1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)主要學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示。通過類比平面向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，從而引入空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間，在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量的幾何形式和運(yùn)算，以及在空間向量基本定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其規(guī)律，是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在空間推廣和拓展，為運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題奠定了知識(shí)和方法基礎(chǔ)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.在理解空間向量基本定理的基礎(chǔ)上掌握空間向量正交分解的原理及坐標(biāo)表示.2.能正確地運(yùn)用空間向量的坐標(biāo),進(jìn)行向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算.3.初步學(xué)會(huì)用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的簡單幾何問題.1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量的坐標(biāo)表示2.邏輯推理：運(yùn)用空間向量坐標(biāo)解決平行與垂直問題3.直觀想象：用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的簡單幾何問題4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：向量坐標(biāo)下的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握空間向量坐標(biāo)表示并能進(jìn)行向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算.2.教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的簡單幾何問題多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境導(dǎo)學(xué)我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點(diǎn)是排除了數(shù)量關(guān)系,對(duì)于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法…….”吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標(biāo)系的引入,使得幾何問題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標(biāo)及其運(yùn)算.在平面向量中，我們借助平面向量基本定理以及兩個(gè)互相垂直的單位向量，引進(jìn)了平面向量的坐標(biāo)，空間向量是否可以引進(jìn)類似的坐標(biāo)，這就是本小節(jié)我們要研究的內(nèi)容。二、探究新知問題1：如圖所示，已知OA=e1,OB

=e2,OC=e3,且OADBCEGF是棱長為1的正方體,（1）設(shè)OG=a

，OC1=b，將向量a與b都用e1,e（2）如果p是空間中任意一個(gè)向量，怎樣才能寫出p在基底e1答案：（1）a=e1+（2）若p=xe11.空間中向量的坐標(biāo)一般地,如果空間向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是單位向量,而且這三個(gè)向量兩兩垂直,就稱這組基底為單位正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,則稱有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)為向量p的坐標(biāo),記作p=(x,y,z),其中x,y,z都稱為p的坐標(biāo)分量.1.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,則向量p在基底{i,j,k}下的坐標(biāo)是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)解析:由題意知p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,故向量p在基底{i,j,k}下的坐標(biāo)為(12,14,10).答案:A2.空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系空間向量a,b,其坐標(biāo)形式為a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a+ba+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)減法abab=(x1x2,y1y2,z1z2)數(shù)乘λaλa=(λx1,λy1,λz1)數(shù)量積a·ba·b=x1x2+y1y2+z1z2特別地,(1)如果μ,v是兩個(gè)實(shí)數(shù),那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2).(2)|a|=a·(3)cos<a,b>=a·b|a||b|=x12.已知向量a=(3,2,1),b=(2,4,0),則4a+2b等于()A.(16,0,4)B.(8,16,4)C.(8,16,4)D.(8,0,4)解析:cos<a,b>=a·b|a||3.向量a=(2,3,3),b=(1,0,0),則cos<a,b>=.

解析:4a+2b=4(3,2,1)+2(2,4,0)=(12,8,4)+(4,8,0)=(8,0,4).答案:D3.空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則有a∥b?x2x1=y2y1a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.名師點(diǎn)析若不明確x1y1z1≠0,則可以用以下結(jié)論進(jìn)行求解,即a∥b(a≠0)?b=λa?(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)?x4.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,則()A.x=6,y=15B.x=3,y=15C.x=3,y=15 D.x=6,y=15解析:因?yàn)閍∥b,則23=答案:D問題2：由空間向量坐標(biāo)的定義可以看出，當(dāng)單位正交基底的始點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)O，而且空間向量的始點(diǎn)也是O時(shí)，空間向量的坐標(biāo)實(shí)際上是由它的終點(diǎn)位置確定的。（1）如圖所示，怎樣才能刻畫地球的衛(wèi)星在空間中的位置？（2）我們知道，在直線上建立數(shù)軸后，就可以用一個(gè)數(shù)來刻畫點(diǎn)在直線上的位置，在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系之后，就可以用一對(duì)有序時(shí)數(shù)來刻畫點(diǎn)在平面內(nèi)的位置，那么怎樣才能刻畫空間中點(diǎn)的位置呢？4.空間直角坐標(biāo)系為了確定空間點(diǎn)的位置,在平面直角坐標(biāo)系xOy的基礎(chǔ)上,通過原點(diǎn)O,再作一條數(shù)軸z,使它與x軸,y軸都垂直,這樣它們中的任意兩條都互相垂直.軸的方向通常這樣選擇:從z軸的正方向看,x軸的正半軸沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合,這樣就在空間建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).每兩條坐標(biāo)軸分別確定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐標(biāo)平面,三個(gè)坐標(biāo)平面把不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成八個(gè)卦限,如圖所示.點(diǎn)睛(1)空間中的點(diǎn)與三個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組之間,有了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,空間一點(diǎn)M的位置完全由有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)確定,因此將(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo),記作M(x,y,z).此時(shí),x,y,z都稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)分量,且x稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)(或x坐標(biāo)),y稱為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)(或y坐標(biāo)),z稱為點(diǎn)M的豎坐標(biāo)(或z坐標(biāo)).(2)八個(gè)卦限中的點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)也有一定的特點(diǎn):Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(,+,+);Ⅲ:(,,+);Ⅳ:(+,,+);Ⅴ:(+,+,);Ⅵ:(,+,);Ⅶ:(,,);Ⅷ:(+,,).(3)在空間中建立了空間直角坐標(biāo)系之后,向量OP的坐標(biāo)與P點(diǎn)的坐標(biāo)相同,即OP=xe1+ye2+ze3=(x,y,z)?P(x,y,z).5.(1)點(diǎn)P(1,2,1)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(1,2,1)B.(1,2,1)C.(1,2,1) D.(1,2,1)(2)如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,取D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,O,M分別是AC,DD1的中點(diǎn),寫出下列向量的坐標(biāo):AM=,OB1解析:DA=DC=DD1=2,且DA,DC,DD1兩兩互相垂直,設(shè)12DA=e1=(1,0,0),12DC=e2=(0,1,0),12D∵AM=AD+DM=DA+12DD1=2e1∵OB1=OB+BB1=12DB+∴OB1=答案:(1)A(2)(2,0,1)(1,1,2)5.空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn),則OA=(x1,y1,z1),OB=(x2,y2,z2),所以AB=OB-OA=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)=(x2x1,y2y1,zAB=|AB|=(x設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x,y,z),則OM=(x,y,z),OM=12(OA+OB)=12(x1+x2,y1=x1+x22,y1+6.已知點(diǎn)A(3,1,5)與點(diǎn)B(4,3,1),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是()A.72,1,-2答案:B例1(1)已知向量a=(4,2,4),b=(6,3,2),則(2a+3b)·(a2b)=________.(2)已知a+b=(2,2,23),ab=(0,2,0),則cos<a,b>等于()A.13 B.16 C.63解析:(1)(2a+3b)·(a2b)=2a2+3a·b4a·b6b2=2×62226×72=244.(2)由已知得a=(1,2,3),b=(1,0,3),故cos<a,b>=答案:(1)244(2)C對(duì)于空間向量坐標(biāo)的計(jì)算有以下兩種途徑:(1)直接計(jì)算問題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來,然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.本探究中例題就是用給出的向量坐標(biāo)直接套用數(shù)量積相關(guān)公式求解.對(duì)于(1)問中運(yùn)算方法還可以先求出2a+3b與a2b的坐標(biāo)再計(jì)算.(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量按坐標(biāo)形式設(shè)出來,然后通過建立方程組,解方程(組)求出其坐標(biāo).變式中的求參問題便屬于這一類型題目.跟蹤訓(xùn)練1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且滿足條件(ca)·(2b)=2,則x=.

解析:據(jù)題意,有ca=(0,0,1x),2b=(2,4,2),故(ca)·2b=2(1x)=2,解得x=2.答案:2例2已知空間三點(diǎn)A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),設(shè)a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b與ka2b互相垂直,求k.解:(1)因?yàn)锽C=(2,1,2),且c∥BC,所以設(shè)c=λBC=(2λ,λ,2λ),得|c|=(-2λ)2解得λ=±1.即c=(2,1,2)或c=(2,1,2).(2)因?yàn)閍=AB=(1,1,0),b=AC=(1,0,2),所以ka+b=(k1,k,2),ka2b=(k+2,k,4).又因?yàn)?ka+b)⊥(ka2b),所以(ka+b)·(ka2b)=0,即(k1,k,2)·(k+2,k,4)=2k2+k10=0.解得k=2或k=52變式：若將本例改為“若kab與ka+2b互相垂直”,求k的值.解:由題意知kab=(k+1,k,2),ka+2b=(k2,k,4),∵(kab)⊥(ka+2b),∴(kab)·(ka+2b)=0,即(k+1)(k2)+k28=0,解得k=2或k=52,故所求k的值為2或5判斷空間向量垂直或平行的步驟.(1)向量化:將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行.(2)對(duì)于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)兩向量坐標(biāo)間的關(guān)系判斷兩向量是否垂直;根據(jù)x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或x1x2=y1y2=z12.求出參數(shù)值后還要再回歸到原題檢驗(yàn)解的可行性,解決平行或垂直時(shí)用的坐標(biāo),含參數(shù)的還要注意分類討論思想的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練2正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱D1D的中點(diǎn),P,Q分別為線段B1D1,BD上的點(diǎn),且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD解:如圖所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體棱長為1,則A(1,0,0),E0,0,12,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由題意,可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a,1),因?yàn)?B1P=PD1,所以3(a1,a1,0)所以3a3=a,解得a=34,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為34,3由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b,b,0),因?yàn)镻Q⊥AE,所以PQ·AE=0,所以b34,b34,1·1,0,12=即b3412=0,解得b=14,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為14,1因?yàn)锽D=λDQ,所以(1,1,0)=λ14,14,0,所以λ4=1,故例3棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分別是DD1,BD,BB1的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥CF;(2)求cos<EF,CG>;(3)求CE(1)證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),E0,0,12,C(0,1,0),F12,12,0,G1,1,12.所以EF=12,12,12,CF=12,12,0,CG=1,0,12,CE=0,1,12因?yàn)镋F·CF=12×12+12×12+1(2)解:因?yàn)镋F·CG=12×1+12×0+|EF|=(12)

2+(所以cos<EF,CG>=(3)解:|CE|=|CE|=02通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,以便寫點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)便捷.對(duì)于正方體載體常用的建系方法一般如例題中所述.建立坐標(biāo)系后,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示,把向量坐標(biāo)化,然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和距離問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N為A1A的中點(diǎn).(1)求BN的長;(2)建立直角坐標(biāo)系,求cos<A1解:如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),∴|BN|=(1∴線段BN的長為3.(2)依題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),∴A1B=(1,1,2),B1C∴A1B·B1C=(1)×0+1×(1)+又|A1B|=6,|B1∴cos<A1B,創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法，實(shí)現(xiàn)將空間幾何問題代數(shù)化的基本思想，提升數(shù)形結(jié)合思想。由知識(shí)回顧，提出問題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系，類比平面向量及其坐標(biāo)運(yùn)算，從而學(xué)習(xí)空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算。通過對(duì)空間向量坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)化的基本原理和方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.已知M(5,1,2),A(4,2,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OM=AB,則點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為(A.(1,3,3)B.(9,1,1)C.(1,3,3)D.(9,1,1)解析:OM=AB=OB-OA,OB=答案:B2.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(2,1,4)關(guān)于點(diǎn)M(2,1,4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(0,0,0) B.(2,1,4)C.(6,3,12) D.(2,3,12)解析:設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3,則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn),設(shè)P3(x,y,z),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得x=2×2(2)=6,y=2×(1)1=3,z=2×(4)4=12,所以P3(6,3,12).答案:C3.(多選)已知a=(2,3,1),則下列向量中不與a平行的是()A.(1,1,1) B.(4,6,2)C.(2,3,5)D.(2,3,5)解析:若a∥b,b≠0,必有b=λa.則b=(4,6,2)時(shí),b=2(2,3,1)=2a,所以a∥b.經(jīng)檢驗(yàn),其他向量均與a不平行.答案:ACD4.已知向量a=(1,1,0),b=(1