專題04實際問題與一元二次方程重難點題型專訓（2個知識點+12大題型+4大拓展訓練+自我檢測）題型一傳播問題題型二增長率問題題型三與圖形有關的問題題型四數(shù)字問題題型五營銷問題題型六動態(tài)幾何問題題型七工程問題題型八行程問題題型九圖表信息題題型十其他問題題型十一握手循環(huán)賽問題題型十二分式方程與一元二次方程結合拓展訓練一“每每”型銷售問題拓展訓練二圖形問題綜合拓展訓練三一元二次方程與動點問題相關拓展訓練四一元二次方程應用的規(guī)律探究問題知識點一、列一元二次方程解決問題用一元二次方程解決問題的步驟如下：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；列(根據(jù)題目中的等量關系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）答(寫出答案，切忌答非所問).【即時訓練】1．（2425九年級上·江蘇揚州·期中）某社區(qū)為改善環(huán)境，決定加大綠化投入．四月份綠化投入25萬元，六月份綠化投入48萬元，設平均每月綠化投入的增長率為，根據(jù)題意，可列得方程為（

）【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，涉及連續(xù)增長問題．四月份到六月份間隔兩個月，每月增長率為x，六月份的投入為四月份投入連續(xù)兩次增長后的結果．根據(jù)題意列出方程即可．故選：C．月份12345收入/萬元10

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【分析】本題考查一元二次方程的應用，3月份的收入月份的收入月收入的增長率，由此可解．【詳解】解：由題意知，1月份收入10萬元，知識點二、一元二次方程解決問題的類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù)。如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a；(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x2，x+2.2.平均變化率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次.(1)增長率問題：(2)降低率問題：3.利息問題與銷售問題（1）利息有關概念：本金：顧客存入銀行的錢叫本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.（2）利息相關公式:利息=本金×利率×期數(shù)利息稅=利息×稅率本金×(1+利率×期數(shù))=本息和本金×[1+利率×期數(shù)×(1稅率)]=本息和(收利息稅時)（3）銷售問題中的常用等量關系利潤＝售價－進價（成本）總利潤＝每件的利潤×總件數(shù)利潤率＝利潤進價（成本）售價＝打折數(shù)10進價×（1＋利潤率）＝標價×打折數(shù)【即時訓練】3．（2425九年級上·江蘇泰州·期末）某商店經(jīng)銷的某種商品，每件成本40元．經(jīng)市場調研，售價為50元時，可銷售200件；當售價每增加1元時，銷售量將減少10件．若該商店銷售這種商品盈利2000元，求該商店銷售了這種商品多少件？【答案】該商店銷售了這種商品100或200件【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意是解題關鍵．設該商品售價增加了元，根據(jù)“售價每增加1元時，銷售量將減少10件”列方程求解即可．【詳解】解：設該商品售價增加了元，答：該商店銷售了這種商品100或200件．【答案】每束鮮花應降價元盡量減少庫存，答：每束鮮花應降價元．【答案】6米【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)陰影部分的面積相等列出方程，求出解即可．【詳解】解：寬度是x米的道路，根據(jù)題意，得所以道路的寬度是6米．6．（2425九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖1，張爺爺用30m長的隔離網(wǎng)在一段15m長的院墻邊圍成矩形養(yǎng)殖園．已知矩形的邊院墻，和與院墻垂直．【答案】(1)12m(2)不能，見解析【分析】本題考查的是一元二次方程的應用，熟練的確定相等關系，再建立方程是解本題的關鍵．答：AB的長為12m．（2）不能．理由如下：∴該方程無實數(shù)根．8．（2425九年級上·江蘇蘇州·階段練習）某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發(fā)現(xiàn)每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件降價多少元？(2)小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【答案】(1)每件降價10元(2)該商品至少需打八折銷售【分析】本題考查了一元二次方程及一元一次不等式的應用，找準數(shù)量關系，正確列出一元二次方程及一元一次不等式是解題的關鍵．（2）設該商品打y折銷售，根據(jù)小明的線下實體商店的銷售價格不超過（1）中的售價，即可得出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．又∵商家想盡快銷售完該款商品，答：每件降價10元．（2）解：設該商品打y折銷售，答：該商品至少需打八折銷售．【經(jīng)典例題一傳播問題】【例1】（2425九年級上·河南安陽·階段練習）有一個人患了某種傳染病，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患?。?1)每輪平均1個人會感染幾人？(2)若病毒得不到有效控制，三輪感染后，患病的人數(shù)會不會超過700人？【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染8個人(2)患病的人數(shù)會超過700人【分析】（1）設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了這種傳染病即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病的人數(shù)=經(jīng)過兩輪傳染后患病的人數(shù)+經(jīng)過兩輪傳染后患病的人數(shù)×8，即可求出結論．本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關系，列式計算．【詳解】（1）解：設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，答：每輪傳染中平均一個人傳染8個人．（2）患病的人數(shù)會超過700人．答：患病的人數(shù)會超過700人1．（2425九年級上·廣東江門·期中）近年手機微信上的垃圾短信泛濫成災，嚴重影響了人們的生活，最近小王收到一條垃圾短信，此短信要求接到短信的人必須轉發(fā)給若干人，如果收到此短信的人都按要求轉發(fā)，從小王開始計算，轉發(fā)兩輪后共有人有此短信．(1)請求出這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給多少人？(2)如果收到短信的人都按要求轉發(fā)，從小王開始計算，三輪后會有多少人有此短信？【答案】(1)人【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，有理數(shù)混合計算的實際應用：（1）設這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給x人，則第一輪小王會發(fā)給x人，第一輪被轉發(fā)的x人每個人又要轉發(fā)x人，據(jù)此列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所求列式求解即可．【詳解】（1）設這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給x人，答：這個短信要求收到短信的人必須轉發(fā)給人；2．（2425九年級上·湖北十堰·期末）諾如病毒是一種高度傳染性和快速傳播的病毒，它通過多種途徑傳播，包括糞口途徑、污染的水源、食物、物品和空氣等，尤其是在封閉或人口密集的環(huán)境中傳播更快，其常見癥狀為惡心、嘔吐、發(fā)熱、腹痛和腹瀉等．如果某人是該病毒患者，經(jīng)過兩輪傳染后共有人被傳染，請問每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?【答案】每輪傳染中平均一個人傳染了個人【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，∴每輪傳染中平均一個人傳染了個人；3．（2425九年級上·全國·課后作業(yè)）研究所在研究某種流感病毒發(fā)現(xiàn)，若一人攜帶此病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患病（假設每輪每人傳染的人數(shù)相同）．(1)每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？(2)如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患病？【答案】(1)11個(2)1728人【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)“若一人攜帶此病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患病”，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；【詳解】（1）解：設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人．答：每輪傳染中平均每個人傳染了11個人．答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有1728人患?。窘?jīng)典例題二增長率問題】【例2】（2425九年級上·廣東江門·期中）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，月游客人數(shù)為萬人，月游客人數(shù)為萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)按照以上增長速度，預計月該景區(qū)游客人數(shù)．【分析】本題考查了一元二次方程在實際問題中的應用，有理數(shù)的混合運算的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．（1）設這兩個月的平均增加率為x，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解；（2）根據(jù)（1）的結論，結合月游客人數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：設這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，由題意，可得1．（2425八年級下·安徽宣城·期末）隨著旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，3月份游客人數(shù)為1.6萬人，5月份游客人數(shù)為3.6萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預計6月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率，已知該景區(qū)6月1日至6月20日己接待游客3萬人，則6月21日至6月30日平均每天接待游客人數(shù)最多是多少萬人？(2)萬人【分析】本題考查一元二次方程和一元一次不等式的實際應用．（1）設這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進行求解即可；（2）設6月21日至6月30日平均每天接待游客人數(shù)是a萬人，根據(jù)題意，列出不等式進行計算即可．【詳解】（1）解：設這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，（2）解：設6月21日至6月30日平均每天接待游客人數(shù)是a萬人，2．（2425八年級下·黑龍江綏化·期中）交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔3月份到5月份的銷量，該品牌頭盔3月份銷售375個，5月份銷售540個，且從3月份到5月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若月增長率不變，求7月份銷售頭盔多少個？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為；【分析】本題考查了一元二次方程的應用，有理數(shù)運算的實際應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可；（2）根據(jù)題意列式計算即可．【詳解】（1）解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，∴該品牌頭盔銷售量的月增長率為；(1)設2025年銷售A型汽車總量為a萬輛，銷售單價為b萬元，請用代數(shù)式填表：年份年銷售A型汽車總量/萬輛年銷售A型汽車單價/萬元年銷售A型汽車總額/億元2025①______2025②______(2)該汽車企業(yè)A型汽車這兩年銷售總額的年增長率相同，求年增長率．(2)該汽車企業(yè)型汽車這兩年銷售總額的年增長率為【分析】本題考查了代數(shù)式的應用，一元二次方程的應用，根據(jù)題意正確列出代數(shù)式和方程是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意列代數(shù)式即可；【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，2025年銷售型汽車總額為億元，（2）解：設該汽車企業(yè)型汽車這兩年銷售總額的年增長率為，答：該汽車企業(yè)型汽車這兩年銷售總額的年增長率為．【經(jīng)典例題三與圖形有關的問題】【分析】此題考查了一元二次的方程的實際應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出等量關系式．【詳解】解：設切去的正方形邊長為．(1)求此時花圃邊的長；【答案】(1)花圃邊的長為4米．【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用、一元二次方程根的判別式等知識點，靈活運用所學知識解決實際問題成為解題的關鍵．∵墻的最大可用長度為，答：花圃邊的長為4米．(1)如圖1，用含的代數(shù)式表示的長．(2)(3)不能，理由見解析【分析】本題考查了一元二次方程的應用，熟練掌握是解題的關鍵．（2）根據(jù)花園的面積建立一元二次方程，先解方程，再根據(jù)（1）中的取值范圍進行取舍即可；（3）根據(jù)花園的面積建立一元二次方程，判斷方程的解得情況即可得到答案．（3）解：不能，理由：該方程無實數(shù)根，3．（2425八年級下·北京昌平·期末）在公元9世紀，花拉子米（杰出的數(shù)學家、天文學家和地理學家之一，被譽為“代數(shù)之父”）在其《代數(shù)學》中利用幾何方法求解一元二次方程．根據(jù)上述材料，解答下列問題．(1)補全花拉子米的解法步驟；【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查解一元二次方程?配方法，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據(jù)已知算式和圖形可得答案．（2）根據(jù)“在邊長為x的正方形的兩個相鄰邊上作邊長分別為和2的矩形，再補上一個邊長為2的小正方形，最終把圖形補成一個大正方形”，可得答案．故答案為：，5；【經(jīng)典例題四數(shù)字問題】【例4】（2425九年級上·吉林·階段練習）小亮改編了蘇軾的詩詞《念奴嬌?赤壁懷古》；“大江東去浪淘盡，千古風流人物，而立之年督東吳，早逝英才兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符．哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？”大意為：“周瑜去世時年?為兩位數(shù)，該數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字小3，個位的平方恰好等于該數(shù)．”若設周瑜去世時年齡的個位數(shù)字為x，求周瑜去世時年齡．注：“而立之年”指的是三十歲，兩位數(shù)表示為（十位數(shù)字）+（個位數(shù)字）．【答案】周瑜去世時年齡為36歲【分析】本題考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關系是解題的關鍵．∴十位數(shù)字為2或3∵而立之年督東吳，“而立之年”指的是三十歲，∴周瑜去世時年齡為36歲．(1)若這兩個連續(xù)的正整數(shù)中，較小的數(shù)是3，求它們的平方之和是多少？(2)若這兩個連續(xù)正整數(shù)的平方之和是41，求這兩個正整數(shù)分別是多少？【答案】(1)(2)這兩個正整數(shù)分別是4和5【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）首先求出這兩個連續(xù)的正整數(shù)中較大的數(shù)是4，然后列式求解即可；【詳解】（1）∵這兩個連續(xù)的正整數(shù)中，較小的數(shù)是3，∴較大的數(shù)是4，（2）設較小的整數(shù)是，則較大的整數(shù)是，答：這兩個正整數(shù)分別是4和5．2．（2425九年級上·遼寧丹東·期中）2014年2月27日，第十二屆全國人大常委會第七次會議通過決定，將每年的12月13日設立為南京大屠殺死難者國家公祭日，今年的2025年12月13日是自2014年開始的第10個公祭日，在今年12月的日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個最大數(shù)（請用方程知識解答）．【答案】這個最小數(shù)為5答：這個最小數(shù)為5．∵這五個數(shù)為正整數(shù)，【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解本題的關鍵在設出這五個正整數(shù)，再找到等量關系準確列出方程．【經(jīng)典例題五營銷問題】【例5】（2425八年級下·山東威?！て谀┥痰曩忂M某種商品的價格為60元/件，在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當每件商品售價為70元時，每天可銷售30件；當每件商品售價高于70元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件．每件商品的售價定為多少時，商店每天的盈利會達到400元？【答案】每件定價為80元時，商店每天的盈利會達到400元．【分析】本題考查了一元二次方程的應用．設售價定為x元，根據(jù)題意列方程計算即可．【詳解】解：設售價定為x元，由題意得答：每件定價為80元時，商店每天的盈利會達到400元．1．（2425八年級下·陜西西安·期末）交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商銷售A品牌頭盔，此種頭盔的進價為30元/個，經(jīng)測算，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個．(1)為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？(2)能否通過漲價使經(jīng)銷商平均每月銷售這種頭盔的利潤達到15000元？如果能，請求出售價應為多少元？如果不能，請說明理由．【答案】(1)50元(2)不能達到15000元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，明確題意，列出一元二次方程是解答本題的關鍵．（1）設該品牌頭盔的實際售價為y元，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可；（2）設該品牌頭盔的實際售價為x元，根據(jù)題意列出一元二次方程，利用判別式求解即可．【詳解】（1）解：設該品牌頭盔的實際售價為y元，∵盡可能讓顧客得到實惠，答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元；（2）解：設該品牌頭盔的實際售價為x元，∴方程無解，∴不能達到15000元．2．（2425八年級下·全國·期中）某服裝店銷售一批襯衫，每件進價150元，開始以每件200元的價格銷售，每星期能賣出20件，后來因庫存積壓，決定降價銷售，經(jīng)兩次降價后的每件售價162元．(1)已知兩次降價百分率相同，求每次降價的百分率；(2)聰明的店主在降價過程中發(fā)現(xiàn)，適當?shù)慕祪r既可增加銷售收入又可增加收入，且每件襯衫售價每降低1元，銷售會增加2件，若店主想要每星期獲利1750元，售價應定為多少元？(2)175或185元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解此題的關鍵．（1）設每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列出關于的一元二次方程，解方程即可得解；【詳解】（1）解：設每次降價的百分率為x，答：售價應定為175或185元．3．（2425八年級下·浙江杭州·期中）某水果店銷售一種水果的成本價是5元/千克．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當這種水果的價格定在7元/千克時，每天可以賣出160千克．在此基礎上，這種水果的單價每提高1元/千克，該水果店每天就會少賣出20千克．(1)設提價x元，則該水果每千克利潤是_______元，每天可以賣出水果_______千克．（用含x的代數(shù)式表示）(2)若該水果店每天銷售這種水果所獲得的利潤是420元，為了讓利于顧客，則單價應定為多少？(2)單價定為8元/千克【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，（1），根據(jù)單件利潤等于原來利潤加上提價得出代數(shù)式，再根據(jù)每天賣出的質量減去少賣出的質量得出代數(shù)式即可；（2），結合（1），根據(jù)單件利潤乘以銷售量等于總利潤列出方程，求出解，根據(jù)題意舍去不符合題意的解，此題可解．讓利于顧客，故單價為8元．答：單價定為8元/千克．【經(jīng)典例題六動態(tài)幾何問題】(1)則當P，Q兩點同時出發(fā)，幾秒后所截得兩個四邊形中，其中一個四邊形為平行四邊形？【答案】(1)8或10(2)8或12【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，一元二次方程的應用，勾股定理，矩形的性質和判定，所以當時間為8秒或10秒時，其中一個四邊形是平行四邊形；故答案為：8或12．(2)1【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（2）利用（1）的結論，根據(jù)三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可．（2）解：存在，理由如下：【答案】(1)不能，理由見解析【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，此方程無解，①當點在線段上，點在線段上時②當點在線段上，點在線段的延長線上時③當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，3．（2324九年級上·江蘇鹽城·階段練習）問題背景問題探究【答案】(1)或(2)4秒或6秒【分析】本題考查了幾何動點問題，涉及了矩形的性質、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知識點，注意計算的準確性是解題關鍵．（2）分類討論①當點P在線段上和②當點P在線段上兩種情況即可求解；由題意得，【經(jīng)典例題七工程問題】【例7】（2425九年級上·四川綿陽·期中）某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)某工廠已建有一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個，應該增加幾條生產(chǎn)線？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為(2)增加4條或條生產(chǎn)線【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出相應的一元二次方程求解即可．（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程進行求解；（2）設增加x條生產(chǎn)線，根據(jù)條件列出一元二次方程求解，再根據(jù)要節(jié)省投入的條件下，確定解．【詳解】（1）解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為．（2）解：設增加x條生產(chǎn)線．答：增加4條或條生產(chǎn)線．1．（2425八年級下·江蘇泰州·期末）問題：“某工程隊準備修建一條長3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務，求原計劃每天修建下水管道的長度？”（2）原計劃每天修建的長度比實際少75米．在上述的2個條件中選擇1個________________（僅填序號）補充在問題的橫線上，并完成解答．【答案】選（1）或（2）；選（1）原計劃每天修建下水管道的長度為米；選（2）原計劃每天修建下水管道的長度為米【詳解】選（1）或（2）（1）解：設原計劃每天修建下水管道的長度為米答：原計劃每天修建下水管道的長度為米．（2）解：設原計劃每天修建下水管道的長度為米答：原計劃每天修建下水管道的長度為米．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．2．（2025·重慶開州·一模）某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；【答案】(1)型設備每小時鋪設的路面長度為90米(2)的值為10根據(jù)題意得，答：型設備每小時鋪設的路面長度為90米；（2）根據(jù)題意得，∴的值為10．【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應用，解題關鍵是讀懂題意，找準等量關系并列出方程．3．（2425八年級下·重慶北碚·期中）甲、乙兩工程隊合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計劃32小時完成．甲工程隊每小時修路里程比乙工程隊的2倍多30米，剛好按時完成任務．(1)求甲工程隊每小時修的路面長度；【答案】(1)甲工程隊每小時鋪設的路面長度為110米(2)m的值為18（2）根據(jù)“甲工程隊鋪設的路面長度+乙兩工程隊鋪設的路面長度=5800”列出方程，求解即可．∴甲工程隊每小時鋪設的路面長度為110米；（2）解：根據(jù)題意得，∴m的值為18．【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應用，解題關鍵是讀懂題意，找準等量關系并列出方程．【經(jīng)典例題八行程問題】【例8】（2425九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運動，叫做勻變速直線運動．在此運動過程中，每個時間段的平均速度為初速度和末速度的算術平均數(shù)，路程等于時間與平均速度的乘積．若一個小球以5米/秒的速度開始向前滾動，并且均勻減速，4秒后小球停止運動．(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動約用了秒【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（2）設小球滾動約用了秒，由時間速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．答：小球滾動約用了秒．（1）甲運動4后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？【答案】（1）甲運動4后的路程是14；（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3．【分析】（1）根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式把t＝4s代入求得l的值即可；（2）根據(jù)圖可知，二者第一次相遇走過的總路程為半圓，分別求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可．答：甲運動4后的路程是14；答：甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，試題比較新穎．解題關鍵是根據(jù)圖形分析相遇問題，第一次相遇時二者走的總路程為半圓．(1)甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多長時間？(2)甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多長時間？【答案】(1)甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了;(2)甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了.【分析】根據(jù)題意：甲乙第一次相遇時，二者的路程之和為半圓長度21cm，列方程計算即可；甲乙第二次相遇時，二者的路程之和為三個半圓長度，列方程計算即可.【詳解】解：（1）由圖可知，甲、乙第一次相遇時，走過的總路程為半圓的長度21cm.答：甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了.（2）由圖可知，甲、乙第二次相遇時，走過的總路程為三個半圓的長度.答：甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了.【點睛】本題考查一元二次方程的應用，正確找出等量關系，列出一元二次方程是解題的關鍵.3．（2025·福建泉州·模擬預測）閱讀材料：(1)甲在3秒內(nèi)經(jīng)過的路程為_____________；（單位：m）(2)求出發(fā)后，甲、乙速度相等的時間；(3)求出發(fā)后，甲、乙相遇的時間．【答案】(1)(2)秒【詳解】（1）解：由圖可知：甲的速度與時間的函數(shù)圖象為平行于軸的一條射線，甲在秒內(nèi)經(jīng)過的路程為：故答案為：；（2）解：由圖可知：甲的速度與時間的函數(shù)圖象是以原點為端點的一條射線，當甲、乙速度相等時，根據(jù)題意得：解得：，出發(fā)后，甲、乙速度相等的時間為秒；（3）解：甲、乙相遇說明甲、乙所行路程相等，【點睛】本題主要考查了從函數(shù)的圖象獲取信息，求一次函數(shù)解析式，一元一次方程的應用（其他問題），一元二次方程的應用（行程問題），有理數(shù)乘法的實際應用等知識點，讀懂題意，能夠從函數(shù)圖象中獲取正確信息是解題的關鍵．【經(jīng)典例題九圖表信息題】【例9】（2425九年級上·湖北宜昌·期末）某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過度，那么這個月這戶居民只交10元電費；如果超過度，這個月除了交10元電費外，超過部分按每度元交費．(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了度的規(guī)定，試寫出超過部分應交的電費．（用含的代數(shù)式表示）(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據(jù)其中的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的度是多少．月份用電量/度交電費總數(shù)/元2月80253月4510【答案】(1)x（90－x）元(2)50度【分析】（1）根據(jù)題意可得用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，再由超過部分按每度元交電費，即可求解；（2）根據(jù)題意可得2月份用電量超過x度，列出方程，再由3月份用電45度只交電費10元，可得x≥45，即可求解．【詳解】（1）解：∵規(guī)定用電x度，∴用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，∵超過部分按每度元交電費，∴超過部分應交的電費為x（90－x）元．（2）解∶2月份用電量超過x度，依題意得x（80－x）＝25－10．整理得x2－80x＋1500＝0．解這個方程得x1＝30，x2＝50．根據(jù)題意得：3月份用電45度只交電費10元，∴電廠規(guī)定的x≥45，∴x1＝30不合題意，舍去．∴x＝50．答：電廠規(guī)定的x度為50度．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．1．（2425八年級下·安徽池州·期中）如圖是2025年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個方框圈出的四個數(shù)．(1)若圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個最小數(shù)．(2)9．【分析】（1）設圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，根據(jù)日歷上兩個數(shù)之間的關系可得答案；（2）根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為105，即可得出關于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．答：這個最小值為9.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2．（2425九年級上·廣東廣州·期末）某市為鼓勵居民節(jié)約用水，對居民用水實行階梯收費，每戶居民用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費．（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應繳納水費多少元？（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況：月份用水量（噸）交水費總金額（元）4186252486根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值【答案】（1）；（2）10【分析】（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，然后根據(jù)“用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費”，即可求解；【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，答：規(guī)定用水量a的值為10噸．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．3．（2024九年級·全國·專題練習）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護局協(xié)同自來水公司為鼓勵居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費＋污水處理費）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應交水費多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；月份用水量（噸）交水費總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．【答案】（1）用戶應交水費10+40a﹣5a2元；（2）a的值為3．【分析】（1）根據(jù)總費用＝10+超出費用列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意分別列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取滿足兩個方程的a的值即為本題答案．【詳解】解：（1）3月份應交水費10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；（2）由題意得：5a（7﹣a）+10＝70，解得：a＝3或a＝45a（5﹣a）+10＝40解得：a＝3或a＝2，綜上，規(guī)定用水量為3噸．則規(guī)定用水量a的值為3．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是了解本題的水費收取標準．【經(jīng)典例題十其他問題】【例10】（2425八年級下·安徽淮北·期末）鋼琴鍵盤中的數(shù)學密碼：一架現(xiàn)代標準鋼琴共有88個琴鍵，是為滿足音樂作品的音域要求而設計的，其中黑鍵通常用于演奏升降音符，白鍵用于自然音符．已知黑鍵數(shù)和白鍵數(shù)的乘積是1872，求黑白鍵各多少個？【答案】黑鍵36個，白鍵52個由于黑鍵比白鍵少，故x取36．所以黑鍵36個，白鍵52個．1．（2025·貴州銅仁·模擬預測）請閱讀下面材料，解決后面的問題：材料二：淘汰賽是體育比賽中的又一種賽制，規(guī)則是：參賽隊伍按照抽簽配對比賽，失敗一方被淘汰出局．勝利一方進入下一輪，每一輪淘汰掉一半隊伍，直至產(chǎn)生最后的冠軍．例如甲、乙、丙、丁四支球隊進行淘汰賽過程如圖所示．材料三：足球比賽的積分規(guī)則為：勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分．問題一：貴州“村超”，是貴州榕江縣舉辦的鄉(xiāng)村足球聯(lián)賽，是貴州的一張靚麗名片，在早期的一屆比賽中，有一支球隊參加了10場比賽，以不敗戰(zhàn)績獲積分24分，求這支球隊勝的場次是多少？問題二：近幾年貴州“村超”報名隊伍不斷增多，在某屆比賽中，組織者統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，如果全程按照單循環(huán)賽進行，共需要進行190場比賽，這樣場次太多，經(jīng)研究決定采用如下方案：先把參賽隊伍按照某種規(guī)則平均分成四個小組，小組內(nèi)通過單循環(huán)賽確定前兩名，然后把四個小組的前兩名交叉配對通過淘汰賽決出冠軍，這種方案共需要多少場比賽決出冠軍？【答案】問題一：7場；問題二：場【分析】本題考查了一元一次方程的應用，一元二次方程的應用，正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵．（2）先算出報名隊伍是支，再根據(jù)把參賽隊伍按照某種規(guī)則平均分成四個小組，得出每個小組有5支報名隊伍，算出四個小組的總比賽場數(shù)，再加上淘汰賽需要進行場比賽，即可作答．【詳解】解：問題一：∵有一支球隊參加了10場比賽，以不敗戰(zhàn)績獲積分24分，∴負場為0，∴這支球隊勝的場次是7場；問題二：設報名隊伍為，∵把參賽隊伍按照某種規(guī)則平均分成四個小組，即每個小組有5支報名隊伍，∵小組內(nèi)通過單循環(huán)賽確定前兩名，然后把四個小組的前兩名交叉配對通過淘汰賽決出冠軍，∴淘汰賽需要進行場比賽，∴這種方案共需要場比賽決出冠軍．2．（2425九年級上·貴州六盤水·期末）閱讀下面材料，并解決相關問題：如圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)行，其中第一行有1個點，第二行有2個點，第n行有n個點．容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前5行的點數(shù)之和為15．(1)三角點陣中前7行的點數(shù)之和為________，前n行的點數(shù)之和為________；（用含n的代數(shù)式表示）(2)三角點陣中前n行的，點數(shù)之和________（填“能”或“不能”）為520；(3)某人民廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用630盆同樣規(guī)格的花，按照第一排擺3盆，第二排擺6盆，第三排擺9盆，…第n排擺盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？(2)不能(3)一共能擺放20排【分析】本題考查了一元二次方程的應用，圖形規(guī)律探索，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）根據(jù)圖形，總結規(guī)律，列式計算即可求解；（2）根據(jù)前n行的點數(shù)和是520，即可得出關于n的一元二次方程，解之即可判斷；【詳解】（1）解：三角點陣中前7行的點數(shù)之和為：前行的點數(shù)之和為：（2）解：不能，理由如下：∴此方程無正整數(shù)解，∴三角點陣中前n行的點數(shù)和不能是520；（3）解：同理，前排的盆景之和為：∴一共能擺放20排．【觀察思考】圖1中灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2中灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．．．【規(guī)律總結】（1）圖4中灰磚有_________塊，白磚有________塊；圖n中灰磚有_______塊，白磚有______塊．【問題解決】（2）是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少16的情形？請通過計算說明你的理由．【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律和一元二次方程的相關知識，解題的關鍵是掌握數(shù)字規(guī)律的分析方法和一元二次方程的性質．（1）根據(jù)圖形算出圖3白磚和灰磚的數(shù)量，再根據(jù)圖形規(guī)律算出圖5白磚和灰磚的數(shù)量，通過圖1到圖4的數(shù)字規(guī)律得出圖n白磚和灰磚的數(shù)量；（2）假設存在圖n白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少16的情形，根據(jù)白磚和灰磚的數(shù)量建立方程，方程沒有整數(shù)解說明假設不成立．【詳解】圖1灰磚的數(shù)量為1，圖2灰磚的數(shù)量為4，圖3灰磚的數(shù)量為9，圖4灰磚的數(shù)量為16，得圖n灰磚的數(shù)量為，（2）假設存在，設圖中白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少16，方程沒有整數(shù)解，不存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少16的情形．【經(jīng)典例題十一握手循環(huán)賽問題】【例11】（2425八年級下·遼寧大連·期中）2024年11月3日，大連足球在萬眾期待中迎來歷史性時刻，時隔一年重返中國足球超級聯(lián)賽（中超），彰顯了大連在中國足球歷史上的重要地位．2025年賽季中超聯(lián)賽仍然采用雙循環(huán)比賽制（即每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽240場．求本次聯(lián)賽共有多少支球隊．【答案】本次聯(lián)賽共有16支球隊【分析】本題考查一元二次方程的應用，根據(jù)題意找準等量關系并正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設本次聯(lián)賽共有支球隊，根據(jù)2025年賽季中超聯(lián)賽仍然采用雙循環(huán)比賽制（即每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽240場，列出一元二次方程，求解并取符合題意的值即可．【詳解】解：設本次聯(lián)賽共有支球隊，本次聯(lián)賽共有16支球隊．1．（2425九年級上·廣東江門·期中）某航空公司有若干個飛機場，每兩個飛機場之間都開辟一條航線，一共開辟了10條航線，求航空公司共有多少個飛機場？【答案】5個【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應用，根據(jù)等量關系，列出方程是解題的關鍵．設這個航空公司共有x個飛機場，根據(jù)等量關系，列出方程，即可求解．【詳解】解：設這航空公司共有x個飛機場，根據(jù)題意，得：答：航空公司共有5個飛機場．【答案】初中組共有支球隊參加比賽．答：初中組共有支球隊參加比賽．3．（2025·貴州貴陽·二模）象棋是一種源自中國的傳統(tǒng)棋類游戲，具有悠久的歷史和深厚的文化底蘊．九年級（1）班利用課余時間開展象棋比賽，班主任要求每個選手都與其他選手恰好比賽一局，信息如下：(1)若該班級共有n個參賽選手，則每個選手都要與_______個選手比賽一局，比賽總共有______局；(2)求這次比賽共有多少個選手參加？(2)45個【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，正確的列出方程，是解題的關鍵：（1）根據(jù)題意，列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)每局比賽必得2分，以及所獲總分，列出一元二次方程，進行求解即可．答：這次比賽共有45個選手參加．【經(jīng)典例題十二分式方程與一元二次方程結合】1．（2025·重慶·模擬預測）某紫砂壺專賣店購進漢瓦紫砂壺和西施紫砂壺兩種銷量款，每把漢瓦紫砂壺的進價比每把西施紫砂壺的進價少30元，專賣店用900元購進的漢瓦紫砂壺的數(shù)量比用900元購進的西施紫砂壺的數(shù)量多1個．(1)求每把漢瓦紫砂壺和每把西施紫砂壺的進價；(2)該店用4500元購進了一批漢瓦紫砂壺和西施紫砂壺，每把漢瓦紫砂壺的售價是200元，每把西施紫砂壺的售價是300元，售完這批紫砂壺，要想利潤至少為2400元，則漢瓦紫砂壺最多購進多少個？【答案】(1)每把漢瓦紫砂壺的進價為150元，則每把西施紫砂壺的進價為180元(2)漢瓦紫砂壺最多購進12個【分析】本題考查了分式方程的應用、解一元二次方程、一元一次不等式的應用，理解題意正確列出方程和不等式是解題的關鍵．答：每把漢瓦紫砂壺的進價為150元，則每把西施紫砂壺的進價為180元．（2）解：設購進漢瓦紫砂壺個，答：漢瓦紫砂壺最多購進12個．2．（2425八年級下·山東淄博·期末）列方程解決下列問題．材料一：2025年7月6日~8日，機器人足球世界杯中國賽（上海分賽場）暨張江智能機器人科創(chuàng)展示在“世界人工智能大會”張江分會場正式舉行．假設參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，賽程安排3天，每天安排145場比賽，求共有多少支隊伍參賽？【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，一元二次方程的實際應用．材料一：設共有支隊伍參賽，根據(jù)賽程安排3天，每天安排145場比賽，建立一元二次方程求解即可；【詳解】材料一：解：設共有支隊伍參賽，答：共有30支隊伍參賽．3．（2425八年級下·上海松江·期末）學校購買一批獎品．已知種獎品的單價比種獎品單價便宜9元，用128元購買種獎品的數(shù)量和用272元購買種獎品的數(shù)量總共是32個．(1)求、兩種獎品的單價各是多少元？(2)該校計劃購買、兩種獎品共80個，且種獎品的數(shù)量不大于種獎品數(shù)量的3倍，請你設計出最省錢的購買方案，并求出最低購買費用．【答案】(1)獎品的單價8元，則獎品的單價是17元(2)購買獎品80個，購買獎品20個，費用最小，最小費用為820元．【分析】本題考查了分式方程的應用，不等式的應用，一次函數(shù)的應用，解題的關鍵：答：獎品的單價8元，則獎品的單價是17元；∵種獎品的數(shù)量不大于種獎品數(shù)量的3倍，設總費用為w元，∴w隨a的增大而減小，即購買獎品80個，購買獎品20個，費用最小，最小費用為820元．【拓展訓練一“每每”型銷售問題】1．（2425八年級下·江蘇南通·階段練習）第九屆亞洲冬季運動會于2025年2月在中國舉辦，亞冬會吉祥物一經(jīng)開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價格購進某款亞冬會吉祥物，以每件68元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，2024年11月份的銷售量為256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的銷售量以相同的增長率增長，2025年1月份的銷售量為400件．從2025年1月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該款吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，設降價降了x元，請完成下列問題：(1)降價x元后的月銷售量為_________件；(用含x的式子表示)(2)試求2024年12月份和2025年1月份每月銷售量的增長率．(3)當該款吉祥物降價多少元時，月銷售利潤達8400元？(3)當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元．【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應用．（2）設每月銷售量的增長率為m，根據(jù)“11月份的銷售量為256件，2025年1月份的銷售量為400件”列方程解答即可；（2）解：設2024年12月份和2025年1月份每月銷售量的增長率為m，根據(jù)題意，得答：當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元．2．（2425八年級下·江蘇淮安·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務1和任務2：主題：奶茶銷售方案制定問題當下年輕人喜歡喝奶茶，在入夏之際某奶茶品牌店推出水果茶“滿杯”．素材1素材2問題解決任務1確定水果茶的銷售量月平均增長率該店“滿杯”5月份到7月份銷售量的月平均增長率是多少？任務2擬定降價幅度任務2：應該降價元【詳解】任務1：設該店“滿杯”月份到月份銷售量的月平均增長率是，答：應該降價元．3．（2425八年級下·江蘇泰州·期末）端午節(jié)來臨，某超市打算購進一批粽子進行銷售．若用80000元購進的豬肉粽和用60000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同，且豬肉粽每盒進價比豆沙粽每盒進價多10元．(1)求豬肉粽每盒的進價是多少元？(2)經(jīng)過市場調研，該超市發(fā)現(xiàn)，銷售豬肉粽時，當豬肉粽按原價每盒50元進行銷售，每天可售200盒；售價每漲1元，銷售量將減少10盒，同時上級部門要求，商品漲價幅度不能超過10%，若該商品當日盈利2160元，求豬肉粽當日每盒售價多少元？【答案】(1)豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元(2)52【分析】本題考查了分式方程，一元二次方程的應用，關鍵是根據(jù)題意列出每天銷售豬肉粽的利潤與豬肉粽每盒售價元的函數(shù)關系式．豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元．（2）設豬肉粽當日每盒漲價m元，依題意，得答：豬肉粽當日每盒售價52元．4．（2425九年級上·江蘇無錫·期末）某大型品牌書城購買了A、B兩種新出版書籍，商家用1600元購買A書籍，1200元購買B書籍，A、B兩種書籍的進價之和為40元，且購買A書籍的數(shù)量是B書籍的2倍．(1)求商家購買A書籍和B書籍的進價；(2)商家在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當A書籍的售價為每本25元，B書籍的售價為每本33元時，平均每天可賣出50本A書籍，25本B書籍．據(jù)統(tǒng)計，B書籍的售價每降低0.5元，平均每天可多賣出5本．商家在保證A書籍的售價和銷量不變且不考慮其他因素的情況下，為了促進B的銷量，想使A書籍和B書籍平均每天的總獲利為775元，則每本B書籍的售價為多少元？【答案】(1)商家購買書籍的進價為16元，購買書籍的進價為24元(2)29元【分析】本題考查了分式方程的應用、一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．答：商家購買書籍的進價為16元，購買書籍的進價為24元．∵要促進書籍的銷量，答：每本書籍的售價為29元．【拓展訓練二圖形問題綜合】1．（2425七年級上·江蘇連云港·期末）項目學習：探究正方體表面積．材料：用橡皮泥做一個棱長為4cm的正方體．【概念認知】（1）該正方體有__________個面，表面積為__________；【課題學習】（2）如圖（1），在頂面中心位置處從上到下打一個底面邊長為1cm的正方形的長方體通孔，打孔后的橡皮泥的表面積為__________；【深入探究】（3）如果在第（2）題打孔后，再在正面中心位置處（按圖（2）中的虛線）從前到后打一個底面邊長為1cm的正方形的長方體通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面積為__________；【分析】本題考查了立體圖形的識別和列代數(shù)式，解題關鍵是準確掌握正方體的相關知識，會求它的表面積；（1）根據(jù)正方體有6個面，求出每個面的面積再求表面積即可；（2）去掉長方體的兩個底面面積再加上四個側面的面積即可；（3）再（2）的基礎上，加上新增加的表面積即可；故答案為：6，96；故答案為：110；故答案為：116；2．（2425九年級上·江蘇鹽城·期中）操作與實踐【分析】本題主要考查一元二次方程的運用，解一元二次方程，圖形面積的計算方法，理解圖示面積，材料提示的計算方法，解一元二次方程的方法是解題的關鍵．（1）仿照法2，根據(jù)面積關系列方程求解即可；任務：【答案】(1)②(3)；【分析】本題考查構造圖形解一元二次方程，解題的關鍵是讀懂材料中提供的構圖方法，并能正確構圖解一元二次方程，運用了數(shù)形結合的思想．（1）仿照閱讀材料構造圖形，即可判斷出構圖方法；∴大正方形的邊長為，∴解法正確的構圖是②，故答案為：②；（2）首先構造了如圖2所示的圖形，∴大正方形的邊長為，∵個矩形的總面積為，∵中間圍成的正方形邊長為，故答案為：；．4．（2425八年級下·山東泰安·期末）根據(jù)以下素材，完成探索任務．探索果園土地規(guī)劃和銷售利潤問題素材1出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度x不超過12米，且不小于5米．素材2該農(nóng)戶發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷售前景比較不錯，經(jīng)市場調查，草莓培育一年可產(chǎn)果．若每平方米的草莓銷售平均利潤為100元，每月可銷售5000平方米的草莓；受天氣原因，農(nóng)戶為了快速將草莓出手，決定降價，若每平方米草莓平均利潤下調4元，每月可多銷售500平方米草莓，果園每月的承包費為2萬元．問題解決任務1解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響．（1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．任務2解決果園種植的預期利潤問題．（總利潤銷售利潤承包費）（3）若農(nóng)戶預期一個月的總利潤為55.2萬元，則從購買草莓客戶的角度考慮，每平方米草莓平均利潤應該降價多少元？【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）根據(jù)“道路寬度不超過12米，且不小于5米”，即可得出縱向道路寬度的取值范圍；路面設置的寬度符合要求；（3）設每平方米草莓平均利潤下調y元，又要讓利于顧客，答：每平方米草莓平均利潤下調48元．【拓展訓練三一元二次方程與動點問題相關】

(2)在運動過程中，是否存在這樣的時刻，使點D恰好落在以點Q為圓心，為半徑的圓上？若存在，求出運動時間；若不存在，請說明理由．【答案】(1)2秒或4秒【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用、矩形的性質，勾股定理以及割補法求三角形面積，本題關鍵在于設未知數(shù)，找出等量關系，列方程求解．(2)1(3)①2；②【分析】（）根據(jù)題意即可求解；故答案為：；故答案為：，．【點睛】本題考查了一元一次方程的幾何應用，矩形的判定和性質，平行線的性質，解一元二次方程，勾股定理，不等式組的應用，菱形的性質，掌握矩形和菱形的性質是解題的關鍵．(1)當為何值時，點和點距離是？(2)當為何值時，以點、、為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，勾股定理，矩形的性質；(2)兩動點運動秒(3)存在，當兩點運動時間為或時，點P與點Q之間的距離為，理由見解析【分析】（1）根據(jù)路程=速度×時間，即可表示、的長；（2）根據(jù)梯形的面積公式列方程，即可求解；此題是一道動態(tài)題，有一定的難度，涉及到一元二次方程和勾股定理有關知識，注意分類討論思想的運用．（3）解：存在，理由如下：設兩動點經(jīng)過t秒使得點P與點Q之間的距離為．綜上所述，當兩點運動時間為或時，點P與點Q之間的距離為．【拓展訓練四一元二次方程應用的規(guī)律探究問題】1．（2425七年級上·遼寧沈陽·期末）數(shù)學興趣小組的李舒和林涵兩位同學用棋子擺圖形探究規(guī)律．若兩人都按照各自的規(guī)律繼續(xù)擺下去，請回答下列問題：如圖1李舒擺成的圖形：如圖2林涵擺成的圖形：（1）填寫下表：圖形序號1234n李舒所用棋子數(shù)111621林涵所用棋子數(shù)149（2）是否存在某個圖形恰好含有76個棋子？若存在，請求出該圖形序號，若不存在，請說明理由；（3）哪位同學所擺的某個圖形含有棋子個數(shù)先超過120個？請說明理由．（4）兩位同學所擺圖形中，是否存在所需棋子數(shù)相同的圖形，若存在，請直接寫出該圖形序號，若不存在，請說明理由．【答案】（1）圖形序號1234n李舒所用棋子數(shù)11162126林涵所用棋子數(shù)14916；（2）李舒所擺圖形的第14圖形恰好含有76個棋子；林涵所擺的圖形中沒有恰好含有76個棋子的；（3）林涵同學所擺的第11個圖形含有棋子個數(shù)先超過120個；（4）兩位同學所擺圖形中，第6個圖形所需棋子數(shù)相同．【分析】（1）根據(jù)所給圖形和表格找到每個同學所擺圖形所需棋子個數(shù)的規(guī)律，并用代數(shù)式表示，即可填寫表格；（2）令（1）所總結的兩個代數(shù)式分別等于76，解出結果是整數(shù)的即為恰好含有76個棋子的圖形；（3）令（1）所總結的兩個代數(shù)式分別等于120，解出結果更小的，就說明那個同學所擺的圖形含有棋子個數(shù)先超過120個；（4）令（1）所總結的兩個代數(shù)式相等，即列出關于n的一元二次方程，解出n即可．【詳解】（1）根據(jù)李舒所用棋子數(shù)：…林涵所用棋子數(shù)：…第n圖形的棋子數(shù)為：．故可填表為：圖形序號1234n李舒所用棋子數(shù)11162126林涵所用棋子數(shù)14916∴李舒所擺圖形的第14圖形恰好含有76個棋子；∴林涵所擺的圖形中沒有恰好含有76個棋子的；∴李舒所擺圖形的第23圖形開始超過120個；∴林涵所擺圖形的第11圖形開始超過120個；故林涵同學所擺的第11個圖形含有棋子個數(shù)先超過120個；故：兩位同學所擺圖形中，第6個圖形所需棋子數(shù)相同．【點睛】本題考查圖形類規(guī)律探索，一元二次方程的實際應用．根據(jù)所給圖形和表格找到每個同學所擺圖形所需棋子個數(shù)的規(guī)律，并用代數(shù)式表示是解答本題的關鍵．2．（2025·廣東深圳·二模）【問題提出】如圖（1），每一個圖形中的小圓圈都按一定的規(guī)律排列，設每條邊上的小圓圈個數(shù)為a，每個圖形中小圓圈的總數(shù)為S．請觀察思考并完成以下表格的填寫：a12345…8…S136……【變式探究】請運用你在圖（1）中獲得的經(jīng)驗，結合圖（2）中小圓圈的排列規(guī)律，寫出第n個圖形的小圓圈總數(shù)S與n之間的關系式．【應用拓展】生物學家在研究時發(fā)現(xiàn)，某種細胞的分裂規(guī)律可用圖（3）的模型來描述，請寫出經(jīng)過n輪分裂后細胞總數(shù)W與n的關系式．并計算經(jīng)過若干輪分裂后，細胞總數(shù)能否達到1261個，若能，求出n的值；若不能，說明理由．【分析】問題提出：根據(jù)前4個圖形歸納類推出一般規(guī)律，再填表即可；將表格填寫如下：12345…8…1361015…36…假設經(jīng)過若干輪分裂后，細胞總數(shù)能達到1261個，所以假設成立，【點睛】本題考查了圖形的規(guī)律探索、一元二次方程的應用，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關鍵．3．（2425九年級上·全國·單元測試）如圖，中間用相同的白色正方形瓷磚，四周用相同的黑色長方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察圖形并解答下列問題．（1）問：依據(jù)規(guī)律在第6個圖中，黑色瓷磚多少塊，白色瓷磚有多少塊；（2）某新學校教室要裝修，每間教室面積為68m2

，準備定制邊長為0.5米的正方形白色瓷磚和長為0.5米、寬為0.25米的長方形黑色瓷磚來鋪地面．按照此圖案方式進行裝修，瓷磚無須切割，恰好完成鋪設．已知白色瓷磚每塊20元，黑色瓷磚每塊10元，請問每間教室瓷磚共需要多少元？【答案】（1）28，42（2）每間教室瓷磚共需要5440元【分析】（1）通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出黑色瓷磚的塊數(shù)可用含n的代數(shù)式表示為4（n+1），白瓷磚的塊數(shù)可用含n的代數(shù)式表示為n（n+1），然后將n=6代入計算即可；（2）設白色瓷磚的行數(shù)為n，根據(jù)每間教室面積為68m2為等量關系列出方程，進而求解即可．【詳解】（1）通過觀察圖形可知，當n=1時，黑色瓷磚有8塊，白瓷磚2塊；當n=2時，黑色瓷磚有12塊，白瓷磚6塊；當n=3時，黑色瓷磚有16塊，用白瓷磚12塊；則在第n個圖形中，黑色瓷磚的塊數(shù)可用含n的代數(shù)式表示為4（n+1），白瓷磚的塊數(shù)可用含n的代數(shù)式表示為n（n+1），當n=6時，黑色瓷磚的塊數(shù)有4×（6+1）=28塊，白色瓷磚有6×（6+1）=42塊；故答案為28，42；（2）設白色瓷磚的行數(shù)為n，根據(jù)題意，得：0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68，解得n1=15，n2=﹣18（不合題意，舍去），白色瓷磚塊數(shù)為n（n+1）=240，黑色瓷磚塊數(shù)為4（n+1）=64，所以每間教室瓷磚共需要：20×240+10×64=5440元．答：每間教室瓷磚共需要5440元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，解答此題的關鍵是通過觀察和分析，找出其中的規(guī)律．4．（2014·四川涼山·中考真題）實驗與探究：三角點陣前n行的點數(shù)計算如圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點陣中前4行的點數(shù)約和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點數(shù)的和嗎？如果要用試驗的方法，由上而下地逐行的相加其點數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的點數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點陣中前n行的點數(shù)的和與n的數(shù)量關系前n行的點數(shù)的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以發(fā)現(xiàn)．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把兩個中括號中的第一項相加，第二項相加…第n項相加，上式等號的后邊變形為這n個小括號都等于n+1，整個式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）這就是說，三角點陣中前n項的點數(shù)的和是n（n+1）下列用一元二次方程解決上述問題設三角點陣中前n行的點數(shù)的和為300，則有n（n+1）整理這個方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根據(jù)問題中未知數(shù)的意義確定n=24，即三角點陣中前24行的點數(shù)的和是300．請你根據(jù)上述材料回答下列問題：（1）三角點陣中前n行的點數(shù)的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．（2）如果把圖中的三角點陣中各行的點數(shù)依次換成2、4、6、…、2n、…，你能探究處前n行的點數(shù)的和滿足什么規(guī)律嗎？這個三角點陣中前n行的點數(shù)的和能使600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．【答案】（1）600；（2）24．【詳解】試題分析：（1）由題意，列出方程n（n+1）=600，解方程得到n的值即可．（2）根據(jù)2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）=n（n+1），根據(jù)規(guī)律可得n（n+1）=600，求n的值即可．試題解析：解：（1）由題意可得：n（n+1）=600，整理得n2+n﹣1200=0，此方程無正整數(shù)解，∴三角點陣中前n行的點數(shù)的和不可能是600．（2）由題意可得：2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）=n（n+1），依題意，得n（n+1）=600，整理得n2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0，∴n1=﹣25，n2=24．∵n為正整數(shù)，∴n=24．∴n的值是24．考點：1．探索規(guī)律題（圖形的變化類）；2．閱讀理解型問題；3．一元二次方程的應用．【答案】B根據(jù)題意，兩年后的成本為3600元，故選B2．（2425九年級上·四川綿陽·期中）《九章算術》中記載著：今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？簡譯為：今有一扇門，不知門的高和寬．另有一竹竿，也不知竹竿的長短．竹竿橫著放時比門的寬長4尺，竹竿豎著放時比門的高長2尺，竹竿斜著放時與門的對角線恰好相等，求門的高、寬和對角線的長各是多少?若設門的對角線長為尺，則可列方程為（

）【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解題意、找準相等關系是解題的關鍵；設門的對角線長為尺，根據(jù)：竹竿橫著放時比門的寬長4尺，竹竿豎著放時比門的高長2尺，竹竿斜著放時與門的對角線恰好相等，結合勾股定理即可列出方程，得到答案．故選：D．【答案】D故選：D．4．（2425九年級上·江蘇徐州·期中）一枚圓形古錢幣的中間是一個邊長為1cm的正方形孔，圓面積是正方形面積的9倍．設圓的半徑為xcm，可得方程（

）【答案】D【分析】本題考查了圓的面積、一元二次方程，學會利用圓和正方形的面積公式找到等量關系列出方程是解題的關鍵．由題意得，圓面積是正方形面積的9倍，即可列出方程．故選：D．【答案】D∵平移，故選D．6．（2025·江蘇蘇州·一模）某商品進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，單價每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．商家銷售這種商品若想要平均每天獲利2240元，且銷售量盡可能大，則每千克這種商品應定價為元．【答案】【詳解】解：設定價為x元.根據(jù)題意可得，∵銷售量盡可能大故答案為：7．（2425七年級上·江蘇鹽城·期中）某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是31，設這種植物每個支干長出x個小分支，則根據(jù)題意可得方程．【分析】本題考查了列方程解決實際問題，準確理解題意是解題的關鍵．設這種植物每個支干長出x個小分支，根據(jù)每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是31，列方程即可．【答案】40【分析】本題考查了完全平方公式化簡計算，一元二次方程的幾何應用，正確建立方程是解題的關鍵．故答案為：40．9．（2425八年級下·山東泰安·期末）“雙減”政策倡導學生合理使用電子產(chǎn)品，控制使用時長，防止網(wǎng)絡沉迷．某品牌學習機商店，為了提高學習機的銷量，減少庫存，決定對該品牌學習機進行降價銷售，經(jīng)市場調查，當學習機的售價為每臺1800元時，每天可售出4臺，在此基礎上，售價每降低50元，每天將多售出1臺，已知每臺學習機的進價為1000元．如果該品牌學習機商店擬獲利4200元，該商店需要將每臺學習機售價定為多少元？【答案】該商店需要將每臺學習機售價定為1300元【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，設每臺學習機售價為x元，利用商店每天銷售該品牌學習機獲得的利潤等于每臺的銷售利潤乘以日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論．∵減少庫存，答：該商店需要將每臺學習機售價定為1300元．10．（2025·江蘇徐州·一模）如圖①，一張長方形紙板的長為24，寬為12，將其剪掉四角并折疊成如圖②的有蓋長方體盒子，若該長方體盒子的底面積為32，求該長方體盒子的高．【答案】4【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】答：該長方體盒子的高為4．11．（2025·福建三明·一模）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續(xù)增加，在售價不變的基礎上，3月的銷售量達到576個，設2，3兩個月的銷售量月平均增長率不變.(1)求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；(2)從4月起，在3月銷售量的基礎上，商場決定降價促銷.經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，售價在35元至40元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價每降價元，其銷售量增加6個.這種臺燈售價定為多少時，商場4月銷售這種臺燈獲利4800元？【答案】(1)2，3兩個月的銷售量月平均增長率為(2)該種臺燈售價定為38元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元【分析】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設2，3兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為，利用三月份的銷售量一月份的銷售量月均增長率，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；【詳解】（1）解：設2，3兩個月的銷售量月平均增長率為，答：2，3兩個月的銷售量月平均