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文檔簡(jiǎn)介
1.4基本不等式
考點(diǎn)基本不等式
1.(2015陜西,理9,5分)設(shè)f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),則下列關(guān)系式中正
?+?1
??
確的是()22
A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q
答案C由題意得p=ln,q=ln,r=(lna+lnb)=ln=p,∵0<a<b,∴>,∴l(xiāng)n>ln,∴
?+?1?+??+?
????????
p=r<q.2222
2.(2015福建理,5,5分)若直線+=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),則a+b的最小值等于()
??
A.2B.3C.4D?.5?
答案C因?yàn)橹本€+=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,
??1111????
+·
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取?“?=”,故選C.????????
3.(2015湖南文,7,5分)若實(shí)數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為()
12
??
A.B.2C.2D.4??
22
答案C依題意知a>0,b>0,則+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時(shí),“=”成立.因?yàn)?=,所以
122221212
??
??????????
≥,即ab≥2,所以ab的最小值為2,故選C.
22
??22
4.(2014?重?慶文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是()
A.6+2B.7+2C.6+4?D?.7+4
3333
答案D由log4(3a+4b)=log2,
得3a+4b=ab,且a>0,b>0,??
∴a=,由a>0,得b>3.
4?
??3
∴a+b=b+=b+=(b-3)++7≥2+7=4+7,即a+b的最小值為7+4.
4?4(??3)+1212
1233
5.(2014?福?建3,9,5分??)要3制作一個(gè)容?積?3為4m3,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方
米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是()
A.80元B.120元C.160元D.240元
答案C設(shè)底面矩形的長(zhǎng)和寬分別為am、bm,則ab=4.容器的總造價(jià)為20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]
元,80+20(a+b)≥80+40=160(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立).故選C.
??
6.(多選)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則()
A.x+y≤1B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
答案BC因?yàn)?2()2,且,所以()2()2()2()2,故()2,
x+y-xy=x+y-3xy=1xy≤2x+y-3xy≥x+y-x+y=x+yx+y≤4
(?+?)31
444
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即,故錯(cuò)誤,正確由得2222,即22,當(dāng)
x=y-2≤x+y≤2AB.xy≤221=x+y-xy≥x+y-22x+y≤2
?+??+?
22
且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立.故C正確,D錯(cuò)誤,故選BC.
7.(多選)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,則()
A.a2+b2≥
11
2B.2???>2
C.log2a+log2b≥-2D.
答案ABD∵a>0,b>0,a+b=?1,+∴0?<a≤<1,20<b<1,b=1-a.
ab≤.
?+?21
2=4
對(duì)于A選項(xiàng),a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí),取等號(hào),A正確;
12111
??2+2≥22
對(duì)于B選項(xiàng),a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴<22a-1<2,∴2a-b>成立,B正確;
11
對(duì)于C選項(xiàng),∵0<ab≤,a>0,b>0,22
1
4
∴l(xiāng)og2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正確;
1
4
對(duì)于D選項(xiàng),∵()2=a+b+2≤1+a+b=2,∴成立,D正確.
?+???=1+2???+?≤2
8.(2019天津文,13,5分)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則的最小值為.
(?+1)(2?+1)
??
答案
9
解析本2題主要考查基本不等式的運(yùn)用.考查學(xué)生對(duì)基本不等式及其簡(jiǎn)單變形使用條件的掌握程度,以及學(xué)
生的推理、運(yùn)算能力.
===2+.
(?+1)(2?+1)2??+?+2?+12??+55
????????
∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0<xy≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2,即x=2且y=1時(shí)“=”成立.此時(shí)≥,∴2+
115
?·2?
??2??
≥2+=,故的最小值為.
59(?+1)(2?+1)9
22??2
思路分析首先將分子展開,并把已知條件x+2y=4代入,則原式化簡(jiǎn)為2+,注意到x與2y的和為定值,用
5
基本不等式即可求xy的最大值,最終得到原式的最小值,在此應(yīng)特別注意基??本不等式的使用條件“一正、二
定、三相等”,注意等號(hào)是否成立.
9.(2018江蘇,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)
D,且BD=1,則4a+c的最小值為.
答案9
解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.
依題意畫出圖形,如圖所示.
易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,
即csin60°+asin60°=acsin120°,
111
222
∴a+c=ac,∴+=1,
11
??
∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,
11?4?
+
????
當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,c=3時(shí)取“=”.
?4?3
一題多解?1?作DE∥2CB交AB于E,∵BD為∠ABC的平分線,
∴==,
?????
?????
∵DE∥CB,∴===,
???????
???????+?
∴=,=.
??
????????
?+?