第03講角平分線知識點1：尺規(guī)作圖作角平分線知識點2：角平分線的性質(zhì)定理知識點3：角平分線的判定定理角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE?！绢}型1：角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【典例1】（2425七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點C，點D在OB上．若OD=6，△POD的面積為9，則PC的長為（

）A．3 B．6 C．8 D．9【變式1】（2425八年級下·河南·期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB=6，CD=2，則△DBE的面積為（

A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（2425八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點D是△ABC的三個內(nèi)角平分線的交點，若△ABC面積為27cm2，點D到邊AC的距離是3cmA．18cm B．9cm C．36cm【變式3】（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，在BA，BC上分別截取線段BE，BF，使BE=BF；分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，在∠ABC內(nèi)，兩弧交于點P，作射線BP，交AD于點M，過點M作MN⊥AB于點N．若MN=3，AD=4MD【題型2：角平分線的性質(zhì)在實際中的應(yīng)用】【典例2】（2425七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【變式1】（2425八年級上·重慶大足·期中）如圖，是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息．若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點處 B．三條中線的交點處C．三條高線的交點處 D．以上都不對【變式2】（2324八年級上·遼寧盤錦·期末）縱橫交錯的公路和鐵路將A，B，C三個村莊連成一個如圖所示的三角形區(qū)域.若建一個到三條道路的距離相等的物流倉儲基地，則這個基地應(yīng)該建在（

）A．△ABC的三條高線的交點 B．△ABC的三條中線的交點C．△ABC的三條角平分線的交點 D．△ABC的三邊垂直平分線的交點角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。幾何表示：∵點P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點，且該點到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是該三角形三條角平分線的交點。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點，這條角平分線把三角形分成兩個小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長度的比?！逜D是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【題型3：角平分線的性質(zhì)的判定】【典例3】（2223八年級上·山東聊城·階段練習）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，∠【變式1】（2324八年級上·河北廊坊·階段練習）如圖，△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分線交于點D，過點D作DE⊥AM，DF⊥AN，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)若∠A=60°，∠ABC=50°，求∠BCD及∠BDC的度數(shù)；(2)連接AD，判斷AD是否平分∠BAC？并說明理由．【變式2】（2425八年級上·廣東惠州·期中）如圖，在△ABC中，AP,CP分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點P．(1)求證：BP為∠MBN的平分線．(2)求證：∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．【變式3】（八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求證：AD平分∠CAB．【題型4：角平分線的性質(zhì)的判定和性質(zhì)綜合】【典例4】（2425八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，已知OA、OC分別是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分線，連接OB，(1)求證：BO平分∠ABC；(2)若AC=6，且△AOC與△ABC的面積分別是12和18，求△ABC的周長．【變式1】（2324八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠CBA的角平分線相交于點E．

(1)求證：點E在∠A的平分線上；(2)過點E作ED⊥BC于點D，ED=4，△ABC的面積為36，則△ABC的周長為__________．【變式2】（2324八年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，

(1)求證：AD平分∠BAC；(2)已知AC=16，DE=4，BE=2，求四邊形AFDB的面積．（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求?！绢}型5：尺規(guī)作圖角平分線】【典例5】（2425七年級下·河南周口·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°．(1)請用無刻度直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線，與邊AC交于點D（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）的作圖下，若△ABC的面積是24，AB+BC=16，求CD的長．【變式1】（2425七年級下·河南駐馬店·期末）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD⊥BC，(1)求作：△ABC的角平分線AE；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)求∠BAC與∠EAD的度數(shù)．【變式2】（2425九年級下·黑龍江綏化·階段練習）如圖，在△ABC中.(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線AD交BC于點D.（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面積為12，求△ABC的面積【變式3】（2324八年級上·廣東潮州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB>CD．(1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若CE=BE，求證：AE平分∠DAB．一、單選題1．（2025·云南·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD=4，AD=2CD，BD平分∠ABC，則點D到AB的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．1．52．（2425八年級上·廣東中山·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，則點D到邊BC的距離是（

A．2 B．3 C．3 D．43．（2425八年級上·江蘇徐州·期中）用兩把完全相同的長方形直尺作出∠AOB的角平分線的方法：如圖所示，直尺①邊緣壓住射線OB，直尺②邊緣壓住射線OA并且與直尺①交于點P，射線OP就是∠AOB的角平分線．其理論依據(jù)是（

）A．等腰三角形兩底角相等B．到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上C．角平分線上的點到角的兩邊距離相等D．三線合一4．（2223八年級上·遼寧大連·期中）到三角形三條邊的距離都相等的點是（

）A．兩條中線的交點 B．兩條高的交點C．兩條角平線的交點 D．兩條邊的垂直平分線的交點5．（2223八年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2223八年級上·福建福州·開學考試）三條公路圍成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．三角形的三條角平分線的交點處B．三角形的三條中線的交點處C．三角形的三條高的交點處D．以上位置都不對7．（2122七年級下·山東濟南·期末）如圖，按以下方法作一個角的平分線：（1）以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點M、N．（2）分別以點M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C．（3）畫射線OC，射線OC即為所求．這種作圖方法的依據(jù)是（

A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA8．（2122八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD＝2，BC＝7，則△BDC的面積是（

）A．2 B．7 C．9 D．149．（2425九年級下·貴州畢節(jié)·階段練習）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠A=50°，以點B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB,BC于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點G，連接BG并延長，交AC于點D，則∠ADB的度數(shù)是（A．105° B．110° C．115° D．120°10．（2425八年級下·廣東揭陽·期中）如圖，點O是△ABC內(nèi)一點，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD=4，AB=20，則△AOB的面積是（

）A．20 B．30 C．40 D．5011．（2024八年級上·北京·專題練習）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE平分∠ACB，與BD交于點E，若BC=5，△BCE的面積為5，則ED的長為（）

A．12 B．1 C．2 12．（2015·廣東廣州·一模）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB上AB于點E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，則AC的長是（A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題13．（2425七年級下·山東煙臺·期中）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線與內(nèi)角∠ABC的平分線交于點E，若∠CAE=54°，則∠BEC的度數(shù)是．14．（2122八年級上·甘肅武威·階段練習）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若CD＝8，則點D到斜邊AB的距離等于．15．（2025·河南商丘·二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，CD=2，AB=6，則△ABD的面積是16．（2425七年級下·上海長寧·期末）在小學，我們學習過“三角形的內(nèi)角和為180°”．如圖，在△ABC中，∠A=60°，根據(jù)作圖痕跡推斷∠BOC的度數(shù)為．17．（2425七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，若AC=6，S△ACD=6，則DE的長為三、解答題18．（2425八年級上·甘肅定西·階段練習）如圖