2023學(xué)年第二學(xué)期期末高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷考生注意：1．本試卷共21題，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁(yè)，正反面；3．在本試題卷上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題．一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題3分，7-12每小題4分，滿分42分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，否則一律得零分．1.已知集合，，則______．【答案】【解析】【分析】借助交集定義計(jì)算即可得.【詳解】由，可得、，則.故答案為：.2.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】由正切型函數(shù)周期性定義計(jì)算即可得.【詳解】由正切型函數(shù)性質(zhì)可知.故答案為：.3.若指數(shù)函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________；【答案】【解析】【分析】由函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知扇形的弧長(zhǎng)是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】借助扇形面積公式與弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)該扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，圓心角為，面積為，則，即，即，又，則.故答案為：.5.若，則的值為_(kāi)_____．【答案】125【解析】【分析】由題意，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，則，所以，解得.故答案為：1256.向量，能組成平面向量的一個(gè)基，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由基底定義計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，不共線，故有，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案：.7.已知中，，，，則在方向上的數(shù)量投影為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】借助向量投影定義與數(shù)量積公式計(jì)算即可得.【詳解】.

故答案為：.8.若正數(shù)，，滿足，且的最小值是4，則的值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】由題意，根據(jù)基本不等式的應(yīng)用可得，結(jié)合換元法解一元二次方程即可.【詳解】由題意得，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，方程，，所以是方程的根，所以.故答案為：19.已知，，，則______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合所給角的象限與余弦值，可得其正弦值，再利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可得.【詳解】由，，，則，則，，.故答案為：.10.若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】觀察在上的圖象，從而得到的取值范圍.【詳解】觀察在上的圖象，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為：，的最大值為：，所以的取值范圍為.故答案為：11.若函數(shù)對(duì)于任意，總存在使得，則稱是上的“階依賴函數(shù)”．已知函數(shù)是上的“階依賴函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，存在使得，即有，解出即可得.【詳解】由題意可得，對(duì)于任意，存在使得，即，則，即.故答案為：.12.中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則______．【答案】【解析】【分析】令，取點(diǎn)使，則可可將所給條件借助向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩線段之和，從而可數(shù)形結(jié)合構(gòu)造出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，得到，再利用余弦定理計(jì)算出后即可得解.【詳解】令，則，又，則點(diǎn)在線段上，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，則，則，令點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，即有，設(shè)，則在中，有，即，即，又，則，則有，即，即.

故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于數(shù)形結(jié)合，在線段上取點(diǎn)，使，從而可將所給條件借助向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩線段之和.二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，滿分12分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得3分，否則一律得零分．13.已知角終邊上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】由三角函數(shù)定義可得，解得.

故選：C.14.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則“在上為嚴(yán)格增函數(shù)”是“在上的最小值為”的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】結(jié)合嚴(yán)格增函數(shù)與奇函數(shù)定義，假設(shè)在上為嚴(yán)格增函數(shù)去推導(dǎo)能否得到在上最小值為，及假設(shè)在上的最小值為去推導(dǎo)能否得到在上為嚴(yán)格增函數(shù)，即可得解.【詳解】若在上為嚴(yán)格增函數(shù)，由奇函數(shù)性質(zhì)可得在上為嚴(yán)格增函數(shù)，則在上最小值為，若在上的最小值為，不能得到在上為嚴(yán)格增函數(shù)，即不能得到在上為嚴(yán)格增函數(shù)，故“在上為嚴(yán)格增函數(shù)”是“在上最小值為”的充分非必要條件.故選：A.15.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部互為相反數(shù)，虛部相等，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為“共胚復(fù)數(shù)”．已知與互為“共胚復(fù)數(shù)”，其中，，為虛數(shù)單位，則的值為（）A. B.0 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合“共胚復(fù)數(shù)”的定義計(jì)算即可得.【詳解】，則有，則.故選：D.16.已知函數(shù)，，，實(shí)數(shù)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，下列選項(xiàng)中，不可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題知在定義域上是單調(diào)減函數(shù)，進(jìn)而分都為負(fù)值和討論可判斷出結(jié)果.【詳解】解：由在上單調(diào)遞減，y＝log2x在上單調(diào)遞增，所以，在定義域上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，，所以，?dāng)都為負(fù)值，則都大于，當(dāng)，則都小于，大于.綜合可得，不可能成立．故選：C三、解答題（本大題共有5題，滿分46分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟．17.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求此冪函數(shù)的表達(dá)式和定義域；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義借助待定系數(shù)法計(jì)算即可得其解析式，計(jì)算即可得其定義域；（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與定義域要求計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則有，解得，故，即，則其定義域?yàn)?；【小?wèn)2詳解】由，則在上單調(diào)遞減，故有，即，即.18.已知坐標(biāo)平面內(nèi)，向量，，．（1）求滿足的實(shí)數(shù)、；（2）若向量滿足，且，求的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）借助向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可得；（2）借助向量坐標(biāo)運(yùn)算中垂直性質(zhì)與模長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】由，則有，解得，即，；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則有，解得或，故或.19.銳角中角、、的對(duì)邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助正弦定理將角化為邊后，借助余弦定理計(jì)算即可得；（2）借助正弦定理將邊化為角后，結(jié)合兩角和的正弦公式與輔助角公式可將化為正弦型函數(shù)形式，再利用銳角三角形性質(zhì)可得角的范圍，即可得解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，則；【小問(wèn)2詳解】由，則、，則，由為銳角三角形，可得，解得，則，則，故.20.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示：（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的圖象，得到，求得，再由，求得，即可求解；（2）由，求得或，結(jié)合，分類討論，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，因?yàn)椋?，可得，即，又因?yàn)?，可得，所?【小問(wèn)2詳解】解：由，可得或，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，，設(shè)方程的解為，則，可得；當(dāng)時(shí)，，則，可得，綜上所述，方程的所有根的和為.21.已知集合（其中是虛數(shù)單位），定義：，.（1）計(jì)算的值；（2）記，若，且滿足，求的最大值，并寫(xiě)出一組符合題意的、；（3）若，且滿足，，記，求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)必存在唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）的最大值為4，符合題意的一組解：（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）結(jié)合所給定義計(jì)算即可得；（2）設(shè)出的實(shí)部與虛部，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式放縮即可得解；（3）設(shè)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)的存在性定理，分、與進(jìn)行討論即可證明函數(shù)必存在唯一的零點(diǎn)，并可得的范圍，從而可結(jié)合模長(zhǎng)定義計(jì)算得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由，得，所以，當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為4，符合題意的一組解：；【小問(wèn)3詳解】由條件可知，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，和是單調(diào)遞增函數(shù)，則在上單調(diào)