第2章信號、信道及噪聲

2.1確知信號的分析

2.2隨機信號的分析

2.3信道特性

2.4恒參信道及其對所傳信號的影響

2.5變參信道及其對所傳信號的影響

2.6信道內(nèi)的噪聲

2.7通信中常見的幾種噪聲

2.8信道容量的概念

2.1確知信號的分析

2.1.1信號的分類

1.周期信號和非周期信號如果信號x(t)滿足x(t)=x(t+T0)，則稱x(t)為周期信號，T0稱為周期。反之，不能滿足此關(guān)系的稱為非周期信號。周期信號用付氏級數(shù)展開有三種表示式。

1)基本表示式

任意一個周期為T0的周期信號x(t)，只要滿足狄里赫利條件，則可以展開為付里葉級數(shù)。

n=1，2，3，…（2-1）

其中，為基波角頻率；為基波頻率；

（2-2）

（2-3）

（2-4）

(2)余弦函數(shù)表示式

假若

令

那么

由此得x(t)的另一種表示式為

(2-5)

其中，C0=A0。

(3)指數(shù)函數(shù)表示式根據(jù)尤拉公式

可得

（2-6）

其中

(2-7)

2.

確知信號和隨機信號可以用明確的數(shù)學(xué)式子表示的信號稱為確知信號。有些信號沒有確定的數(shù)學(xué)表示式，當(dāng)給定一個時間值時，信號的數(shù)值并不確定，通常只知道它取某一數(shù)值的概率，我們稱這種信號為隨機信號或不規(guī)則信號。

3.

功率信號和能量信號如果一個信號

x(t)(電流或電壓)作用在1Ω電阻上，瞬時功率為|x(t)|2

,在（－T/2，T/2）時間內(nèi)消耗的能量為

而平均功率

(2-9)當(dāng)T→∞時，如果E存在，則x(t)稱為能量信號，此時平均功率S＝0。反之,如果T→∞時E不存在(無窮大)，而S存在，則x(t)稱為功率信號。周期信號一定是功率信號；而非周期信號可以是功率信號，也可以是能量信號。2.1.2非周期信號的頻譜分析對于非周期信號，

可有其傅里葉變換求其頻譜函數(shù)，

即

（2-10）

其中

（2-11）

稱為頻譜函數(shù)，通常用X(ω)=F［x(t)］表示，x(t)與X(ω)的關(guān)系記為,表示為一對傅里葉變換。在傅里葉級數(shù)展開式中，|Vn|=Cn/2，|Vn|與Cn均為絕對振幅，它可以直接表示該頻率成分幅度的大小。由當(dāng)T0→∞時

（2-12）

所以

（2-13）

2.1.3周期信號的頻譜分析周期信號x(t)的頻譜密度函數(shù)X(ω)，可通過式(2-6)和(2-11)求得(2-14)由上式可以看出，周期信號的頻譜密度函數(shù)是由一系列的沖激離散頻譜構(gòu)成的，這些沖激位于信號基頻ω0的各次諧波處。為了方便計算周期信號x(t)的頻譜密度函數(shù)X(ω)，也可將x(t)在一個周期內(nèi)截斷，得到信號xT(t)，先求出xT(t)的傅里葉變換XT(ω)，再對得到的XT(ω)周期延拓從而求得X(ω)。設(shè)xT(t)為x(t)在一個周期內(nèi)的截斷信號，即(2-15)那么

從而推出

（2-16）

比較式(2-14)與式(2-16)可得

（2-17）

2.1.4信號的能量譜密度和功率譜密度

1.能量信號的能量譜密度函數(shù)(帕塞瓦爾定理)能量信號x(t)是指在時域內(nèi)有始有終，能量有限的非周期信號。對能量信號x(t)，可用其頻譜密度函數(shù)X(ω)及信號的能量譜密度函數(shù)G(ω)來描述。設(shè)能量信號x(t)頻譜密度函數(shù)為X(ω)，信號的能量為（2-18）其中

（2-19）

為能量信號的能量譜密度函數(shù)，它表示單位頻帶上的信號能量，表明信號的能量在頻率軸上的分布情況。能量信號x(t)的能量譜密度函數(shù)等于它的頻譜密度函數(shù)的模平方。所以，式（2-18）可重寫為

（2-20）

上式表明，信號x(t)的能量為能量譜在頻域內(nèi)的積分值。式(2-20)稱為能量信號的帕斯瓦爾定理。

2.功率信號的功率譜密度函數(shù)功率信號x(t)是指信號在時域內(nèi)無始無終，信號的能量無限，但平均功率有限的信號。對于非周期功率信號x(t)，其平均功率可用截斷信號xT(t)在區(qū)間(-T/2,T/2)內(nèi)的平均功率求極限的方法得到。（2-21）

其中，是x(t)在區(qū)間內(nèi)的截斷信號，為能量信號。

而周期信號是無始無終的，它在整個時域內(nèi)能量無限，而功率有限，因此周期信號是典型的功率信號。設(shè)周期信號的周期為T0。則其平均功率表示為

（2-22）

式(2-22)說明周期信號的平均功率可在信號的一個周期內(nèi)求平均得到。在實際中常用信號的功率譜來描述功率信號。

功率信號x(t)的截斷信號xT(t)的頻譜密度函數(shù)為XT(ω)。根據(jù)能量信號帕斯瓦爾定理得：

（2-23）

將式(2-23)代入式(2-21)，得功率信號x(t)的平均功率為

（2-24）

其中，

（2-25）

為功率信號x(t)的功率譜密度函數(shù)，它表示單位頻帶上的信號功率，表明信號功率在頻率軸上的分布情況。信號x(t)的功率為功率譜在頻域內(nèi)的積分值。對于周期信號，由前面帕塞瓦爾定理得

再根據(jù)

得

（2-26）

由函數(shù)式

可得

所以

（2-27）

綜上所述，得

（2-28）

周期信號的功率譜密度是離散的，而且都是沖擊函數(shù)。對于不為零的成分，具有一定的功率，這是與非周期信號不同的。

2.1.5信號的卷積和相關(guān)

1.互相關(guān)函數(shù)設(shè)x1(t)和x2(t)為兩個周期功率信號，則它們之間的互相關(guān)程度用互相關(guān)函數(shù)R12(τ)表示，且被定義為(2-29)

對于一般功率信號，設(shè)x1(t)和x2(t)為非周期功率信號,則

(2-30)

設(shè)x1(t)和x2(t)為能量信號，

則

(2-31)

當(dāng)x1(t)=x2(t)時，互相關(guān)函數(shù)就變?yōu)樽韵嚓P(guān)函數(shù)，因此仿照互相關(guān)函數(shù)的定義即得自相關(guān)函數(shù)的定義。對于非周期功率信號，設(shè)信號為x(t)，自相關(guān)函數(shù)為,則

(2-32)

如果x(t)是周期功率信號,那么

(2-33)

對于能量信號x(t),則

(2-34)

相關(guān)函數(shù)描述了兩個函數(shù)在時間間隔τ的兩點上取值的相關(guān)性，它與卷積過程有一定的相似性。相關(guān)函數(shù)的積分運算與卷積運算的主要區(qū)別如下：

(1)卷積運算是無序的，即x1(t)*x2(t)=x2(t)*x1(t)；而相關(guān)函數(shù)的積分運算是有序的，即R12(τ)≠R21(τ)。

(2)對于同一個時間位移值，相關(guān)函數(shù)的積分運算與卷積運算中位移函數(shù)的移動方向是相反的。

(3)卷積是求解信號通過線性系統(tǒng)輸出的方法，而相關(guān)函數(shù)的積分是信號檢測和提取的方法。

(4)當(dāng)信號x(t)通過一個線性系統(tǒng)時，若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=x(-t)，則系統(tǒng)對x(t)的輸出響應(yīng)為x(t)*h(t)=R(t)，即沖激響應(yīng)為輸入信號x(t)的鏡像函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出為x(t)的自相關(guān)函數(shù)。

2.能量信號的相關(guān)定理能量信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即R(τ)=R(-τ)。

(2)當(dāng)τ=0時，R(τ)就是信號的能量，即此外，當(dāng)τ=0時，自相關(guān)函數(shù)R(τ)取最大值，即R(0)≥R(τ)，因此這時自相關(guān)性最強。若能量信號x1(t)和x2(t)的頻譜分別是X1(ω)和X2(ω)，則信號x1(t)和x2(t)的互相關(guān)函數(shù)R12(τ)與X1(ω)的共軛乘以X2(ω)是傅里葉變換對，即(2-35)

式(2-35)稱為能量信號的相關(guān)定理。它表明兩個能量信號在時域內(nèi)相關(guān)，對應(yīng)頻域內(nèi)為一個信號頻譜的共軛與另一信號的頻譜相乘。

若x1(t)=x2(t)=x(t)，則有

即

(2-36)

可見，能量信號的自相關(guān)函數(shù)和能量譜密度函數(shù)是一對傅里葉變換

3.功率信號的相關(guān)函數(shù)

功率信號的相關(guān)函數(shù)仍然用信號截斷后求極限的方法得到。同理,也可以證明，功率信號的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即

(2-37)綜上所述，我們既可以把確定信號x(t)分為周期信號與非周期信號，通過傅里葉變換求得信號的頻譜密度函數(shù)X(ω)，從而在頻域內(nèi)研究該信號;也可以把確定信號分為能量信號與功率信號，對信號的自相關(guān)函數(shù)及其傅里葉變換,即能量譜及功率譜進行分析，從而使得確定信號的分析方法進一步得到完善。

2.2隨機信號的分析

2.2.1隨機變量與概率分布

1.隨機變量的定義在概率論中，把某次試驗中可能發(fā)生的和可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件(簡稱事件)。對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能預(yù)知試驗的結(jié)果，但試驗的所有可能結(jié)果組成的集合是已知的。我們將隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合標(biāo)為E的樣本空間，記為S。一般，稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件。設(shè)E是隨機試驗，它的樣本空間是S＝{e}。如果對于每一個e∈S，有一個實數(shù)X(e)與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在S上的單值實值函數(shù)X=X(e)，稱為隨機變量。當(dāng)隨機變量的取值個數(shù)是有限的或可數(shù)無窮個時，則稱它為離散隨機變量，否則就稱它為連續(xù)隨機變量，

即可能的取值充滿某一有限或無限區(qū)間。

2.

概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)設(shè)隨機變量X可以取x1、x2、x3、x4四個值，且有：x1<x2<x3<x4；對應(yīng)的概率為P(xi)或P(X＝xi)，則有：P(X≤x2)＝P(x1)+P(x2)，用P(X≤x)定義的x的函數(shù)稱之為隨機變量x的概率分布函數(shù)(以后簡稱分布函數(shù))，記作F(x)，即(2-38)該定義中，x可以是離散的也可以是連續(xù)的，

顯然有

以及，設(shè)x1≤x2，則F(x1)≤F(x2)，

即F(x)是單調(diào)不減函數(shù)。

對于一連續(xù)隨機變量x，設(shè)其分布函數(shù)F(x)對于一個非負(fù)函數(shù)f(x)有下式成立：(2-39)則稱f(x)為x的概率密度函數(shù)(簡稱概率密度)，因為式(2-39)表示隨機變量X在(－∞,∞)區(qū)間上取值的概率，故f(x)具有概率密度的含義，所以（2-40）

因此，概率密度就是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

概率密度有如下的性質(zhì)：

3.多維隨機變量和多維概率分布上面討論的只是單個隨機變量及其概率分布，實際上，許多隨機試驗的結(jié)果只用一個隨機變量來描述是不夠的，而必須同時用兩個或更多個隨機變量來描述，我們把這種由多個隨機變量所組成的一個隨機變量總體稱為多維隨機變量，記作二維(X1，X2)，…，n維(X1，X2

，…，Xn)等等。多維隨機變量不是多個隨機變量的簡單組合，它不但取決于組成它的每個隨機變量的性質(zhì)，而且還取決于這些隨機變量兩兩之間的統(tǒng)計關(guān)系。

設(shè)有兩個隨機變量X和Y，我們把兩個事件(X≤x)和(Y≤y)同時出現(xiàn)的概率定義為二維隨機變量(X,Y)的二維分布函數(shù)，記作F(x,y)。

F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)(2-41)如果F(x，

y)可表示成

(2-42)

則稱f(x，y)為二維概率密度，即

(2-43)

同理二維聯(lián)合概率分布有性質(zhì)有：

(1)(2)(3)當(dāng)滿足

f(x,y)=f(x)*f(y)

（2-44）

時，且也只有滿足此條件時，隨機變量x和y也才是統(tǒng)計獨立的。當(dāng)隨機變量X、Y統(tǒng)計獨立時，可以由一維概率分布確定二維聯(lián)合分布。但在一般情況下，知道一維的概率分布，并不一定能求出二維的聯(lián)合分布，這時就需要引進條件概率分布的概念。給定隨機變量X后，

變量Y的條件概率密度定義為

(2-45)

當(dāng)f(x)≠0時，由式（2-44）和式（2-45）不難得出，當(dāng)f(y|x)=f(y)時，X和Y統(tǒng)計獨立。2.2.2隨機變量的函數(shù)與數(shù)字特征

1.隨機變量的函數(shù)一維或多維隨機變量經(jīng)過確定函數(shù)變換后，可得到一個新的隨機變量，稱其為隨機變量的函數(shù)，可以表示為以下幾種情況：

(1)Y=g(X)式中X，Y均為一維隨機變量。

(2)Y＝g(X1，X2，…，Xn)式，X是n維隨機變量，函數(shù)Y是一維的。(3)式中，X是n維隨機變量，函數(shù)(Y1，Y2，…，Ym)則是m維的。若要完整地表述一個隨機變量的統(tǒng)計特性，就必須求得它的分布函數(shù)或概率密度函數(shù)。然而，在許多實際問題中，往往并不關(guān)心隨機變量的概率分布，而只想知道它的某些特征。這些表述隨機變量“某些特征”的數(shù)，

就稱之為隨機變量的數(shù)字特征。

2.隨機變量的數(shù)字特征

1)數(shù)學(xué)期望隨機變量的數(shù)學(xué)期望，或簡稱均值，反映了隨機變量取值的集中位置。設(shè)P(xi)(i=1,2,…,n)是離散隨機變量X的取值xi的概率，則其數(shù)學(xué)期望

(2-46)

實際上就是對隨機變量的加權(quán)求和，而加權(quán)值就是各個可能值出現(xiàn)的概率。

對于連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望可用積分計算，設(shè)f(x)為連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望定義為

(2-47)這一定義也可推廣到對X的函數(shù)Y=g(x)的集合平均，

根據(jù)式(2-46)有

(2-48)

式中，xi、yi是相互對應(yīng)的取值。

對于連續(xù)隨機變量的函數(shù)而言，

如果下面的積分存在，

則X的函數(shù)g(x)的數(shù)學(xué)期望為

（2-49）

2)方差隨機變量的方差，反映隨機變量取值的集中程度。設(shè)X是一個隨機變量，若E{[X－E（X）]2}存在，則稱E{[X－E（X）]2}為X的方差，記為D（X）或Var(X)，即

（2-50）

方差經(jīng)常又用σ2來表示，方差的平方根σ又稱為“標(biāo)準(zhǔn)偏差”。

Xn的期望稱為X的n階(原點)矩，此n階矩為(2-51)除了原點矩外，還有相對于均值E(x)的n階矩，即E{［X-E(X)］n}，也稱之為n階中心矩(2-52)可見在n階矩中，方差是最重要的,是二階中心矩。矩的概念可以推廣到兩個隨機變量上，稱之為混合矩，隨機變量X、Y的(m+n)階混合原點矩定義為(2-53)其相應(yīng)的混合中心矩umn則定義為

(2-54)在混合中心矩umn中，最重要的是m=1、n=1時的混合中心矩E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}，記作u11，稱之為相關(guān)矩或協(xié)方差。

X,Y的歸一相關(guān)矩，它又稱為X、Y相關(guān)系數(shù)，定義為（2-55）

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

(1)。|ρ|≤1。

(2)相關(guān)性：若X、Y的相關(guān)系數(shù)，則稱X、Y是線性不相關(guān)的。

(3)獨立與相關(guān)：若兩隨機變量X、Y是統(tǒng)計獨立的，則它們必不相關(guān)，但是若X、Y不相關(guān)，并不意味著它們一定是統(tǒng)計獨立的。

2.2.3隨機過程的統(tǒng)計特性

1.隨機過程的定義簡單地說，隨機過程是一種取值隨機變化的時間函數(shù)，它不能用確切的時間函數(shù)來表示。對隨機過程來說，“隨機”的含意是指取值不確定，僅有取某個值的可能性；“過程”的含意是指它為時間t的函數(shù)。即在任意時刻考察隨機過程的值是一個隨機變量，隨機過程可看成是隨時間t變化的隨機變量的集合?；蛘哒f，隨機過程是一個由全部可能的實現(xiàn)(或樣本函數(shù))構(gòu)成的集合，

且每個實現(xiàn)都是不確定的。

隨機過程的取值雖然隨機，但取各種值的可能性的分布規(guī)律通常是能夠確切地獲得的，也就是說，隨機過程有確切的統(tǒng)計規(guī)律。因此可以用嚴(yán)格的統(tǒng)計特性來描述隨機過程。數(shù)學(xué)上可以用隨機實驗和樣本空間的概念來定義隨機過程。設(shè)E是隨機實驗，S={e}是它的樣本空間，

如果對每一個樣本e∈S來說，

總可以按某一規(guī)則確定參數(shù)t的實值函數(shù)

與之對應(yīng)，那么，對所有的樣本e∈S，就得到一簇時間函數(shù)，并稱此簇時間函數(shù)為隨機過程，其中每個時間函數(shù)稱為該隨機過程的樣本函數(shù),T是參數(shù)t的變化范圍,稱為參數(shù)集。

對這個定義應(yīng)理解為，與某一特定的結(jié)果相對應(yīng)的時間函數(shù)是一個確定的時間函數(shù)，稱之為隨機過程的一個樣本函數(shù)或一次實現(xiàn)；在某一特定時刻t=t1時，函數(shù)值X(e,t1)是一個隨機變量，對不同的時間t得到一簇隨機變量，所以隨機過程是依賴于時間參數(shù)t的一簇隨機變量。如果在某一個固定時刻，如t=t1時，來觀察隨機過程的值X(t1)，那么它是一個隨機變量；在不同的t1，t2，…，tn時刻考察隨機過程時，將得到不同的隨機變量。

2.隨機過程的統(tǒng)計特性

1)隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)設(shè)隨機過程為X(t)，當(dāng)t=t1時，觀察隨機過程的值X(t)是一個隨機變量。因此隨機過程X(t)在t=t1時刻的統(tǒng)計特性就是該時刻隨機變量X(t1)的統(tǒng)計特性。隨機變量X(t1)的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述，稱

(2-56)

為隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)。如果F1(x1,t1)對x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，即(2-57)則稱f1(x1,t1)為隨機過程X(t)的一維概率密度函數(shù)。由于t1時刻是任意選取的，因此可以把t1寫為t，這樣f1(x1,t1)可記為f1(x,t)。顯然，一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)描述了隨機過程在某一時刻上的統(tǒng)計特性。由于隨機過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在孤立時刻上的統(tǒng)計特性，而不能反映過程內(nèi)部任意兩個時刻或多個時刻上的隨機變量的內(nèi)在聯(lián)系，因此還必須引入二維分布函數(shù)及多維分布函數(shù)才能達(dá)到充分描述隨機過程的目的。隨機過程X(t)在t=t1及t=t2時得到的X(t1)及X(t2)分別是兩個隨機變量，它們相應(yīng)取x1及x2值的聯(lián)合概率稱為X(t)的二維分布函數(shù)。即稱(2-58)為隨機過程X(t)的二維分布函數(shù)。如果F2(x1,x2;t1,t2)對x1及x2的偏導(dǎo)數(shù)存在，即(2-59)則稱f2(x1,x2;t1,t2)為隨機過程X(t)的二維概率密度函數(shù)。隨機過程的二維分布函數(shù)或二維概率密度函數(shù)描述了隨機過程在任意兩個時刻上的聯(lián)合統(tǒng)計特性。同理可以得到隨機過程X(t)的n維分布函數(shù)和n維概率密度函數(shù)。顯然，n越大，用n維分布函數(shù)或n維概率密度函數(shù)去描述隨機過程就越充分。不過在實踐中，用高維(n>2)分布函數(shù)或概率密度函數(shù)去描述隨機過程時，往往會遇到困難，因為高維概率密度函數(shù)在不少場合經(jīng)常難以獲得。在對隨機變量進行描述時，如果僅對隨機變量的主要特征關(guān)心的話，還可以求出隨機變量的數(shù)字特征。因此相應(yīng)于隨機變量數(shù)字特征的定義方法，也可以得到隨機過程的數(shù)字特征。

2)隨機過程的數(shù)字特征

(1)隨機過程的數(shù)學(xué)期望(均值)。當(dāng)t=t1時，隨機過程X(t1)是一個隨機變量，其數(shù)學(xué)期望為(2-60)其中，t1取任意值t時，得到隨機過程的數(shù)學(xué)期望，記為E［X(t)］或a(t)。E［X(t)］為式中，f1(x,t)為X(t)在t時刻的一維概率密度函數(shù)。

(2)隨機過程的方差。

隨機過程的方差為

(2-61)σ2(t)表示了X(t)在t時刻的隨機變量的方差。一般情況下，隨機過程的方差是時間t的函數(shù)，它表示了隨機過程在各個孤立時刻上的隨機變量對均值的偏離程度。式(2-61)還可以寫為(2-62)

(3)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)。隨機過程X(t)的均值a(t)和方差σ2(t)，僅描述了隨機過程在孤立時刻上的統(tǒng)計特性，它們不能反映出過程內(nèi)部任意兩個時刻之間的內(nèi)在聯(lián)系。這點可用圖2-1來說明。圖2-1(a)中的隨機過程X(t)和圖2-1(b)中的隨機過程Y(t)具有相同的均值和方差，但X(t)和Y(t)的統(tǒng)計特性明顯不同。X(t)變化快，Y(t)變化慢，即過程內(nèi)部任意兩個時刻之間的內(nèi)在聯(lián)系不同或者說過程的自相關(guān)函數(shù)不同。X(t)變化快，表明隨機過程X(t)內(nèi)部任意兩個時刻t1，t2之間波及小，互相依賴性弱，即自相關(guān)性弱。而Y(t)變化慢，表明隨機過程Y(t)內(nèi)部任意兩個時刻t1，t2之間波及大，互相依賴性強，即自相關(guān)性強。

圖2-1隨機過程的自相關(guān)函數(shù)(a)

隨機過程X(t);

(b)

隨機過程Y(t)所謂相關(guān)，實際上是指隨機過程在t1時刻的取值對下一時刻t2的取值的影響。影響越大，相關(guān)性越強，反之，相關(guān)性越弱。為了定量地描述隨機過程的這種內(nèi)在聯(lián)系的特征,即隨機過程在任意兩個不同時刻上取值之間的相關(guān)程度,我們引入自相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)和協(xié)方差函數(shù)CX(t1,t2)。隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)定義為

(2-63)

隨機過程X(t)的協(xié)方差函數(shù)CX(t1,t2)定義為顯然，RX(t1,t2)和CX(t1,t2)之間有如下關(guān)系(2-64)(2-65)相關(guān)函數(shù)的概念可以引入到兩個隨機過程中,以描述它們之間的關(guān)聯(lián)程度,稱之為互相關(guān)函數(shù)。

設(shè)有隨機過程X(t)和Y(t),那么它們的互相關(guān)函數(shù)為

(2-66)

2.2.4平穩(wěn)隨機過程

1.平穩(wěn)隨機過程的定義平穩(wěn)隨機過程是指過程的任意n維概率密度函數(shù)fn(x1，x2，…，xn；t1，t2，…，tn)與時間的起點無關(guān)。即對任意的n值及時間間隔來說，如果隨機過程X(t)的n維概率密度函數(shù)滿足

(2-67)則稱隨機過程X(t)為平穩(wěn)隨機過程?？梢娖椒€(wěn)隨機過程是指統(tǒng)計特性不隨時間的變化而改變的隨機過程。如果過程產(chǎn)生的環(huán)境條件不隨時間的變化而改變的話，則該過程就可以認(rèn)為是平穩(wěn)的。

通常，

在通信系統(tǒng)中遇到的隨機信號和噪聲都是平穩(wěn)隨機過程。

平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度函數(shù)為

(2-68)

可見，平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度函數(shù)與考察時刻t無關(guān);即平穩(wěn)隨機過程在各個孤立時刻服從相同的概率分布。同理可得平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度函數(shù)為

(2-69)即平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度函數(shù)與時間的起點t1無關(guān)，而僅與時間間隔τ有關(guān)，它是τ的函數(shù)。根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的定義,我們可以求得平穩(wěn)隨機過程X(t)的數(shù)學(xué)期望、方差和自相關(guān)函數(shù)分別為（2-70）

由此可見，平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學(xué)期望和方差都是與時間無關(guān)的常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只是時間間隔τ的函數(shù)。

2.平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)

1)各態(tài)歷經(jīng)性設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機過程X(t)的任意一個實現(xiàn)，若X(t)的數(shù)字特征（統(tǒng)計平均）可由x(t)的時間平均來替代，即（2-71）

2)平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)有如下主要性質(zhì)：

①

②

③

④

⑤

(X(t)的總平均功率)；(R(τ)是偶函數(shù))(R(τ)有上限)；(X(t)的直流功率)；(方差，X(t)的交流功率)。

3)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度隨機過程的頻譜特性可用它的功率譜密度來表述?？梢宰C明：平穩(wěn)隨機過程X(t)的功率譜密度PX(ω)與其自相關(guān)函數(shù)RX(τ)是一對傅里葉變換關(guān)系，即

（2-72）

當(dāng)τ=0時，

有

2.2.5隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程加到線性系統(tǒng)的輸入端，可以理解為隨機過程的某一可能的樣本函數(shù)出現(xiàn)在線性系統(tǒng)的輸入端。設(shè)加到線性系統(tǒng)輸入端的是隨機過程X(t)的某一樣本x(t)，系統(tǒng)相應(yīng)的輸出為y(t)，則有(2-73)其中，h(t)為線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)，且有

(2-74)

或者

(2-75)式中，X(ω)為x(t)的傅里葉變換；H(ω)為h(t)的傅里葉變換，是線性系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。如果將線性系統(tǒng)的輸入信號x(t)看作是隨機過程X(t)的一次實現(xiàn)，那么線性系統(tǒng)的輸出信號y(t)就可視為輸出隨機過程Y(t)的一次實現(xiàn)。因此，當(dāng)線性系統(tǒng)的輸入是隨機過程X(t)時，輸出Y(t)也是隨機過程，且X(t)和Y(t)的關(guān)系為(2-76)1)輸出隨機過程Y(t)的數(shù)學(xué)期望在式(2-76)兩邊取統(tǒng)計平均，得(2-77)

式中，因為E=[x(t－u)]=mx是常數(shù)，所以可以提到積分號外面來。如果再由

則有

(2-78)式(2-78)表明，輸出隨機過程Y(t)的數(shù)學(xué)期望等于輸入隨機過程X(t)的數(shù)學(xué)期望與H(0)的乘積，且與時間t無關(guān)。

2)輸出隨機過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)由自相關(guān)函數(shù)的定義，Y(t)的自相關(guān)函數(shù)RY(t,t+τ)為(2-79)將式(2-77)代入，得到

(2-80)式中，E［X(t-u)X(t+τ-v)］=RX(τ+u-v)為輸入平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)。于是有(2-81)3)輸出隨機過程Y(t)的功率譜密度由維納-辛欽定理，Y(t)的功率譜密度PY(ω)為(2-82)將式(2-81)代人，得

(2-83)

令m=τ+u-v，得

4)輸出隨機過程Y(t)的概率分布平穩(wěn)高斯隨機過程通過線性系統(tǒng)后，輸出隨機過程仍然是服從高斯分布的，有關(guān)證明請讀者查閱有關(guān)資料。2.3信道特性2.3.1信道的定義通俗地說，信道是指以傳輸媒介(質(zhì))為基礎(chǔ)的信號通路。具體地說，信道是指由有線或無線電線路提供的信號通路；抽象地說，信道是指定的一段頻帶，它讓信號通過，同時又給信號以限制和損害。

信道的作用是傳輸信號。

2.3.2信道的分類

由信道的定義可看出，信道可大體分成兩類：狹義信道和廣義信道。狹義信道通常按具體媒介的不同類型可分為有線信道和無線信道。所謂有線信道是指傳輸媒介為明線、對稱電纜、同軸電纜、光纜及波導(dǎo)等一類能夠看得見的媒介。有線信道是現(xiàn)代通信網(wǎng)中最常用的信道之一。如對稱電纜(又稱電話電纜)廣泛應(yīng)用于(市內(nèi))近程傳輸。無線信道的傳輸媒質(zhì)比較多，它包括短波電離層、對流層散射等?？梢赃@樣認(rèn)為，凡不屬有線信道的媒質(zhì)均為無線信道的媒質(zhì)。無線信道的傳輸特性沒有有線信道的傳輸特性穩(wěn)定和可靠，但無線信道具有方便、靈活，通信者可移動等優(yōu)點。

廣義信道通常也可分成兩種，調(diào)制信道和編碼信道。調(diào)制信道是從研究調(diào)制與解調(diào)的基本問題出發(fā)而構(gòu)成的，它的范圍是從調(diào)制器輸出端到解調(diào)器輸入端。因為，從調(diào)制和解調(diào)的角度來看，由調(diào)制器輸出端到解調(diào)器輸入端的所有轉(zhuǎn)換器及傳輸媒質(zhì)，不管其中間過程如何，它們不過是把已調(diào)信號進行了某種變換而已，我們只需關(guān)心變換的最終結(jié)果，而無需關(guān)心形成這個最終結(jié)果的詳細(xì)過程。因此，研究調(diào)制與解調(diào)問題時，定義一個調(diào)制信道是方便和恰當(dāng)?shù)?。調(diào)制信道常常用在模擬通信中。圖2-2調(diào)制信道與編碼信道

2.3.3信道的模型1.調(diào)制信道

通過對調(diào)制信道進行大量的考察之后，可發(fā)現(xiàn)它有如下主要特性：

(1)有一對(或多對)輸入端，則必然有一對(或多對)輸出端；

(2)絕大部分信道是線性的，即滿足疊加原理；

(3)信號通過信道需要一定的遲延時間；

(4)信道對信號有損耗(固定損耗或時變損耗)；

(5)即使沒有信號輸入，在信道的輸出端仍可能有一定的功率輸出(噪聲)。圖2-3調(diào)制信道模型(a)一對輸入端，

一對輸出端；

(b)m對輸入端，n對輸出端

對于二對端的信道模型來說，它的輸入和輸出之間的關(guān)系式可表示成式中，ei(t)——輸入的已調(diào)信號；eo(t)——信道輸出波形；n(t)——信道噪聲(或稱信道干擾)；f［ei(t)］——表示信道對信號影響(變換)的某種函數(shù)關(guān)系(2-84)

由于f［ei(t)］形式是個高度概括的結(jié)果，為了進一步理解信道對信號的影響，我們把f［ei(t)］設(shè)想成為形式k(t)·ei(t)。我們期望的信道(理想信道)應(yīng)是k(t)=常數(shù)，n(t)=0，即(2-86)(2-85)

2.編碼信道

編碼信道是包括調(diào)制信道及調(diào)制器、解調(diào)器在內(nèi)的信道。它與調(diào)制信道模型有明顯的不同，即調(diào)制信道對信號的影響是通過k(t)和n(t)使調(diào)制信號發(fā)生“模擬”變化，而編碼信道對信號的影響則是一種數(shù)字序列的變換，即把一種數(shù)字序列變成另一種數(shù)字序列。故有時把編碼信道看成是一種數(shù)字信道。

由于編碼信道包含調(diào)制信道，因而它同樣要受到調(diào)制信道的影響。但是，從編/譯碼的角度看，以上這個影響已被反映在解調(diào)器的最終結(jié)果里——使解調(diào)器輸出數(shù)字序列以某種概率發(fā)生差錯。顯然，如果調(diào)制信道越差，即特性越不理想和加性噪聲越嚴(yán)重，則發(fā)生錯誤的概率將會越大。由此看來，編碼信道的模型可用數(shù)字信號的轉(zhuǎn)移概率來描述。例如，

在最常見的二進制數(shù)字傳輸系統(tǒng)中，一個簡單的編碼信道模型可示于圖2-4。

圖2-4二進制無記憶編碼信道模型

在這個模型里，把P(0/0)、P(1/0)、P(0/1)、P(1/1)稱為信道轉(zhuǎn)移概率，具體地把P(0/0)和P(1/1)稱為正確轉(zhuǎn)移概率，而把P(1/0)和P(0/1)稱為錯誤轉(zhuǎn)移概率。根據(jù)概率性質(zhì)可知(2-88)(2-87)

至此，我們對信道已有了一個較全面的認(rèn)識，為了方便理解，把信道分類歸納如下：2.4恒參信道及其對所傳信號的影響2.4.1幅度—頻率畸變圖2-5典型音頻電話信道的衰耗—頻率特性

2.4.2相位—頻率畸變(群遲延畸變)

所謂相位—頻率畸變，是指信道的相位—頻率特性偏離線性關(guān)系所引起的畸變。電話信道的相位—頻率畸變主要來源于信道中的各種濾波器及可能有的加感線圈，尤其在信道頻帶的邊緣，相頻畸變就更嚴(yán)重。相頻畸變對模擬話音通道影響并不顯著，這是因為人耳對相頻畸變不太靈敏；但對數(shù)字信號傳輸卻不然，尤其當(dāng)傳輸速率比較高時，相頻畸變將會引起嚴(yán)重的碼間串?dāng)_，給通信帶來很大損害。

信道的相位—頻率特性還經(jīng)常采用群遲延—頻率特性來衡量。所謂群遲延—頻率特性，它被定義為相位—頻率特性的導(dǎo)數(shù)，即若相位—頻率特性用φ(ω)表示，則群遲延—頻率特性(通常稱為群遲延畸變或群遲延)T(ω)為(2-89)圖2-6理想的群遲延特性

(a)φ(ω)—ω；(b)τ(ω)—ω

圖2-7典型的電話信道的群遲延—頻率特性

圖2-8相移失真前后的波形比較(a)相移失真前的波形；

(b)相移失真后的波形

2.4.3減小畸變的措施為了減小幅度—頻率畸變，在設(shè)計總的電話信道傳輸特性時，一般都要求把幅度—頻率畸變控制在一個允許的范圍內(nèi)。這就要求改善電話信道中的濾波性能，或者再通過一個線性補償網(wǎng)絡(luò)，使衰耗特性曲線變得平坦。后面這一措施通常稱之為“均衡”。在載波電話信道上傳輸數(shù)字信號時，通常要采用均衡措施。相位—頻率畸變(群遲延畸變)如同幅頻畸變一樣，也是一種線性畸變。因此，采取相位均衡技術(shù)也可以補償群遲延畸變。

綜上所述，恒參信道通常用它的幅度—頻率特性及相位—頻率特性來表述。而這兩個特性的不理想將是損害信號傳輸?shù)闹匾蛩亍７蔷€性畸變主要由信道中的元器件(如磁芯，電子器件等)的非線性特性引起，造成諧波失真或產(chǎn)生寄生頻率等；頻率偏移通常是由于載波電話系統(tǒng)中接收端解調(diào)載波與發(fā)送端調(diào)制載波之間的頻率有偏差(例如，解調(diào)載波可能沒有鎖定在調(diào)制載波上)，而造成信道傳輸?shù)男盘栔恳环至靠赡墚a(chǎn)生的頻率變化；相位抖動也是由調(diào)制和解調(diào)載波發(fā)生器的不穩(wěn)定性造成的，這種抖動的結(jié)果相當(dāng)于發(fā)送信號附加上一個小指數(shù)的調(diào)頻。以上的非線性畸變一旦產(chǎn)生，一般均難以排除。這就需要在進行系統(tǒng)設(shè)計時從技術(shù)上加以重視。

2.5變參信道及其對所傳信號的影響2.5.1變參信道傳輸媒質(zhì)的特點

變參信道傳輸媒質(zhì)通常具有以下特點：(1)對信號的衰耗隨時間的變化而變化；(2)傳輸時延隨時間也發(fā)生變化；(3)具有多徑傳播(多徑效應(yīng))。2.5.2多徑效應(yīng)的分析屬于變參的傳輸媒質(zhì)主要以電離層反射和散射、對流層散射等為代表，信號在這些媒質(zhì)中傳輸?shù)氖疽鈭D如圖2-9所示。圖2-9(a)為電離層反射傳輸示意圖，圖2-9(b)為對流層散射傳輸示意圖。它們的共同特點是：由發(fā)射點出發(fā)的電波可能經(jīng)多條路徑到達(dá)接收點，這種現(xiàn)象稱多徑傳播。就每條路徑信號而言，它的衰耗和時延都不是固定不變的，而是隨電離層或?qū)α鲗拥臋C理變化而變化的。因此，多徑傳播后的接收信號將是衰減和時延隨時間變化的各路徑信號的合成。若設(shè)發(fā)射信號為Acosωct，則經(jīng)過n條路徑傳播后的接收信號R(t)可用式(2-90)表述:(2-90)

式中，ai(t)——總共n條多徑信號中第i條路徑到達(dá)接收端的隨機幅度；tdi(t)——第i條路徑對應(yīng)于它的延遲時間；φi(t)——相應(yīng)的隨機相位，即φi(t)=-ωctdi(t)

圖2-9多徑傳播示意圖(a)電離層反射傳輸示意圖；

(b)對流層傳輸示意圖

由于ai(t)和φi(t)隨時間的變化要比信號載頻的周期變化慢得多，因此式(2-7)又可寫成(2-91)令

(2-92)(2-93)并代入式(2-8)后得

(2-94)其中，a(t)是多徑信號合成后的包絡(luò)，

即

(2-95)而φ(t)是多徑信號合成后的相位，

即

(2-96)(1)從波形上看，多徑傳播的結(jié)果使單一載頻信號Acosωct變成了包絡(luò)和相位都變化(實際上受到調(diào)制)的窄帶信號；

(2)從頻譜上看，多徑傳播引起了頻率彌散(色散)，即由單個頻率變成了一個窄帶頻譜；

(3)多徑傳播會引起選擇性衰落。由式(2-11)可以得到：

為分析簡單，下面假定只有兩條傳輸路徑，且認(rèn)為接收端的幅度與發(fā)端一樣，只是在到達(dá)時間上差一個時延τ。若發(fā)送信號為f(t)，它的頻譜為F(ω)，記為

設(shè)經(jīng)信道傳輸后第一條路徑的時延為t0，在假定信道衰減為K的情況下，到達(dá)接收端的信號為Kf(t-t0)，相應(yīng)于它的傅氏變換為(2-97)(2-98)另一條路徑的時延為(t0+τ)，假定信道衰減也是K，故它到達(dá)接收端的信號為Kf(t-t0-τ)。相應(yīng)于它的傅氏變換為(2-99)對應(yīng)于它的傅氏變換為

當(dāng)這兩條傳輸路徑的信號合成后得

(2-100)(2-101)因此，

信道的傳遞函數(shù)為

(2-102)

H(ω)的幅頻特性為

(2-103)|H(ω)|—ω特性曲線，如圖2-9所示(K=1)。

圖2-10兩條路徑傳播時選擇性衰落特性

2.5.3變參信道特性的改善空間分集。(2)頻率分集。(3)角度分集。(4)極化分集。各分散的合成信號進行合并的方法通常有：最佳選擇式。(2)等增益相加式。(3)最大比值相加式。圖

2-11三種合并方式的比較

2.6信道內(nèi)的噪聲(干擾)無線電噪聲。(2)工業(yè)噪聲。(3)天電噪聲。(4)內(nèi)部噪聲。

信道內(nèi)噪聲的來源很多，它們表現(xiàn)的形式也多種多樣。根據(jù)噪聲的來源不同，我們可以將它們粗略地分為以下四類。

從噪聲性質(zhì)來區(qū)分可有：單頻噪聲。(2)脈沖干擾。(3)起伏噪聲。2.7通信中常見的幾種噪聲2.7.1白噪聲所謂白噪聲是指它的功率譜密度函數(shù)在整個頻率域(-∞＜ω＜+∞)內(nèi)是常數(shù)，即服從均勻分布。我們稱它為白噪聲，因為它類似于光學(xué)中包括全部可見光頻率在內(nèi)的白光。凡是不符合上述條件的噪聲就稱為有色噪聲，它只包括可見光頻譜的部分頻率。但是，實際上完全理想的白噪聲是不存在的，通常只要噪聲功率譜密度函數(shù)均勻分布的頻率范圍超過通信系統(tǒng)工作頻率范圍很多很多時，就可近似認(rèn)為是白噪聲。例如，熱噪聲的頻率可以高到1013Hz，且功率譜密度函數(shù)在0~1013Hz內(nèi)基本均勻分布，因此可以將它看作白噪聲。理想的白噪聲功率譜密度通常被定義為式中n0的單位是W/Hz。通常，若采用單邊頻譜，即頻率在0到無窮大范圍內(nèi)時，白噪聲的功率譜密度函數(shù)又常寫成(2-104)(2-105)

在信號分析中，我們知道功率信號的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)R(τ)互為傅氏變換對，即(2-106)

因此，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為

(2-107)式(2-107)表明，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是一個位于τ=0處的沖激函數(shù)，它的強度為n0/2。白噪聲的Pn(ω)和Rn(τ)圖形如圖2-12所示。圖2-12理想白噪聲的功率譜密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)圖形(a)功率譜密度函數(shù)；

(b)自相關(guān)函數(shù)

2.7.2高斯噪聲在實際信道中，另一種常見噪聲是高斯型噪聲(即高斯噪聲)。所謂高斯(Gaussian)噪聲是指它的概率密度函數(shù)服從高斯分布(即正態(tài)分布)的一類噪聲，可用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示成式中，a為噪聲的數(shù)學(xué)期望值，也就是均值；σ2為噪聲的方差；exp(x)是以e為底的指數(shù)函數(shù)。(2-108)

通常，通信信道中噪聲的均值a=0，那么，我們由此可得到一個重要的結(jié)論，即在噪聲均值為零時，噪聲的平均功率等于噪聲的方差。這是因為

噪聲的方差(2-109)(2-110)所以，有(2-111)

式(2-108)可用圖2-13表示。由式(2-108)和圖2-13容易看到p(x)具有如下特性：圖

2-13高斯分布的密度函數(shù)

(1)p(x)對稱于x=a直線，即有

p(a+x)=p(a-x)

(2)p(x)在(-∞,a)內(nèi)單調(diào)上升，在(a,+∞)內(nèi)單調(diào)下降，且在點a處達(dá)到極大值，當(dāng)x→±∞時(2-112)(2-113)(3)且有

(2-114)(4)對不同的a，表現(xiàn)為p(x)的圖形左右平移；對不同的σ，p(x)的圖形將隨σ的減小而變高和變窄。(5)當(dāng)a=0,σ=1時，則稱式(2-25)為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布，這時即有(2-115)

現(xiàn)在再來看正態(tài)概率分布函數(shù)F(x)，分布函數(shù)F(x)常用來表示某種概率，這是因為(2-116)(2-117)式中，Φ(x)稱為概率積分函數(shù)，簡稱概率積分，其定義為

(2-118)這個積分不易計算，但可借助于一般的積分表查出不同x值的近似值。

正態(tài)概率分布函數(shù)還經(jīng)常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式，所謂誤差函數(shù)，它的定義式為(2-119)互補誤差函數(shù)

(2-120)2.7.3高斯型白噪聲

我們已經(jīng)知道，白噪聲是根據(jù)噪聲的功率譜密度是否均勻來定義的，而高斯噪聲則是根據(jù)它的概率密度函數(shù)來定義的，那么什么是高斯型白噪聲呢?所謂高斯型白噪聲，是指噪聲的概率密度函數(shù)滿足正態(tài)分布統(tǒng)計特性，同時它的功率譜密度函數(shù)是常數(shù)的一類噪聲。在通信系統(tǒng)理論分析中，特別在分析、計算系統(tǒng)抗噪聲性能時，經(jīng)常假定系統(tǒng)信道中的噪聲為高斯型白噪聲。這是因為，一是高斯型白噪聲可用具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式來表述，便于推導(dǎo)分析和運算；二是高斯型白噪聲確實也反映了具體信道中的噪聲情況，比較真實地代表了信道噪聲的特性。2.7.4窄帶高斯噪聲

當(dāng)高斯噪聲通過以ωc為中心角頻率的窄帶系統(tǒng)時，就可形成窄帶高斯噪聲。所謂窄帶系統(tǒng)是指系統(tǒng)的頻帶寬度B比起中心頻率來小得很多的通信系統(tǒng)，即B<<fc=ωc/2π的系統(tǒng)。這是符合大多數(shù)信道的實際情況的，信號通過窄帶系統(tǒng)后就形成窄帶信號，它的特點是頻譜局限在±ωc附近很窄的頻率范圍內(nèi)，其包絡(luò)和相位都在作緩慢隨機變化?；诖耍S機噪聲通過窄帶系統(tǒng)后，可表示為(2-121)圖2-14窄帶高斯噪聲的頻譜和波形(a)噪聲的頻譜；

(b)噪聲的波形

窄帶高斯噪聲的表達(dá)式(2-121)可變成另一種形式，即式中，nI(t)稱為噪聲的同相分量，即nQ(t)稱為噪聲的正交分量，即(2-122)(2-123)(2-124)幾種結(jié)論：

(1)一個均值為零的窄帶高斯噪聲n(t)，假定它是平穩(wěn)隨機過程，則它的同相分量nI(t)和正交分量nQ(t)也是平穩(wěn)隨機過程，且均值也都為零，方差也相同，即

E［n(t)］=E［nI(t)］=E［nQ(t)］=0

D［n(t)］=D［nI(t)］=D［nQ(t)］(2-125)(2-126)式(2-126)常可表示為

(2-127)式中，σ2n、σ2I、σ2Q分別表示窄帶高斯噪聲、同相分量和正交分量的方差(即功率)。

(2)窄帶高斯噪聲的隨機包絡(luò)服從瑞利分布，即(2-128)(3)窄帶高斯噪聲的相位服從均勻分布，

即

(2-129)窄帶高斯噪聲的隨機包絡(luò)和相位分布的曲線如圖2-15所示。

圖2-15窄帶高斯噪聲的隨機包絡(luò)和相位的曲線(a)隨機包絡(luò)；

(b)

相位

2.7.5余弦信號加窄帶高斯噪聲

在通信系統(tǒng)性能分析中，常有余弦信號加窄帶高斯噪聲的形式，即Acosωt+n(t)形式。如分析2ASK、2FSK、2PSK等信號抗噪聲性能時，其信號均為Acosωt形式，那么信號加上信道噪聲后多為以下形式(2-130)式中

(2-131)(2-132)分別為信號加噪聲的隨機包絡(luò)和隨機相位，下面主要給出幾個有用的結(jié)論：

(1)余弦信號和窄帶高斯噪聲的隨機包絡(luò)服從廣義瑞利分布(也稱萊斯(Rice)分布)。若信號幅度A→0時，其隨機包絡(luò)服從瑞利分布。廣義瑞利分布表達(dá)式為

式中，I0(x)為零階修正貝賽爾函數(shù)。I0(x)在x＞0時，是單調(diào)上升函數(shù)，且I0(0)=1。

(2)余弦信號加窄帶高斯噪聲的隨機相位分布與信道中的信噪比有關(guān)，當(dāng)信噪比很小時，它接近于均勻分布。(2-133)2.8信道容量的概念2.8.1信號帶寬帶寬這個名稱在通信系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)，而且常常代表不同的含義，因此在這里先對帶寬這個名稱作一些說明。從通信系統(tǒng)中信號的傳輸過程來說，實際上會遇到兩種不同含義的帶寬：一種是信號的帶寬(或者是噪聲的帶寬)，這是由信號(或噪聲)能量譜密度G(ω)或功率譜密度P(ω)在頻域的分布規(guī)律來確定的，也就是本節(jié)要定義的帶寬；另一種是信道的帶寬，它是由傳輸電路的傳輸特性所決定的。信號帶寬的符號用B表示，單位為Hz，信道帶寬的符號一般也用B表示，單位也是Hz。本教材中在用到帶寬時將說明是信道帶寬，還是信號帶寬。1)以集中一定百分比的能量(功率)來定義

對能量信號，可由

(2-134)求出B。帶寬B是指正頻率區(qū)域，不計負(fù)頻率區(qū)域的。如果信號是低頻信號，那么能量集中在低頻區(qū)域，就是在0→B頻率范圍內(nèi)的能量。同樣對于功率信號，可由(2-135)

2)以能量譜(功率譜)密度下降3dB內(nèi)的頻率間隔作為帶寬對于頻率軸上具有明顯的單峰形狀(或者一個明顯的主峰)的能量譜(功率譜)密度的信號，且峰值位于f=0處,則信號帶寬為正頻率軸上G(f)(或P(f))下降到3dB(半功率點)處的相應(yīng)頻率間隔,如圖2-16所示。在G(f)—f曲線中，由或

得

(2-136)圖2-163dB帶寬

圖2-17等效矩形帶寬

3)等效矩形帶寬用一個矩形的頻譜代替信號的頻譜，矩形頻譜具有的能量與信號的能量相等，矩形頻譜的幅度為信號頻譜f=0時的幅度,如圖2-17所示。

由

或

得

(2-137)或

(2-138)2.8.2信道容量

1.離散信道的信道容量在實際信道中，干擾總是存在的。對于離散信道，當(dāng)信道中不存在干擾時，離散信道的輸入符號X與輸出符號Y之間有一一對應(yīng)的確定關(guān)系；當(dāng)信道中存在干擾時，則輸入符號與輸出符號之間存在某種隨機性，它們之間已不存在一一對應(yīng)的確定關(guān)系，而具有一定的統(tǒng)計相關(guān)性。離散信道的特性一般用轉(zhuǎn)移概率來描述。

設(shè)離散信道模型如圖2-18所示。圖2-18(a)是無噪聲信道。圖中，P(xi)表示發(fā)送符號xi的概率，P(yi)表示收到符號yi的概率，P(yi/xi)是轉(zhuǎn)移概率,這里i=1，2，3,…，n。由于信道無噪聲，故它的輸入與輸出一一對應(yīng)，即P(xi)與P(yi)相同。圖2-18(b)是有噪聲信道。圖中，P(xi)是發(fā)送符號xi的概率，這里i=1，2，…，n，P(yj)是收到符號yj的概率，這里,j=1，2，…，m，P(yj/xi)或P(xi/yi)是轉(zhuǎn)移概率。在這種信道中，輸入與輸出之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)輸入一個x1時，則輸出可能為y1，也可能是y2或ym等等。可見，輸出與輸入之間成為隨機對應(yīng)的關(guān)系。不過，它們之間具有一定的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)，并且這種隨機對應(yīng)的統(tǒng)計關(guān)系就反映在信道的條件(或轉(zhuǎn)移)概率上。因此，可以用信道的條件概率來合理地描述信道干擾和信道的統(tǒng)計特性。圖2-18離散信道模型(a)無噪聲信道；

(b)

有噪聲信道

于是，在有噪聲的信道中，不難得到發(fā)送符號為xi而收到的符號為yj時所獲得的信息量。它等于未發(fā)送符號前對xi的不確定程度減去收到符號yj后對xi