專題11二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)01二次函數(shù)的圖象1．（2025·河南·中考真題）在二次函數(shù)中，與的幾組對(duì)應(yīng)值如下表所示．…01……1…(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象．(3)將二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，當(dāng)時(shí)，若圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，請(qǐng)直接寫出的值．2．（2023·廣東·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在軸上，則的值為（

）

A． B． C． D．3．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若直線與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或4．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2023·安徽·中考真題）已知反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（

）

A．

B．C．

D．

考點(diǎn)02二次函數(shù)的圖象與系數(shù)1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，且．下列結(jié)論：①；②；③；④若和是關(guān)于的一元二次方程的兩根，且，則，；⑤關(guān)于的不等式的解集為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2025·安徽·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．3．（2025·四川涼山·中考真題）二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，其對(duì)稱軸為，且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．若且，則D．若兩點(diǎn)都在拋物線的圖像上，則4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論中：①

②（m為任意實(shí)數(shù)）

③④若、是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．46．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①②③對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立④若點(diǎn)，在拋物線上，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)03二次函數(shù)的圖象平移1．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）將函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位后，得到的新函數(shù)的解析式為．2．（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)（a是常數(shù)），下列結(jié)論：①將這個(gè)函數(shù)的圖像向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方；③若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個(gè)函數(shù)的最小值不大于3．其中正確的是（填寫序號(hào)）．4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．5．（2023·西藏·中考真題）將拋物線通過(guò)平移后，得到拋物線的解析式為，則平移的方向和距離是（

）A．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度6．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．（2023·上海·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)求b，c的值；(3)平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過(guò)點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．考點(diǎn)04二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、單調(diào)性問題1．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．3．（2023·四川甘孜·中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)的說(shuō)法正確的是(

)A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與軸沒有交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，隨增大而增大 D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是4．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)，在拋物線上，且，則．（填“<”或“>”或“=”）5．（2023·安徽·中考真題）下列函數(shù)中，的值隨值的增大而減小的是（

）A． B． C． D．6．（2025·陜西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別位于軸兩側(cè)，則下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．圖象的開口向下 B．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大C．函數(shù)的最小值小于 D．當(dāng)時(shí)，7．（2025·福建·中考真題）已知點(diǎn)在拋物線上，若，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．8．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（

）A． B． C． D．9．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是310．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知和是拋物線上的兩點(diǎn).若對(duì)于，，都有，求的取值范圍.11．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)軸時(shí)，．

考點(diǎn)05二次函數(shù)的最值1．（2024·青海西寧·中考真題）【感知特例】（1）如圖1，點(diǎn)A，在直線上，，，垂足分別為A，，點(diǎn)在線段上，且，垂足為．結(jié)論：（請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整）證明：，，，，，，，（同角的余角相等），（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）．（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）即【建構(gòu)模型】（2）如圖2，點(diǎn)A，在直線上，點(diǎn)在線段上，且．結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解決問題】（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，始終滿足．設(shè)長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，有最大值是．2．（2024·四川攀枝花·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的表達(dá)式為．(1)若，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求此時(shí)函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)自變量x的值滿足時(shí)，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且總有，求m的取值范圍．3．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川眉山·中考真題）定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2024·山東威海·中考真題）已知拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚憽⒒颍孩賍_______；②________；③________．(2)若，，求b的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，最大值與最小值的差為，求b的值．6．（2023·浙江紹興·中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，設(shè)，當(dāng)且時(shí)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但沒有最大值C．m有最大值，但沒有最小值 D．m沒有最小值，也沒有最大值7．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸在軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值8．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．0 D．2考點(diǎn)06二次函數(shù)與方程1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在拋物線上，則的長(zhǎng)為．

2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．3．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，其中，且．以下結(jié)論：①；②；③是鈍角三角形；④若方程的兩根為、，則，．其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若直線與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或5．（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)P、Q，則．6．（2024·寧夏·中考真題）若二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是．7．（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程有兩實(shí)根，，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）①；②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；③；④若，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2025·黑龍江綏化·中考真題）如圖，二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，其中．則下列結(jié)論：①；②方程沒有實(shí)數(shù)根；③；④．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2023·四川成都·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．拋物線的對(duì)稱軸為直線 B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．，兩點(diǎn)之間的距離為 D．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大考點(diǎn)07二次函數(shù)與不等式1．（2023·浙江衢州·中考真題）已知二次函數(shù)（a是常數(shù)，）的圖象上有和兩點(diǎn)．若點(diǎn)，都在直線的上方，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2025·四川德陽(yáng)·中考真題）已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）過(guò)點(diǎn)，且，該拋物線與直線（k，c是常數(shù)，）相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．下列說(shuō)法：①；②；③點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則；④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，其中，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④不等式的解集為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．5．（2023·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

專題11二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)01二次函數(shù)的圖象1．（2025·河南·中考真題）在二次函數(shù)中，與的幾組對(duì)應(yīng)值如下表所示．…01……1…(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象．(3)將二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，當(dāng)時(shí)，若圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)(2)；見解析(3)或【分析】本題主要查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）利用配方法把解析式變形為頂點(diǎn)式，即可求解；（3）分兩種情況解答，即可求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）解：，∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，畫出函數(shù)圖象，如圖，（3）解：根據(jù)題意得：平移后的拋物線解析式為，∴平移后的拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)平移后拋物線的對(duì)稱軸在直線左側(cè)時(shí)，此時(shí)最小值為，，即，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，∵圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，∴，解得：或（舍去）；當(dāng)平移后拋物線對(duì)稱軸在直線右側(cè)時(shí)，此時(shí)最小值為，，即，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，∵圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，∴，解得：或（舍去），綜上所述，n的值為或．2．（2023·廣東·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在軸上，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，然后可得點(diǎn)，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】解：連接，交y軸于點(diǎn)D，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，則，即，∵四邊形是正方形，∴，，∴點(diǎn)，∴，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若直線與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)交點(diǎn)問題，熟練掌握函數(shù)圖象的繪制和直線平移時(shí)與函數(shù)圖象交點(diǎn)情況的分析是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求出時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合直線的平移，分析直線與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．畫出函數(shù)圖象：當(dāng)時(shí)，，這是一個(gè)開口向上，頂點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，的拋物線一部分．當(dāng)時(shí)，，是一條為，過(guò)的射線．根據(jù)對(duì)稱性畫出時(shí)的函數(shù)圖象．聯(lián)立（時(shí)），得，當(dāng)，即時(shí)，直線與（）相切．當(dāng)直線過(guò)時(shí)，．結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)．故選：A．4．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可得，，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)即可得．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，即，∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴，即，∴函數(shù)的開口向下，與軸的交點(diǎn)位于軸的正半軸，對(duì)稱軸為直線，故選：D．5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】根據(jù)拋物線，可以寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以得到頂點(diǎn)在第幾象限．解：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)在第二象限．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽·中考真題）已知反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】設(shè)，則，，將點(diǎn)，代入，得出，代入二次函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，，則，得出對(duì)稱軸為直線，拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，且過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，

設(shè)，則，根據(jù)圖象可得，將點(diǎn)代入，∴，∴，∵，∴，∴，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸在的右側(cè)，且過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)02二次函數(shù)的圖象與系數(shù)1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，且．下列結(jié)論：①；②；③；④若和是關(guān)于的一元二次方程的兩根，且，則，；⑤關(guān)于的不等式的解集為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口，對(duì)稱軸，以及與軸的交點(diǎn)，確定的符號(hào)，即可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)的圖象過(guò)，得出，進(jìn)而判斷對(duì)稱軸，得出，進(jìn)而判斷②和③，根據(jù)函數(shù)圖象判斷④，將一般式寫成交點(diǎn)式得出，化簡(jiǎn)不等式為，求得解集，即可求解．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，∴，∴，∵拋物線與軸交于負(fù)半軸，∴，∴，故①正確，∵二次函數(shù)的圖象過(guò)，∴，∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，且．∴對(duì)稱軸，即，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，故③錯(cuò)誤；④如圖，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，即函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵，∴若和是關(guān)于的一元二次方程的兩根，且，則，；故④正確；⑤∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，，∴，∴，，∴，，∴可化為，即，∵，∴，解得：或，∴關(guān)于的不等式的解集為或不是故⑤錯(cuò)誤故正確的有①②④，共3個(gè)，故選：B2．（2025·安徽·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸位置、與軸交點(diǎn)及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)．本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)中（開口方向）、（對(duì)稱軸與共同決定）、（與軸交點(diǎn)）的意義及特殊點(diǎn)函數(shù)值的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)圖象中，開口向上，．對(duì)稱軸，又，，即．拋物線與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，．選項(xiàng)A：，，，兩負(fù)一正相乘得正，，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：對(duì)稱軸，由圖象知對(duì)稱軸，即，又，兩邊乘得，，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，，該選項(xiàng)正確．選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，由圖象知對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選．3．（2025·四川涼山·中考真題）二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，其對(duì)稱軸為，且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．若且，則D．若兩點(diǎn)都在拋物線的圖像上，則【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)圖像判斷系數(shù)之間的關(guān)系，從圖像獲取信息，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，增減性，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖像可知，拋物線的開口向下，與軸交于正半軸，∴，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，，故選項(xiàng)A，B正確，不符合題意；∵且，∴，∴和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴；故選項(xiàng)C正確；不符合題意；∵拋物線的開口向下，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，若兩點(diǎn)都在拋物線的圖像上，∵，∴；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；故選D．4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論中：①

②（m為任意實(shí)數(shù)）

③④若、是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對(duì)稱軸可得，即可判斷①，時(shí)，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時(shí)，，即可判斷③，根據(jù)對(duì)稱性可得即可判段④，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下∴∵對(duì)稱軸為直線，∴∴∵拋物線與軸交于正半軸，則∴，故①錯(cuò)誤，∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線,∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為∴（m為任意實(shí)數(shù)）即，故②正確；∵時(shí)，即∵∴即∴，故③正確；∵、是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，∴關(guān)于對(duì)稱，∴即故④不正確正確的有②③故選：B5．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4【答案】C【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對(duì)稱軸的位置即可判斷①，利用對(duì)稱軸和特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進(jìn)一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，；對(duì)稱軸在軸右側(cè)，、異號(hào)，，∵拋物線與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，，，故①錯(cuò)誤；②二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，，，時(shí)，，，，，故②正確；③對(duì)稱軸為直線，，最小值，，∴，故③正確；④，∴根據(jù)拋物線與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，，，，，故④正確；綜上所述，正確的有②③④，故選：C6．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①②③對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立④若點(diǎn)，在拋物線上，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號(hào)，由圖象可得：拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，即可得出，，，從而求出，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，計(jì)算即可判斷②；根據(jù)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，即可判斷③；根據(jù)即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，∴，，，∴，∴，故①正確；∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，由得：，∵，∴，∴，即，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，由圖象可得，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立，故③正確；∵點(diǎn)，在拋物線上，且，∴，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①③，共個(gè)，故選：B．7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：∵開口向上，與軸的交點(diǎn)位于軸上方，∴，，∵拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∵拋物線的頂點(diǎn)為，∴，觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．考點(diǎn)03二次函數(shù)的圖象平移1．（2025·上海·中考真題）將函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位后，得到的新函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，平移法則是：左加右減，上加下減；據(jù)此法則即可求解．【詳解】解：∵函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位，∴平移后的新函數(shù)的解析式為；故答案為：．2．（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據(jù)平移規(guī)律，上加下減，左加右減，可得頂點(diǎn)式解析式．【詳解】解∶拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線為，∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選∶D．3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)（a是常數(shù)），下列結(jié)論：①將這個(gè)函數(shù)的圖像向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的上方；③若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個(gè)函數(shù)的最小值不大于3．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【答案】①②④【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的規(guī)律頂點(diǎn)平移后的函數(shù)解析式即可判斷①；確定拋物線與直線沒有交點(diǎn)，且開口向上即可判斷②；利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷③；求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷④．【詳解】解：將二次函數(shù)是常數(shù)）的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，當(dāng)時(shí)，，平移后的函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故①正確；當(dāng)時(shí)，則，令，即，，拋物線與直線沒有交點(diǎn)，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的上方；故②正確；二次函數(shù)是常數(shù)），開口向上，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量增大而增大，故③錯(cuò)誤；，頂點(diǎn)為，，故④正確．故答案為：①②④．4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．【答案】2【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到，再整體代入變形后代數(shù)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，把點(diǎn)代入得到，，得到，∴，故答案為：25．（2023·西藏·中考真題）將拋物線通過(guò)平移后，得到拋物線的解析式為，則平移的方向和距離是（

）A．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【分析】先確定兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)平移的規(guī)律確定拋物線平移的情況．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，而點(diǎn)向左平移2個(gè)，再向下平移3個(gè)單位可得到，所以拋物線向左平移2個(gè)，再向下平移3個(gè)單位得到拋物線y=x2+2x+3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式；二是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式．6．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)，由，解得，進(jìn)而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，進(jìn)而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設(shè)，∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當(dāng)m=時(shí)，，∴，∵，∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對(duì)稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時(shí)原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設(shè)平移后的拋物線為，則頂點(diǎn)為，∵頂點(diǎn)為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點(diǎn)為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，∴，∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡(jiǎn)得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當(dāng)p=3時(shí)，，當(dāng)p=時(shí)，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)求b，c的值；(3)平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過(guò)點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．【答案】(1)，(2)，(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，分別將，代入直線即可求得；（2）設(shè)，得到拋物線的頂點(diǎn)式為，將代入可求得，進(jìn)而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；（3）根據(jù)題意，設(shè)，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)，點(diǎn)向下平移的距離相同，即列式求得，，然后得到拋物線N解析式為：，將代入可得，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，當(dāng)時(shí)，代入得：，故，當(dāng)時(shí)，代入得：，故，（2）設(shè)，則可設(shè)拋物線的解析式為：，∵拋物線M經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，將代入得：，∵，∴，即，∴將代入，整理得：，故，；（3）如圖：∵軸，點(diǎn)P在x軸上，∴設(shè)，，∵點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，∴點(diǎn)，點(diǎn)向下平移的距離相同，∴，解得：，由（2）知，∴，∴拋物線N的函數(shù)解析式為：，將代入可得：，∴拋物線N的函數(shù)解析式為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線的解析式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的平移性質(zhì)求出m和a的值．考點(diǎn)04二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、單調(diào)性問題1．（2025·山東威海·中考真題）已知點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)解析式可得開口向下，對(duì)稱軸為直線，則離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大，據(jù)此求出三個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為，∴離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大，點(diǎn)的橫坐標(biāo)與的距離為；點(diǎn)的橫坐標(biāo)與的距離為；點(diǎn)的橫坐標(biāo)與的距離為．∵，∴，故選C．2．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．【詳解】解∶二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，且，∴，故選∶A．3．（2023·四川甘孜·中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)的說(shuō)法正確的是(

)A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與軸沒有交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，隨增大而增大 D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】D【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此解答即可．【詳解】解：A、，圖象的開口向上，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，，即圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．4．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)，在拋物線上，且，則．（填“<”或“>”或“=”）【答案】【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：的對(duì)稱軸為y軸，∵，∴開口向上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物表達(dá)式得出函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸，從而分析函數(shù)的增減性．5．（2023·安徽·中考真題）下列函數(shù)中，的值隨值的增大而減小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，，的值隨值的增大而增大，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.，，的值隨值的增大而減小，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2025·陜西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別位于軸兩側(cè)，則下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．圖象的開口向下 B．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大C．函數(shù)的最小值小于 D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且位于y軸兩側(cè)，說(shuō)明對(duì)應(yīng)方程的兩根異號(hào)，即常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相反，結(jié)合開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)及特定點(diǎn)函數(shù)值分析選項(xiàng)即可.【詳解】解：由題意可得：方程的兩根異號(hào)，∴，解得，∴二次項(xiàng)系數(shù)，開口向上，故A不符合題意；∵的對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，故B不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，∴最小值為，故C不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∵，∴此時(shí)，故D符合題意；故選：D7．（2025·福建·中考真題）已知點(diǎn)在拋物線上，若，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵，先求出對(duì)稱軸的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴拋物線過(guò)點(diǎn)，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，∴，∵，，∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，小于到對(duì)稱軸的距離，∴；故選：A．8．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點(diǎn)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移2個(gè)單位后，則拋物線變?yōu)椋嗷身旤c(diǎn)式則為，故選：A．9．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱性，增減性判斷選項(xiàng)A、B、C，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判定選項(xiàng)D．【詳解】解∶∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是直線，∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入，得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，故選項(xiàng)D正確，故選D．10．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知和是拋物線上的兩點(diǎn).若對(duì)于，，都有，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)或【分析】（）把代入，轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求解；（）分和兩種情況，畫出圖形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；本題考查了求二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把代入得，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：分兩種情況：拋物線的對(duì)稱軸是直線；當(dāng)時(shí)，和都在對(duì)稱軸右側(cè)，此時(shí)y隨x的增大而增大，∵，∴如圖，此時(shí)，∴，又∵，∴；當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，在對(duì)稱軸右側(cè)，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，∵，∴，如圖，此時(shí)，解得，又∵，∴；綜上，當(dāng)或，都有．11．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)軸時(shí)，．

【答案】4【分析】與拋物線與x軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，由軸，可得，關(guān)于直線對(duì)稱，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵當(dāng)時(shí)，，即，∵軸，∴，關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴；故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查的是利用拋物線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解對(duì)稱軸方程，熟練的利用拋物線的對(duì)稱性解題是關(guān)鍵．考點(diǎn)05二次函數(shù)的最值1．（2024·青海西寧·中考真題）【感知特例】（1）如圖1，點(diǎn)A，在直線上，，，垂足分別為A，，點(diǎn)在線段上，且，垂足為．結(jié)論：（請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整）證明：，，，，，，，（同角的余角相等），（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）．（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）即【建構(gòu)模型】（2）如圖2，點(diǎn)A，在直線上，點(diǎn)在線段上，且．結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解決問題】（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，始終滿足．設(shè)長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，有最大值是．【答案】（1）；；；；；；（2）成立，見解析；（3）4，【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、二次函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)余角性質(zhì)證明，再根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似證明得出，進(jìn)而即可證明結(jié)論；（2）先證明，再根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似證明，得出，進(jìn)而完成解答；（3）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，證明，得出，即，求出，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最大值即可．【詳解】證明：，，，，，，，（同角的余角相等）∴，（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）．（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）即故答案為：；；；；；；（2）成立，理由如下：∵，，∴，∴，．即．（3）∵，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∵設(shè)長(zhǎng)為，則，∴，解得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值．故答案為：4，．2．（2024·四川攀枝花·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的表達(dá)式為．(1)若，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求此時(shí)函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)自變量x的值滿足時(shí)，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且總有，求m的取值范圍．【答案】(1)2(2)(3)【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，然后配方成頂點(diǎn)式，即可求解；（2）把，代入拋物線解析式得出，的關(guān)系，然后求出對(duì)稱軸，由函數(shù)的增減性求出的取值范圍即可；（3）由，得到離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，則點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，得出關(guān)于m的不等式，然后解不等式即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∵，∴函數(shù)圖象開口向上，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為2；（2）解：∵過(guò)，∴，∴，∴對(duì)稱軸為直線，∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，，解得，又∴；（3）解：∵點(diǎn)，在拋物線上，∵，∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，在拋物線，∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，∴，解得．3．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，可知圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，由當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，可得，計(jì)算求解，然后作答即可．【詳解】解：∵，∴圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，∴，解得，，故選：C．4．（2024·四川眉山·中考真題）定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．【詳解】解：由題意得，，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．故選：B．5．（2024·山東威海·中考真題）已知拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚憽⒒颍孩賍_______；②________；③________．(2)若，，求b的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，最大值與最小值的差為，求b的值．【答案】(1)；；；(2)(3)b的值為或．【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，不等式性質(zhì)，二次函數(shù)最值情況，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)．（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，以及，即可判斷①，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，利用不等式性質(zhì)變形，即可判斷②③．（2）根據(jù)題意得到，結(jié)合進(jìn)行求解，即可解題；（3）根據(jù)題意得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由最大值與最小值的差為，分以下三種情況：①當(dāng)在取得最大值，在取得最小值時(shí)，②當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，③當(dāng)在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，建立等式求解，即可解題．【詳解】（1）解：與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且，，且拋物線開口向上，與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且．即向上平移1個(gè)單位，，且，①；，，即②；，即③．故答案為；；；；（2）解：，，，，；（3）解：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)，則，那么，在取得最大值，在取得最小值時(shí)，有，解得（不符合題意，舍去）；②當(dāng)，解得，那么，在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，有，解得（不符合題意，舍去）或，③當(dāng)，解得，那么，在取得最大值，在頂點(diǎn)取得最小值時(shí)，有，解得（不符合題意，舍去）或；綜上所述，b的值為或．6．（2023·浙江紹興·中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，設(shè)，當(dāng)且時(shí)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但沒有最大值C．m有最大值，但沒有最小值 D．m沒有最小值，也沒有最大值【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，先由題意得，進(jìn)而得，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，即，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，m有最小值，但沒有最大值，故選：B．7．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸在軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】D【分析】將代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出的值，再利用對(duì)稱軸在軸左側(cè)，得出，再利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求出二次函數(shù)最值．【詳解】解：將代入二次函數(shù)解析式得：，解得：，，∵二次函數(shù)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，即，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出的值是解題關(guān)鍵．8．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】D【分析】把拋物線化為頂點(diǎn)式，得到對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，再分別求出和時(shí)的函數(shù)值，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)06二次函數(shù)與方程1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在拋物線上，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】本題主要考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練求解二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．先利用待定系數(shù)法求得拋物線，再令，得，解得或，從而即可得解．【詳解】解：把點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線得，，解得，∴拋物線，令，得，解得或，∴，∴；故答案為：．2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【分析】與軸的交點(diǎn)的特點(diǎn)為，令，求出的值，即可求出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】令拋物線中，即，解得，故與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是令，求出的值．3．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，其中，且．以下結(jié)論：①；②；③是鈍角三角形；④若方程的兩根為、，則，．其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】首先由拋物線開口向上得到，然后由對(duì)稱軸得到，然后由拋物線與y軸交于負(fù)半軸得到，即可判斷①；由對(duì)稱軸為直線得到，然后將代入拋物線得到，代入得到，然后根據(jù)得到，即可判斷②；設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，將代入拋物線得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判斷③；分別將和代入方程，整理求出和或6，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵拋物線開口向上∴∵對(duì)稱軸為直線∴∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸∴∴，故①錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸為直線∴∵在拋物線上∴∴∴∵∴∴，故②正確；如圖所示，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，將代入將，代入得，∴∵∵對(duì)稱軸為直線，∴∴∴∵∴∴∴是鈍角三角形，故③正確；∵∴當(dāng)時(shí)，，∴方程轉(zhuǎn)化為解得；∴當(dāng)時(shí)，，∴方程轉(zhuǎn)化為解得或6；∵方程的兩根為、∴，，故④正確．綜上所述，其中正確結(jié)論有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和x軸交點(diǎn)問題，解直角三角形，解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．4．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若直線與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)交點(diǎn)問題，熟練掌握函數(shù)圖象的繪制和直線平移時(shí)與函數(shù)圖象交點(diǎn)情況的分析是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求出時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合直線的平移，分析直線與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．畫出函數(shù)圖象：當(dāng)時(shí)，，這是一個(gè)開口向上，頂點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，的拋物線一部分．當(dāng)時(shí)，，是一條為，過(guò)的射線．根據(jù)對(duì)稱性畫出時(shí)的函數(shù)圖象．聯(lián)立（時(shí)），得，當(dāng)，即時(shí)，直線與（）相切．當(dāng)直線過(guò)時(shí)，．結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)．故選：A．5．（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)P、Q，則．【答案】1【分析】本題主要考查了二次函數(shù)平移規(guī)律，拋物線與x軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，求出拋物線的解析式．根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，求出拋物線的解析式，然后令，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出答案即可．【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式為：，令，則，或，解得：或，，故答案為：1．6．（2024·寧夏·中考真題）若二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的情況和二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)時(shí)解題即可.【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，，解得，的取值范圍為，故答案為：.7．（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程有兩實(shí)根，，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）①；②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；③；④若，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、拋物線與軸的交點(diǎn)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，由有兩實(shí)根，，可得，即可得，故可判斷①又拋物線的對(duì)稱軸是直線，進(jìn)而拋物線的頂點(diǎn)為c)，再結(jié)合，可得，故可判斷②；依據(jù)題意可得，又，進(jìn)而可得，從而可以判斷③；由，故，即對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，再結(jié)合，拋物線的對(duì)稱軸是直線，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：由題意，∵有兩實(shí)根，．∴得，．∴，故①正確．，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線．∴拋物線的頂點(diǎn)為．又，∴，即．∴．∴．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故②正確．∵，∴．又，，∴，故③錯(cuò)誤．，，∴對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值．∵，拋物線的對(duì)稱軸是直線，又此時(shí)拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，，，∴，故④錯(cuò)誤．綜上，正確的有①②共2個(gè)．故選：B．8．（2025·黑龍江綏化·中考真題）如圖，二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，其中．則下列結(jié)論：①；②方程沒有實(shí)數(shù)根；③；④．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象開口，對(duì)稱軸直線，最值的計(jì)算方法是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到圖象開口向上，對(duì)稱軸直線為，，則，當(dāng)時(shí)，代入計(jì)算可判定①；根據(jù)二次函數(shù)與直線的位置關(guān)系可判定②；根據(jù)題意得到，可判定③；根據(jù)函數(shù)最小值的大小可判定④；由此即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)、，圖象開口向上，∴對(duì)稱軸直線為，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴，∴，故①正確；圖象開口向上，對(duì)稱軸直線為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值軸的下方，∴拋物線與直線兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴方程