第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市學(xué)府致遠(yuǎn)學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)=lnx+x2，則f′(1)=(

)A.3 B.12 C.1 D.2.下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果不正確的是(

)A.(cosx)′=sinx B.(lnx)′=1x C.(e3.曲線y=f(x)=xx?1在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為(

)A.2 B.?2 C.?1 D.14.已知點(diǎn)B(?2,1,1)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，則|AB|等于(

)A.32 B.26 C.5.如圖是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的判斷是(

)A.當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取得極小值

B.f(x)在[?2,1]上是增函數(shù)

C.當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極大值

D.f(x)在[?1,2]上是增函數(shù)，在[2,4]上是減函數(shù)6.在空間直角坐標(biāo)系中，有A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(1,2,3)三點(diǎn)，則點(diǎn)C到直線AB的距離為(

)A.615 B.75 C.47.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是AD的中點(diǎn)，N是CA.12 B.35 C.348.若函數(shù)f(x)=aex?x3在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)A.3e B.12e3 C.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱ABC?A1B1C1，AB⊥BC，|BA|=|BC|=|BB1|=2A.A(2,0,0)B.C(2,0,0)

C.C1(2,0,0)10.已知空間中三個(gè)向量a=(1,2,?1)，b=(1,?2,3)，c=(?2,1,1)，則下列說法正確的是A.|a|=6 B.(a+c)⊥b

11.已知f(x)=ax3?3x+1(a≠0)A.當(dāng)a=2時(shí)，x=22是f(x)的極大值點(diǎn)

B.當(dāng)a=2時(shí)，f(x)的所有零點(diǎn)之和為0

C.直線y=?3x+1是f(x)的切線

D.存在a使f(x)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=2x2+x，則f′(2)=13.已知x∈R，空間向量a=(3,1,2)，b=(1,1,?1)，c=(5,x,0).若a，b，c共面，則x=14.若函數(shù)f(x)=x3+mx2+x+1在四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=13x3?ax+13,a∈R，且滿足f′(2)=0．

(1)16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x?1ex．

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)17.(本小題15分)

如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E是BC1的中點(diǎn)．

(1)求證：BC18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=2DC=4，E是棱PA的中點(diǎn)．

(1)求證：PC//平面BDE；

(2)求平面BDE與平面BDP夾角的余弦值．19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x22+alnx?(a+1)x．

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若a≥0,f(x)≥?e22對(duì)x∈[1,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)答案解析1.【答案】A

【解析】解：由題意可得：f′(x)=1x+2x，所以f′(1)=1+2=3．

故選：A．

求導(dǎo)可得f′(x)=2.【答案】A

【解析】解：對(duì)于A，(cosx)′=?sinx，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，(lnx)′=1x，故B正確；

對(duì)于C，(ex)′=ex，故C正確；

對(duì)于D，(1x)′=?13.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閒(x)=xx?1，所以f′(x)=x?1?x(x?1)2=?1(x?1)2，

所以曲線y=f(x)=xx?14.【答案】C

【解析】解：點(diǎn)B(?2,1,1)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(2,?1,1)，

∴由空間中兩點(diǎn)間距離公式得：

|AB|=(2+2)2+(?1?1)25.【答案】D

【解析】解：如圖是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，

對(duì)于A，f′(3)≠0，不滿足取極值的必要條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)?2<x<?1時(shí)，f′(x)<0，這表明f(x)在(?2,?1)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，f′(1)≠0，不滿足取極值的必要條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，當(dāng)?1<x<2時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)2<x<4時(shí)，f′(x)<0，

所以f(x)在[?1,2]上是增函數(shù)，在[2,4]上是減函數(shù)，故D正確．

故選：D．

由取極值的必要條件即可判斷AC，由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷BD．

本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】D

【解析】解：∵在空間直角坐標(biāo)系中，有A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(1,2,3)三點(diǎn)，

∴AB=(?1,2,0)，AC=(0,2,3)，

∴|AB?AC||AB|=?1×0+2×2+0×31+4=455，

|AC|=7.【答案】D

【解析】解：如圖，分別取BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接ME，EF，C1E，C1F，

∵M(jìn)、E分別為AD、BC的中點(diǎn)，∴ME//AB//C1D1，ME=AB=C1D1，

可得四邊形MEC1D1為平行四邊形，則D1M//C1E，

∵F、N分別為CD、C1D1的中點(diǎn)，∴DF//C1N，DF=C1N，

則四邊形DFC1N是平行四邊形，得DN//C1F，則∠EC8.【答案】C

【解析】解：已知f(x)=aex?x3，可得f′(x)=aex?3x2．

因?yàn)閒(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在區(qū)間(1,3)上恒成立，

即aex?3x2≥0在區(qū)間(1,3)上恒成立，移項(xiàng)可得a≥3x2ex在區(qū)間(1,3)上恒成立，

令g(x)=3x2ex，x∈(1,3)，則a≥g(x)max．

對(duì)g(x)=3x2ex求導(dǎo)，可得g′(x)=6xex?3x2ex(ex)2=6x?3x2ex=3x(2?x)ex，

令9.【答案】AD

【解析】解：直三棱柱ABC?A1B1C1，AB⊥BC，|BA|=|BC|=|BB1|=2，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，

則A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，F(xiàn)(0,2,1)，A，D10.【答案】AD

【解析】解：由題意，|a|=1+4+1=6，A正確；

因?yàn)閍+c=(?1,3,0)，所以(a+c)?b=(?1,3,0)?(1,?2,3)=?1?6=?7，即a+c與b不垂直，B錯(cuò)誤；

b在c上的投影向量為b?c|c|2c=?16(?2,1,1)=(11.【答案】BC

【解析】解：函數(shù)f(x)=ax3?3x+1定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得f′(x)=3ax2?3，

對(duì)于A，當(dāng)a=2時(shí)，f′(x)=6x2?3=6(x+22)(x?22)，

當(dāng)?22<x<22時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>22時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

因此x=22是f(x)的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=2x3?3x+1=(x?1)(2x2+2x?1)，

則f(x)存在三個(gè)零點(diǎn)，x1=1，x2，x3為方程2x2+2x?1=0的兩根，則x2+x3=?1，零點(diǎn)之和為0，B正確；

對(duì)于C，由12.【答案】9

【解析】解：因?yàn)閒(x)=2x2+x，

所以f′(x)=4x+1，f′(2)=4×2+1=9．

故答案為：9．

13.【答案】3

【解析】解：因?yàn)閍，b，c共面，所以存在λ，u∈R，使得c=λa+ub，

又因?yàn)閍=(3,1,2)，b=(1,1,?1)，c=(5,x,0)，

所以(5,x,0)=λ(3,1,2)+u(1,1,?1)=(3λ+u,λ+u,2λ?u)，

即5=3λ+ux=λ+u0=2λ?u，解得u=2λ=1x=3，

所以x=3．

14.【答案】[?【解析】解：導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2+2mx+1.根據(jù)題意得根的判別式Δ=4m2?12≤0，解得?3≤m≤3，

所以m∈[?315.【答案】a=4；

極大值為173，極小值為?5．【解析】(1)函數(shù)f(x)=13x3?ax+13，則f′(x)=x2?a，

所以f′(2)=4?a=0，解得a=4．

(2)由(1)可知，f(x)=13x3?4x+13，f′(x)=x2?4=(x+2)(x?2)，

令f′(x)=0，則x=?2或x=2．

當(dāng)x<?2或x>2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)?2<x<2時(shí)，f′(x)<0，

所以f(x)在(?∞,?2)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(?2,2)上單調(diào)遞減．

所以函數(shù)16.【答案】y=2x?1；

最大值，f

=1e【解析】解：(1)由題意得，f′(x)=ex?(x?1)ex(ex)2=2?xex，

則f′(0)=2，f(0)=?1，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y+1=2x，即y=2x?1；

(2)由f′(x)=2?xex，得當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)<0，

所以函數(shù)f(x)在(?∞,2)上單調(diào)遞增，在(2,+∞)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在x=217.【答案】證明見解析；

13．【解析】(1)證明：連接CE，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

因?yàn)镈C⊥平面BCC1B1，又BC1?平面BCC1B1，

所以DC⊥BC1，又因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是正方形，E是BC1的中點(diǎn)，

所以CE⊥BC1，又CE∩CD=C，CE，CD?平面CDE，

所以BC1⊥平面CDE；

(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由棱長為2，

則D(0,0,0)，B(2,2,0)，C1(02,2)，D1(0,0,2)，E(1,2,1)，

所以BD1=(?2,?2,2),DB=(2,2,0),DE=(1,2,1)，

設(shè)平面BDE的法向量為18.【答案】證明見解析；

22【解析】(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，

由四邊形ABCD為正方形，得O為AC的中點(diǎn)，又E是棱PA的中點(diǎn)，則OE//PC，

而PC?平面BDE，OE?平面BDE，

所以PC//平面BDE．

(2)在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，

因?yàn)锳D?平面ABCD，所以DA⊥DC，

以點(diǎn)D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(1,0,2)，P(0,0,4)，DB=(2,2,0),DE=(1,0,2),DP=(0,0,4)，

設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥DBn⊥DE，則n?DB=2x+2y=0n?DE=x+2z=0，

取z=1，則x=?2，y=2，得n=(?2,2,1)，

設(shè)平面BDP的法向量為m=(a,b,c)，

則m⊥DBm⊥DP，則m?DB=2a+2b=0m?DP=4c=0，

解得c=0，取a=1，則b=?1，得m=(1,?1,0)，

因此|cos19.【答案】當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]及[a,+∞)．

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)；

當(dāng)0≤a<1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a]及[1,+∞)；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)；

[0,e]．

【解析】解：(1)由題意可得f′(x)=x+ax?(a+1)=(x?a)?(x?1)x，x>0，

當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)≥0，解得x≥1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)；

當(dāng)0≤a<1時(shí)，令f′(x)≥0，解得0<x≤a或x≥1，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a]及[1,+∞)；

當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)；

當(dāng)a>1時(shí)，令f′(x)≥0，解得0<x≤1或x≥a，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]及[a,+∞)．

綜上可得：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]及[a,+∞)．

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)；

當(dāng)0≤a<1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a]及[1,+∞)；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)；

(2)由(1)知，當(dāng)a∈[0,1]，f(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(1)=?a?12，

令?a?12≥?e22，可得a≤e2?12，所以0≤a≤1；

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在[1,a]單調(diào)遞減，在[a,+∞)單調(diào)遞增，

所以f(x)≥f(a)=alna