)?<B<π，所以B=π3．

(2)因?yàn)閟inC=2sinA，則由正弦定理得c=2a，

又由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB，所以a2+c2?ac=9，

即3a2=9，解得a=3，所以c=23．

(3)因?yàn)閍=2，b=7，19.【答案】證明見解析；

證明見解析；

證明見解析．

【解析】證明：(1)如圖，連接BE，設(shè)BD∩AE=O，連接OF，

因?yàn)锳B//DC，DE=12DC=AB=2，

所以四邊形ABED是平行四邊形，

則OD=OB，又DF=PF，則OF/?/PB，

因?yàn)镺F?平面AEF，PB?平面AEF，

所以PB/?/平面AEF；

(2)由四邊形ABED是平行四邊形，DA=AB=2，

所以四邊形ABED為菱形，則AE⊥BD，

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PD⊥AE，

又因?yàn)锽D∩PD=D，BD、PD?平面PBD，

所以AE⊥平面PBD；

(3)由EC=DE，則EC=AB，又