扭轉(zhuǎn)（四）《工程力學(xué)》圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

例3、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算書(shū)例[7-5]校核強(qiáng)度和剛度書(shū)例[7-6]選擇截面尺寸

書(shū)例[7-7]建立強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

階梯形圓柱直徑分別為d1=4cm,d2=7cm,軸上裝有3個(gè)皮帶輪如圖所示。已知由輪3輸入的功率為P3=30kW,輪1輸出的功率為

P1=13kW,軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)速n=200轉(zhuǎn)/分,材料的剪切許用應(yīng)力[t]=60

MPa,G=80109

Pa,許用扭轉(zhuǎn)角[q

]=2o/m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。0.5m0.3m1mACDB123d1d2例題7-4-1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算計(jì)算扭矩的絕對(duì)值：強(qiáng)度校核：例題7-4-10.5m0.3m1mACDB123d1d2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算故強(qiáng)度滿足。剛度校核：AC段：例題7-4-10.5m0.3m1mACDB123d1d2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算故剛度滿足。DB段：例題7-4-10.5m0.3m1mACDB123d1d2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例題7-4-2

實(shí)心軸和空心軸通過(guò)牙嵌式離合器連接在一起。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100

轉(zhuǎn)/分，傳輸功率P=7.5kW,材料的容許切應(yīng)力[t]=40MPa,試選擇實(shí)心軸直徑d1和內(nèi)外徑比值為0.5的空心軸的外徑。計(jì)算扭矩：計(jì)算實(shí)心軸直徑,由強(qiáng)度條件例題7-4-2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算計(jì)算空心軸直徑,由強(qiáng)度條件:例題7-4-2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

如同拉伸和壓縮時(shí)一樣，桿件在受扭時(shí)桿內(nèi)也積蓄有應(yīng)變能。桿在彈性范圍內(nèi)工作，f

與Me成線性關(guān)系。MeMe等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能MeMe又則或等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能

對(duì)于桿的各橫截面上扭矩不相等的情況，取微段分析入手。例如：從而知：左段桿內(nèi)的應(yīng)變能：等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能整個(gè)桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能為：右段桿內(nèi)：等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能思考題7-5-1(1)求圖示同一桿件在三種受力情況下的應(yīng)變能。此桿在線彈性范圍內(nèi)工作，且變形微小。l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6

m0.4mMe2=10kN·m(b)0.6

m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能(2)桿在第三種受力情況下的應(yīng)力和變形是否分別等于前兩種情況下的疊加？應(yīng)變能呢？l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6

m0.4mMe2=10kN·m(b)0.6

m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能思考題7-5-1答案：(1)l=1md=80mmMe1=4kN·m(a)0.6

m0.4mMe2=10kN·m(b)等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能(2)0.6

m0.4mMe2=10kN·mMe1=4kN·m(c)等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能思考題7-5-2求下列各圖桿的應(yīng)變能。Fp=F/ll(a)(b)CBCBAAlM(c)dABlt(d)dAB等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能思考題7-5-2答案：Fl(a)CBAp=F/llCBAxdxFN(x)px(b)(b)取微段分析(a)等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能思考題7-5-2答案：lM(c)dABltdABdxtxT(x)(d)(c)其中(d)取微段分析等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能ltdABdxtxT(x)(d)思考題7-5-2答案：等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能思考題7-5-3

有一壁厚25mm、內(nèi)直徑為250mm的空心圓管,其長(zhǎng)度為1

m；作用在兩個(gè)端面上的反向外力偶之矩均為180

kN·m。試確定管壁中的最大切應(yīng)力，并求管內(nèi)的應(yīng)變能。已知材料的切變彈性模量

G=8×104MPa。等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能D=250+2×25=300mmMe=T=180kN·m思考題7-5-3參考答案等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能

圖示AC桿為等截面圓軸，在B截面處受外扭矩M=7kN·m作用。該圓軸A端固定，C端在上、下兩點(diǎn)處分別與直徑均為d2的兩圓桿相連。已知圓軸和圓桿的材料相同，且材料的兩個(gè)彈性常數(shù)E與G之間有如下關(guān)系：G=0.4E。試求圓軸AC中的最大切應(yīng)力。思考題7-5-42m2md1=0.6mM=7kN.m1m1md2d2=20mmABC等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能則協(xié)調(diào)關(guān)系為：思考題7-5-4參考答案:Dl=FNl/EA(1)TC=FN·d1(2)(3)(4)等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能由(1)、(4)式得FN=64.1N則TC=38.46N·mAC中的最大切應(yīng)力在AB段內(nèi)的橫截面上2m2md1=0.6mM=7kN.m1m1md2d2=20mmABC思考題7-5-4參考答案:等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能1.幾個(gè)概念

非圓截面桿受扭時(shí),橫截面會(huì)發(fā)生翹曲。因此其變形、應(yīng)力不能用由平面假設(shè)所得的圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形的計(jì)算公式。(1)約束扭轉(zhuǎn)

非圓截面桿受扭時(shí),既然橫截面要發(fā)生翹曲,因此，如果翹曲受到牽制,例如桿件是變截面的，或者外力偶不是加在桿的兩端，或者桿的端面受到外部約束而不能自由翹曲，那么桿的橫截面上除了有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)(2)自由扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲不受牽制的扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。

要使非圓截面桿受扭時(shí)橫截面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，那么桿件必須是等截面的，而且只在兩端受外力偶作用，同時(shí)端面還能自由翹曲。本節(jié)主要介紹矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)的情況。矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)2.矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

主要對(duì)矩形截面桿進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計(jì)算。根據(jù)彈性力學(xué)的分析結(jié)果，矩形截面桿受扭時(shí)橫截面上最大的切應(yīng)力在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，其計(jì)算式為單位長(zhǎng)度桿的扭轉(zhuǎn)角：其中：WT——抗扭截面系數(shù)IT——相當(dāng)極慣性矩GIT——桿的抗扭剛度矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)IT和WT除了在量綱上與圓截面的Ip

和Wp

相同外，在幾何意義上則是不同的。其中a和b由教材表7-1查得，此系數(shù)隨m=h/b的比值而變。其中h為長(zhǎng)邊尺寸，b為短邊尺寸。矩形截面：則強(qiáng)度條件剛度條件矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)由彈性力學(xué)分析結(jié)果表明：

橫截面上的最大切應(yīng)力tmax發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)。而在短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力則為該邊上各點(diǎn)處切應(yīng)力中的最大值可以按下式計(jì)算。式中n并非泊松比，其值由教材中表7-1查得。矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)（1）在橫截面上周邊上各點(diǎn)處不可能有垂直于周邊的切應(yīng)力分量。

（2）矩形截面上,頂點(diǎn)處的切應(yīng)力必等于零。

如圖，矩形截面周邊上各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向必與周邊相切。這是因?yàn)闂U表面上沒(méi)有切應(yīng)力，故由切應(yīng)力互等定理可知：矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)彈性力學(xué)的分析結(jié)果還表明:狹長(zhǎng)矩形截面的IT和WT

有切應(yīng)力在沿長(zhǎng)邊各點(diǎn)處的方向均與長(zhǎng)邊相切,其數(shù)值除在靠近頂點(diǎn)處以外均相等，如圖所示。h矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

圖示矩形截面鋼桿受矩為M=3kN·m的一對(duì)外力偶作用；已知材料的切變模量

G=8×104MPa。求：(1)桿內(nèi)最大切應(yīng)力；(2)橫截面短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力；(3)單位長(zhǎng)度桿的扭轉(zhuǎn)角。MM6090思考題7-6-1矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)(1)m=h/b=90/60=1.5思考題7-6-1參考答案查表有：(2)(3)(T=M)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

一矩形