2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精析與題型全解（上海專用）專題23簡單幾何體的特征、表面積與體積知識點一、多面體與旋轉(zhuǎn)體多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義類別多面體旋轉(zhuǎn)體定義由若干個平面多邊形圍成的幾何體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體圖形概念面：圍成多面體的各個多邊形棱：相鄰兩個面的公共邊頂點：棱與棱的公共點軸：形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線2、正多面體：在空間中可以考慮正多面體；如果一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點聚集的棱的條數(shù)都相等，這個多面體就叫做正多面體；正多面體只有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體3.組合體是由簡單幾何體拼接或截去一部分構(gòu)成的.要仔細(xì)觀察組合體的構(gòu)成，結(jié)合柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征，先分割，后驗證知識點二、多面體棱柱、棱錐、棱臺棱柱棱錐棱臺圖形定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體結(jié)構(gòu)特征底面互相平行且全等；側(cè)面都是平行四邊形；側(cè)棱都相等且互相平行底面是一個多邊形；側(cè)面都是三角形；側(cè)面有一個公共頂點上、下底面互相平行且相似；各側(cè)棱延長線交于一點；各側(cè)面為梯形分類①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按側(cè)棱與底面的關(guān)系：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，否則叫做斜棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體.①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱錐、四棱錐、五棱錐…②正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐.③正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱臺、四棱臺、五棱臺…②正棱臺：由正棱錐截得的棱臺常見四棱柱及其關(guān)系知識點三、旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺、球圓柱圓錐圓臺球圖形定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征①母線互相平行且相等，并垂直于底面②軸截面是全等的矩形③側(cè)面展開圖是矩形①母線相交于一點②軸截面是全等的等腰三角形③側(cè)面展開圖是扇形①母線延長線交于一點②軸截面是全等的等腰梯形③側(cè)面展開圖是扇環(huán)截面是圓面知識點四、簡單幾何體的表面積與體積1、圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l其中r，r′為底面半徑，l為母線長.2、柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積(S是底面積，h是高)柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球(R是半徑)S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3知識點五、求空間幾何體體積的常用方法公式法直接根據(jù)常見柱、錐、臺等規(guī)則幾何體的體積公式計算等積法根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等割補法把不能直接計算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體知識點六、空間幾何體與球切、接問題的求解方法(1)確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系．(2)求解球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及切、接點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的切、接問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(3)補成正方體、長方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則幾何體．知識點七、與球有關(guān)的組合體的常用結(jié)論(1)長方體的外接球①球心：體對角線的交點．②半徑：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c為長方體的長、寬、高)．(2)正方體的外接球、內(nèi)切球①外接球：球心是正方體中心，半徑r＝eq\f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長)．②內(nèi)切球：球心是正方體中心，半徑r＝eq\f(a,2)(a為正方體的棱長)考點一多面體與旋轉(zhuǎn)體題型01：多面體的概念與性質(zhì)【例1】正多面體按其面數(shù)分有種【答案】5【分析】由正多面體的概念判斷．【解析】正多面體有正四面體，正方體（正六面體），正八面體，正十二面體，正二十面體共5種，故答案為：5.【例2】“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.將正方體沿交于一個頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此截去八個三棱錐得到一個阿基米德多面體，則該阿基米德多面體的棱有條.【答案】24【分析】作出正方體，在正方體中觀察可得.故答案為：24

【例3】（2024·上海閔行·二模）已知空間中有2個相異的點，現(xiàn)每增加一個點使得其與原有的點連接成盡可能多的等邊三角形.例如，空間中3個點最多可連接成1個等邊三角形，空間中4個點最多可連接成4個等邊三角形.當(dāng)增加到8個點時，空間中這8個點最多可連接成個等邊三角形.【答案】20.【分析】結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征，判斷求解空間中這8個點最多可連接成等邊三角形的個數(shù).【詳解】空間中4個點最多可連接成4個等邊三角形，構(gòu)成正四面體，正四面體的每一個面向外作一個正四面體，此時是增加一個點，增加正三角形3個，新增加的4個點，又構(gòu)成1個正四面體，故答案為：20.【跟蹤訓(xùn)練】【答案】

【解析】因為某凸32面體，12個面是五邊形，20個面是六邊形，故答案為：；.【答案】C即選項A錯誤；對于B：因為一個正三棱錐可能是正四面體，也可能不是正四面體，即選項C正確；故選：C.4.碳60（）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個面，且滿足：頂點數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2．則其六元環(huán)的個數(shù)為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，碳（）由個頂點，有個面，設(shè)正五邊形有個，正六邊形有個，故答案為：題型02：旋轉(zhuǎn)體的概念與性質(zhì)【例4】下列幾何體不是旋轉(zhuǎn)體的為（）A．圓柱 B．棱柱 C．球 D．圓臺【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)體的概念逐項判斷即可得解.【詳解】由題意，圓柱、球、圓臺均為旋轉(zhuǎn)體，棱柱為多面體.故選：B.A．圓錐 B．圓臺C．圓錐與圓臺的組合體 D．圓錐與圓柱的組合體【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體：如題將直角三角形和一個矩形，直角三角形的一條直角邊與矩形一邊重合，所構(gòu)成的梯形，繞梯形長底邊旋轉(zhuǎn)一周，即知所得旋轉(zhuǎn)體構(gòu)成.故答案為：D【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體，根據(jù)平面圖形的旋轉(zhuǎn)可知對應(yīng)幾何體構(gòu)成，屬于簡單題.【跟蹤訓(xùn)練】1.在一個如圖所示的直角梯形ABCD內(nèi)挖去一個扇形，E恰好是梯形的下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線DE旋轉(zhuǎn)一圈．(1)請在圖中畫出所得幾何體并說明所得的幾何體的結(jié)構(gòu)特征；(2)求所得幾何體的表面積和體積．【答案】(1)答案見解析【分析】（1）直接由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征得結(jié)論；（2）結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算該組合體的表面積和體積.【解析】（1）根據(jù)題意知，將所得平面圖形繞直線DE旋轉(zhuǎn)一圈后所得幾何體是上部是圓錐,下部是圓柱挖去一個半徑等于圓柱體高的半球的組合體;（2）該組合體的表面積為組合的體積為【答案】D【解析】解：設(shè)正方體的棱長等于，由此可得A、C項不符合題意，舍去．又在所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上有無數(shù)條直線，且直線的方向與轉(zhuǎn)軸不共面，B項不符合題意，只有D項符合題意．故選：D．考點二簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題型03：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征【名師點撥】解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可．(2)圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．(3)棱(圓)臺是由棱(圓)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略．【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯誤的是（

）A．棱柱的側(cè)棱互相平行B．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐C．正三棱錐的各個面都是正三角形D．棱臺各側(cè)棱所在直線會交于一點【答案】C【分析】根據(jù)相應(yīng)幾何體的定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知A正確；當(dāng)以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，所得幾何體為兩個圓錐的組合體，故B正確；正三棱錐的底面是正三角形，其余側(cè)面是全等的等腰三角形，故C錯誤；棱臺是用平行于底面的平面截棱錐而得，故側(cè)棱所在直線必交于一點，D正確.故選：C【例7】（2023?閔行區(qū)校級一模）《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，鱉臑的個數(shù)為（）A．48 B．36 C．24 D．12【分析】每個頂點對應(yīng)6個鱉臑，所以8個頂點對應(yīng)48個鱉臑．但每個鱉臑都重復(fù)一次，再除2，即可得解．【解答】解：在正方體ABCD﹣EFGH中，當(dāng)頂點為A時，三棱錐A﹣EHG、A﹣EFG、A﹣DCG、A﹣DHG、A﹣BCG、A﹣BFG均為鱉臑．所以8個頂點為8×6＝48個．但每個鱉臑都重復(fù)一次，所以鱉臑的個數(shù)為個．故選：C．【點評】本題主要考查了空間中線面的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．【跟蹤訓(xùn)練】1.給出下列命題：(1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；(2)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；(3)在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；(4)存在每個面都是直角三角形的四面體；(5)棱臺的側(cè)棱延長后交于一點．其中正確命題的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】(1)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；(2)正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；(3)正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；(4)正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形；(5)正確，由棱臺的概念可知．2.給出下列幾個命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2 D．3【答案】B.【解析】：①不一定，只有這兩點的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等．3.（2324高一下·吉林長春·期中）下列關(guān)于空間幾何體的論述，正確的是（

）A．底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．所有側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體C．有兩個面是互相平行且相似的平行四邊形，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．三棱錐的四個面都可以是直角三角形【解題思路】利用柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征逐項判斷即得.【解答過程】對于A，在三棱錐A?BCD中，AC=AD=BC=BD=CD≠AB，三棱錐A?BCD的底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形，此三棱錐不是正三棱錐，A錯誤；對于B，底面是非正方形的菱形，側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長等于底面菱形邊長，顯然四個側(cè)面都是正方形，而此幾何體不是正方體，B錯誤；對于C，若將兩個全等的正棱臺較大底面接合在一起，拼接而成的組合體，滿足有兩個面是互相平行且相似的平行四邊形，其余各面都是梯形的多面體，但該幾何體不是棱臺，C錯誤；對于D，在三棱錐P?QRS中，PQ⊥底面QRS，并且∠QRS=90此三棱錐的四個面都是直角三角形，D正確.故選：D.4．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼?耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則（

）A．“羨除”有且僅有兩個面為三角形； B．“羨除”一定不是臺體；C．不存在有兩個面為平行四邊形的“羨除”； D．“羨除”至多有兩個面為梯形.【答案】ABC對于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個面為三角形，故A正確；故選：ABC．考點三簡單幾何體的側(cè)面積與表面積題型04：空間幾何體的側(cè)面積【例8】（2425高三上·上海黃浦·期末）若圓柱的底面半徑與高均為1，則其側(cè)面積為．【答案】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式直接計算可得.故答案為：【例9】（2425高三上·上海松江·期末）已知一個圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為．【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，利用側(cè)面積公式求出母線長，進(jìn)而求出圓錐的高.故答案為：4【例10】（2024·上海楊浦·一模）將一個半徑為1的球形石材加工成一個圓柱形擺件，則該圓柱形擺件側(cè)面積的最大值為.【答案】故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練】2．（2024·上海虹口·一模）若某圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為．（結(jié)果保留）【分析】首先求出母線，再由側(cè)面積公式計算可得.【答案】C【分析】由體積求出圓錐的底面圓半徑和高，母線長，即可計算圓錐的側(cè)面積．故選：C．題型05：空間幾何體的表面積【名師點撥】【題型要點】幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．(3)簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補．【例11】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）有書記載等角半正多面體是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖，將正四面體沿相交于同一個頂點的三條梭上的個點截去一個正三棱錐，如此共截去個正三棱錐，若得到的幾何體是一個由正三角形與正六邊形圍成的等角半正多面體，且正六邊形的面積為，則原正四面體的表面積為_________．【答案】故答案為：.【分析】根據(jù)棱柱表面積的求法，結(jié)合已知求茶葉盒的表面積.【例13】（2024·上海長寧·二模）用鐵皮制作一個有底無蓋的圓柱形容器，若該容器的容積為立方米，則至少需要平方米鐵皮【答案】【詳解】設(shè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，故至少需要平方米鐵皮.故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練】【答案】【分析】利用拋物線的性質(zhì)求準(zhǔn)線，利用相切求半徑，即可用球的表面積求解.故答案為：2．（2023?青浦區(qū)校級模擬）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為4π的扇形，則該圓錐的表面積為．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為4π的扇形，可知圓錐的底面半徑和母線長，再結(jié)合圓錐的表面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為4π的扇形，∴，解得，∴該圓錐的表面積為πrl+πr2＝8π+4π＝12π．故答案為：12π．【點評】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?黃浦區(qū)校級三模）已知正方形ABCD的邊長是1，將△ABC沿對角線AC折到△AB′C的位置，使（折疊后）A、B′、C、D四點為頂點的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為．【分析】根據(jù)題意，分析可得當(dāng)B′O⊥面ACD時，四棱錐B′﹣ABC的體積最大，由此求出三棱錐各個面的面積，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，正方形ABCD中，設(shè)AC與BD交于點O，在翻轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B′O⊥面ACD時，四棱錐B′﹣ABC的高最大，此時四棱錐B′﹣ABC的體積最大，若B′O⊥面ACD，由于OA＝OB＝OC，則B′D＝B′A＝B′A＝1，則△DB′C△DB′A都是邊長為1的等邊三角形，SΔDB′A＝SΔDB′C＝×1×1×＝，△ADC中，AD＝DC＝1且AD⊥DC，則S△ADC＝×1×1＝，同理：S△AB′C＝S△ABC＝S△ADC＝，此時，三棱錐的表面積S＝SΔDB′A+SΔDB′C+S△ADC+S△AB′C＝1+．故答案為：1+．【點評】本題考查棱錐的體積、表面積的計算，注意分析棱錐體積最大的條件，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，某學(xué)具可看成將一個底面半徑與高都為10cm的圓柱挖去一個圓錐（此圓錐的頂點是圓柱的下底面圓心、底面是圓柱的上底面）所得到的幾何體，則該學(xué)具的表面積為cm2．【分析】先求得挖去的圓錐的母線長，從而得到圓錐的側(cè)面積，再求圓柱的側(cè)面積和一個底面積，即可求解幾何體的表面積．【解答】解：挖去圓錐的母線長為＝10，則圓錐的側(cè)面積為π?10?10＝100π，圓柱的側(cè)面積為2π×10×10＝200π，圓柱的一個底面積為102×π＝100π，故幾何體的表面積為100π+200π+100π＝（300+100）πcm2．故答案為：（300+100）π．【點評】本題考查了幾何體表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025高一·全國月考）正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）【答案】B【分析】根據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征，求出棱柱的高，再計算它的表面積.故選:B.考點四簡單幾何體的體積題型06：直接利用公式求體積【例14】（2024·上海楊浦·一模）已知一個正四棱錐的每一條棱長都為2，則該四棱錐的體積為.【分析】作出輔助線，求出正四棱錐的高，由錐體體積公式進(jìn)行求解.【例15】（2024·上海寶山·一模）將棱長為的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為.【答案】【分析】先求出四面體其中一個面的高，確定正四面體旋轉(zhuǎn)后得到兩個同底的圓錐，利用圓錐體積公式求解即可.【詳解】

根據(jù)題意，正四面體旋轉(zhuǎn)后得到兩個同底的圓錐，故答案為：【跟蹤訓(xùn)練】1．（2024·上海嘉定·二模）已知圓錐的母線長為2，高為1，則其體積為．【答案】【分析】由題意，根據(jù)勾股定理求出底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的體積公式計算即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)圓錐的母線為l，高為h，底面圓半徑為r，故答案為：2．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）若某圓錐高為3，其側(cè)面積與底面積之比為，則該圓錐的體積為________.【答案】【分析】由題意可列出關(guān)于圓錐底面半徑和母線的方程組，解方程組即可求得底面半徑和母線，從而可求圓錐的體積.故答案為：3．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA＝1，側(cè)面的平面展開圖的面積為3π，則此圓錐的體積為．【分析】由圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積公式求出圓錐的母線長，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體積公式即可得出答案．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為l，所以圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積為：，所以l＝3，所以圓錐的高．故圓錐的體積為：．故答案為：．【點評】本題考查圓錐的體積計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?普陀區(qū)校級模擬）如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，AP＝AB＝4，則正四棱錐的體積為．【分析】求得正四棱錐的高，利用錐體的體積公式可求正四棱錐的體積．【解答】解：連接AC與BD交于O，則O是正方形ABCD的中心，∴PO⊥平面ABCD，∵AB＝4，∴AO＝2，∵PA＝4，∴PO＝＝2，∴正四棱錐的體積為V＝S正方形ABCD?PO＝×16×2＝．故答案為：．【點評】本題考查正四棱錐的體積的計算，屬基礎(chǔ)題．題型07：割補法求體積A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7【答案】D故選：D【跟蹤訓(xùn)練】挖去扇形弧繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得半球，【答案】(1)證明見解析(2)（2）取的中點，連接，

題型08：等體積法求體積【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)中位線定理和面面垂直的判定即可求解；（2）根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】（1）因為底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O所以O(shè)為AC中點，點E是棱PA的中點，F(xiàn)分別是棱PB的中點，【答案】(1)證明見解析；(2).連接交線段與點，【例19】（2024·上海青浦·一模）已知圓柱的底面半徑為3，高為，圓錐的底面直徑和母線長相等.若圓柱和圓錐的體積相同，則圓錐的底面半徑為.【答案】3【分析】求出圓柱的體積，設(shè)圓錐的底面半徑為，求出圓錐的高為，從而得到圓錐的體積，得到方程，求出答案.故圓錐的底面半徑為3.故答案為：3【跟蹤訓(xùn)練】A． B． C． D．【答案】B故選：B.【答案】B故選：B.【點睛】本題考查了三棱臺、三棱錐的體積的求法，解題的關(guān)鍵點是利用等體積轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生的空間想象能力和計算能力.題型09：已知體積求其他量【例20】（2023上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）已知圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則圓錐的底面半徑為．【答案】【分析】由題意得到圓錐底面半徑與高之間的關(guān)系，再根據(jù)圓錐的體積公式列方程即可求解.【詳解】圓錐的軸截面圖如圖所示：故答案為：.【例21】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，則該圓錐的母線長為．【答案】【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，圓錐底面半徑、高、母線長構(gòu)成一個直角三角形，可根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解底面圓的半徑，再利用勾股定理求解母線.【詳解】已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，因為圓錐底面半徑、高、母線長構(gòu)成一個直角三角形，故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為，，該圓臺的體積為，則該圓臺的高為______.【答案】3所以該圓臺的高為3.故答案為：3.2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知某圓錐的底面半徑為2，其體積與半徑為1的球的體積相等，則該圓錐的母線長為（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】設(shè)圓錐的高為，根據(jù)圓錐及球的體積公式求出，再由勾股定理計算可得.故選：CA． B． C． D．【答案】B設(shè)點D在平面ABC上的投影為E，則E的軌跡為圓，圓心為△ABC的外心即AB的中點，故選：B．【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.考點五簡單幾何體的展開圖問題題型10：空間圖形的展開圖問題【答案】【分析】根據(jù)扇形弧長與圓錐底面周長關(guān)系列方程求底面半徑，結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征求該圓錐的母線與底面所成角余弦值，即可確定大小.所以該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為，故其大小為.故答案為：【跟蹤訓(xùn)練】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，扇形的弧長公式求解即可,【詳解】設(shè)底面半徑為，母線長為l2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是一個長方體的展開圖，如果將它還原為長方體，那么線段AB與線段CD所在的直線（

）A．平行 B．相交 C．是異面直線 D．可能相交，也可能是異面直線【答案】C【分析】將展開圖還原成長方體，即可判斷【詳解】如圖，將展開圖還原成長方體，易得線段AB與線段CD是異面直線，故選：C【解析】題型11：最短路徑問題【名師點撥】此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c間線段最短問題．

【分析】分析可得沿棱柱的表面從E到F可能經(jīng)過棱，，，再分別展開直觀圖求解即可.

【跟蹤訓(xùn)練】1．（2023·高三課時練習(xí)）如圖，圓柱的高為2，底面周長為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點B為半圓弧CD的中點，則在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為（

）．【答案】B【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，解三角形即得解.所以在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為.故選：B.【答案】【分析】求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點的距離問題即可.【詳解】解：由題意得：可知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是，如圖所示：故答案為：【答案】B【詳解】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，故選：B．考點六與球有關(guān)的切、接問題題型12：幾何體的外接球連接并延長交于點，則為的中點，連接，故選：．【分析】先證明出△PCD和△PBC均為直角三角形，得到O點位置，可求得外接球的半徑，可求其體積．由余弦定理可得：所以BD⊥CB．又因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．則△PCD和△PBC均為直角三角形，當(dāng)O點為PC中點時，OP＝OD＝OB＝OC，此時O為四面體PBCD的外接球的球心．∵直線PA與平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，則∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，∴四面體PBCD外接球的半徑為，所以、、兩兩垂直，將三棱錐體補成正方體，如圖所示：正方體的棱長為2，則正方體的對角線長為，故選：．【跟蹤訓(xùn)練】故選：．【答案】D故選：D.【答案】B【分析】求出棱錐的斜高和高，求外接球的半徑，由球的表面積公式即可求解.故選：B.4．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面為正三角形，圓錐的內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為（

）【答案】A【分析】先根據(jù)圓錐內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑和高，即可求圓錐的體積.故選：A.如圖所示，設(shè)外接球半徑為，底面圓心為，外接球球心為，題型13：幾何體的內(nèi)切球【例27】（2025春?武強縣校級期末）底面圓周長為，母線長為4的圓錐內(nèi)切球的體積為【解析】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：故選：．【跟蹤訓(xùn)練】1．（2023?嘉定區(qū)二模）已知一個棱長為1的正方體，與該正方體每個面都相切的球半徑記為R1，與該正方體每條棱都相切的球半徑為R2，過該正方體所有頂點的球半徑為R3，則下列關(guān)系正確的是（）A．R1：R2：R3＝：2 B．R1+R2＝R3 C．+＝ D．+＝【分析】根據(jù)已知條件，依次求出R1，R2，R3，再結(jié)合選項，即可求解．【解答】解：與該正方體每個面都相切的球直徑為棱長：，與該正方體每條棱都相切的球直徑面對角線長：，過該正方體所有頂點的球的半徑為體對角線：，，故A錯誤；，故C正確，BD錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．2.（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A．1210?36π B．2420?76π【解題思路】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和高，再由三角形面積相等求出圓錐內(nèi)切球半徑r，然后由球的表面積公式和圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.【解答過程】因為三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，所以△ABC為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長AB=BC=CA=6由正弦定理可得底面圓的半徑R=1所以圓錐的高PO=6如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑r，軸截面三角形面積為12所以內(nèi)切球半徑r=62內(nèi)切球的表面積為4π圓錐的側(cè)面積為12所以其和為608?3故選：C.3．（2022·江西九江·三模（理））如圖，一個四分之一球形狀的玩具儲物盒，若放入一個玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則（

）【答案】D【解析】設(shè)儲物盒所在球的半徑為，如圖，故選：D.4.（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

A．πm2 B．2πm2 【解題思路】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理找出內(nèi)切球的半徑，利用等面積法求出半徑的大小，即可求解.【解答過程】如圖，連接AC,BD交于點O，連接OP，取BC的中點E，連接OE,PE，因為AB=m,所以O(shè)A=OB=OC=OD=2OP=A由BE=CE,可得BC⊥OE,BC⊥PE,OE,PE?平面POE，且OE∩PE=E，所以BC⊥平面POE，過O作OH⊥PE，因為BC⊥平面POE，OH?平面POE，所以BC⊥OH,且BC∩PE=E,BC,PE?平面PBC，所以O(shè)H⊥平面PBC，所以O(shè)H為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，在直角三角形POE中，OP=2由等面積法可得，12×OP×OE=1所以內(nèi)切球的表面積為4π故選:D.【答案】D【分析】根據(jù)圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，列出等量關(guān)系，即可求解.故選：D6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為________．【答案】3【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖為半圓可求半徑與母線長的關(guān)系，根據(jù)軸截面及內(nèi)切球的半徑可求圓錐的高.故軸截面為等邊三角形（如圖所示），設(shè)分別為等邊三角形的內(nèi)切圓與邊的切點，故答案為：3.7.（2024·浙江溫州·二模）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體ABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD棱長為26，則模型中九個球的表面積和為（

A．6π B．9π C．31π【解題思路】作出輔助線，先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個球的半徑，得到答案.【解答過程】如圖，取BC的中點E，連接DE，AE，則CE=BE=6，AE=DE=過點A作AF⊥底面BCD，垂足在DE上，且DF=2EF，所以DF=22,EF=2點O為最大球的球心，連接DO并延長，交AE于點M，則DM⊥AE，設(shè)最大球的半徑為R，則OF=OM=R，因為Rt△AOM∽Rt△AEF，所以AOAE=OM即OM=OF=1，則AO=4?1=3，故sin設(shè)最小球的球心為J，中間球的球心為K，則兩球均與直線AE相切，設(shè)切點分別為H,G，連接HJ,KG，則HJ,KG分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為a,b，則AJ=3HJ=3a,AK=3GK=3b，則JK=AK?AJ=3b?3a，又JK=a+b，所以3b?3a=a+b，解得b=2a，又OK=R+b=AO?AK=3?3b，故4b=3?R=2，解得b=1所以a=1模型中九個球的表面積和為4π故選：B.考點七空間幾何體的綜合探究題型14：立體幾何中的軌跡問題【分析】利用線面角求法得出N的軌跡為正方形內(nèi)一部分圓弧，求其圓心角計算弧長即可.【詳解】如圖所示，取BC中點G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，【跟蹤訓(xùn)練】【答案】不妨取正方體邊長為，中點為，以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了立體幾何，拋物線的軌跡方程，意在考查學(xué)生的計算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)題意得到動點的軌跡方程是解題的關(guān)鍵，【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)描述易知的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，即可求掃過的面積.∴繞以夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，故答案為：.A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題【答案】A且是的中點；點形成的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，故選：A．題型15：立體幾何中的最值問題【例29】（2025·上海長寧·二模）現(xiàn)有一塊正四面體木料PABC，其邊長為3，現(xiàn)需要將木料進(jìn)行切割，要求切割后底面ABC上任意一點Q到頂點P的距離不大于，則切割好后，木料體積的最大值是．（結(jié)果保留）【詳解】延長交于，連接，，【答案】C故選：C．【例31】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校校考模擬預(yù)測）將一個底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，利用三角形相似求得與的關(guān)系式，寫出圓柱的體積，利用不等式，即可求解.【詳解】解：設(shè)圓柱的