第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學(xué)年北京十四中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，共50分。1.已知數(shù)列{an}的首項a1=1，且滿足aA.5 B.7 C.9 D.112.下列求導(dǎo)運算正確的是(

)A.(sinπ3)'=cosπ3 B.3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1=-1，aA.-15 B.-5 C.5 4.某一批種子的發(fā)芽率為23.從中隨機選擇3顆種子進行播種，那么恰有2顆種子發(fā)芽的概率為(

)A.29 B.827 C.495.已知某高山滑雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的位移I(單位：m)與時間t(單位：s)之間的關(guān)系為I(tA.17.5m/s B.21.5m/s6.定義在區(qū)間[-12,4]上的函數(shù)f(x)A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)單調(diào)遞增

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-12,0)單調(diào)遞減

C.函數(shù)f(x7.函數(shù)f(x)=x-A.π4-1 B.0 C.π8.在等差數(shù)列{an}中，“a2+a5=aA.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.對于數(shù)列{an}，若存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，都有|an|≤M，則稱數(shù)列{an}是有界的.若這樣的正數(shù)M不存在，則稱數(shù)列{anA.若an=1n，則數(shù)列{an}是無界的

B.若an=nsinn，則數(shù)列{an}是有界的

10.已知函數(shù)f(x)=2lnx,x>1,x+1,A.3-2ln2 B.4-2ln3 C.二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.已知函數(shù)f(x)=x2，則12.若隨機變量X的分布列為X012P11a則a=______，D(X)為隨機變量X的方差，則D(X13.在公差為d的等差數(shù)列{an}中，S10=3S514.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+m，則15.已知數(shù)列{an}滿足an+1=14(an-6)3+6(n=1,2,3,?)，

①四、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，設(shè)bn=3n-2+an．

(Ⅰ)求a3的值；

(Ⅱ)若m是a3和b417.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中不放回地隨機抽出1道題．

(Ⅰ)求第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率；

(Ⅱ)求在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到代數(shù)題的概率；

(Ⅲ)判斷事件“第1次抽到代數(shù)題”與“第2次抽到代數(shù)題”是否互相獨立．18.已知函數(shù)f(x)=lnxx．

(1)求曲線y=f(x)19.某學(xué)校開展健步走活動，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步數(shù)信息.教師甲、乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示．

(Ⅰ)從11月4日至11月10日中隨機選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；

(Ⅱ)從11月4日至11月10日中隨機選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)根據(jù)11月4日至11月10日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校800名教職員工步數(shù)的頻率分布直方圖如圖2所示.已知這一天甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221名，判斷這是哪一天的數(shù)據(jù).(只需寫出結(jié)論)20.已知函數(shù)f(x)=(1x+a)ex．

(1)當(dāng)a=0時，若曲線y=f(x)在點(x0,f(21.設(shè)集合A={-1,a1,a2,…,an}，其中1=a1<a2<…<an，n≥2，B={x|x=(p,q)，p∈A，q∈A}.若對任意的向量x1∈B，存在向量x2∈B，使得x1⊥x2，則稱A是“T集”．

(1)設(shè)M={-1,1,2}，N={-1,1,2,3}，判斷M，N是否為參考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.B

6.D

7.A

8.A

9.ABD

10.A

11.2

12.13

213.3

14.3

[-3,3)

15.4

(4,6)∪(8,+∞)

16.解：(Ⅰ)因為等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，

所以an=1×2n-1=2n-1?a3=23-1=4；

(Ⅱ)因為bn=3n-2+a17.解：(Ⅰ)設(shè)事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，

則P(A)=35，P(AB)=35×24=310；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=1218.(1)函數(shù)f(x)=lnxx的定義域是(0,+∞)，

f'(x)=1-lnxx2，

f(1)=0，f'(1)=1，

∴切線方程是：y-0=(x-1)，

故切線方程為：x-y-1=0；19.解：(Ⅰ)設(shè)“甲比乙的步數(shù)多”為事件A．

在11月4日至11月10日這七天中，11月5日與11月9日這兩天甲比乙步數(shù)多，

所以P(A)=27，

即這一天甲比乙的步數(shù)多的概率為27．

(Ⅱ)由圖可知，7天中乙的步數(shù)不少于20000步的天數(shù)共2天，

X的所有可能取值為0，1，2，

PX012P241即E(X)=0×27+1×47+2×20.(1)當(dāng)a=0時，f(x)=exx,x≠0，因此f'(x)=(x-1)exx2,x≠0，

因曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線傾斜角為銳角，

因此f'(x0)=(x0-1)ex0x02>0，得x0>1，

因此x0的取值范圍為(1,+∞)．

(2)當(dāng)a=1時，f(x)=(1x+1)ex=(x+1)exx,x≠0，

因此f'(x)=(x+2)xex-(x+1)exx2=(x2+x-1)exx2，

由f'(x)>0，即x2+x-1>0，解得x<-1+52或x>5-12，

因此，當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1+52)、(5-12,+∞)．

(3)因為f(x)=(1x+a)?ex，因此f'(x)=(ax2+x-1)exx2，

令g(x)=ax2+x-1，因為函數(shù)f(x)在(0,1)上有且只有一個極值點，

因此函數(shù)g(x)在(0,1)上有一個變號零點，

當(dāng)a=0時，對任意的x∈(0,1)，g(x)=x-1<0，不符合題意；

當(dāng)a>0時，函數(shù)g(x)的對稱軸x=-12a<0，因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因為g(0)=-1<0，只需g(1)=a>0，符合題意；

當(dāng)a<0