第3章最小二乘法Catalogue目錄函數(shù)的形式與參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義2.1.散點(diǎn)圖案例分析最小二乘法3.4.思考與練習(xí)5.對于宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的消費(fèi)與收入的關(guān)系、投資學(xué)中的資本資產(chǎn)定價模型（CAPM），它們的理論模型都以類似于的函數(shù)形式呈現(xiàn)。這種理論模型下的變量間的具體函數(shù)關(guān)系究竟如何表示，是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)心的主要問題。當(dāng)我們能夠擁有足夠有效的樣本，就可以運(yùn)用最小二乘法，通過和樣本觀測值估計(jì)出函數(shù)中的參數(shù)與的值，推斷出變量與間的具體函數(shù)形式。01散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖假設(shè)變量X、Y之間存在某種函數(shù)關(guān)系，換言之，

，那么就存在一組觀察值

分布于函數(shù)的圖像上。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中，雖然存在一組經(jīng)濟(jì)變量的觀察值

但他們之間的依存關(guān)系卻無從得知，難易給出函數(shù)關(guān)系的呈現(xiàn)形式。在這種情況下，用坐標(biāo)的橫軸和縱軸分別表示變量X和Y，每組觀測值表示坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)，n組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中就有n個點(diǎn)，稱為散點(diǎn)，在坐標(biāo)系中由散點(diǎn)形成的圖稱為散點(diǎn)圖（scatterdiagram）。我們可以采用散點(diǎn)圖來直觀的觀察經(jīng)濟(jì)變量X和Y之間的依存關(guān)系。散點(diǎn)圖是數(shù)據(jù)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的分布圖，它表示被解釋變量（因變量或應(yīng)變量）隨解釋變量（自變量）變化的大致趨勢。散點(diǎn)圖的畫法比較簡單，直接在直角坐標(biāo)系中把所有觀測值所對應(yīng)的點(diǎn)描繪出來即可。散點(diǎn)圖

可見，描繪出的變量間的關(guān)系要么是確定性關(guān)系，也就是由一個解釋變量可以確切計(jì)算出唯一的一個被解釋變量，更一般地講，變量之間可以用確切地?cái)?shù)學(xué)表達(dá)式表述；要么是相關(guān)關(guān)系，盡管變量間存在關(guān)系，但卻不能用一個數(shù)學(xué)表達(dá)式由一個變量確切的求出另一個變量，而是由一個變量對應(yīng)一個變量，換言之，難以由一個變量的數(shù)值精確地求得另一個變量的關(guān)系，即便是存在密切的關(guān)系。例如，企業(yè)的某種產(chǎn)品的銷售額Y與銷售量X之間是確定性關(guān)系，因?yàn)殇N售價格P給定時，銷售額完全由銷售量確定。但是，若考察居民儲蓄和居民收入這兩種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的關(guān)系時，它們之間未必存在完全確定的關(guān)系。也就是說，即便有些家庭的收入是相同的，而家庭儲蓄卻往往呈現(xiàn)出不同；反過來也是如此，即使有些家庭的儲蓄相同，但這些家庭的收入水平也不一定相同。因此，反映出居民儲蓄并不完全由居民收入水平?jīng)Q定，盡管兩者之間有很緊密的關(guān)系，說明收入不是影響儲蓄的唯一因素，還有其它因素影響儲蓄。散點(diǎn)圖年份人均居民消費(fèi)水平人均GDP年份人均居民消費(fèi)水平人均GDP1990831.21662.520077453.720494.41991932.01912.220088504.524100.219921116.02334.420099248.526179.519931393.03027.2201010575.230807.919941833.04080.9201112668.136277.119952329.45091.1201214073.739771.419962789.05898.2201315586.243496.619973002.06480.5201417220.346911.719983159.06859.9201518857.249922.319993346.07229.3201620800.653783.020003711.57942.1201722968.559592.320013967.88716.7201825244.865533.720024269.59506.2201927504.170077.720034555.310666.1202027438.671828.220045071.112486.9202131013.081370.020055687.914368.0202231717.885698.120066318.916738.0

資料來源：中華人民共和國國家統(tǒng)計(jì)局（/index.htm）假設(shè)變量X、Y的觀測值由表3-1給出，其中，代表人均GDP，代表人均居民消費(fèi)水平，樣本區(qū)間為1990～2022年，則可用EViews軟件來生成散點(diǎn)圖。假定已經(jīng)按照第1章中介紹的方法建立了類似于圖1-9的包括序列對象為X和Y的工作文件，如圖3-1所示。在圖3-1所示工作文件窗口下，依次選中序列對象和，點(diǎn)擊“Open/asGroup”，就會出現(xiàn)圖3-2的組對象窗口，需要強(qiáng)調(diào)的是要先選出現(xiàn)在橫坐標(biāo)的變量。然后，在如圖3-2所示的組對象窗口下選擇如圖3-3所示的散點(diǎn)圖實(shí)現(xiàn)方式“View/Graph/Scatter/SimpleScatter”，就會得到如圖3-4所示的散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖圖3-1Eviews的工作文件窗口圖3-2工作文件下的組窗口散點(diǎn)圖圖3-3散點(diǎn)圖的實(shí)現(xiàn)方式圖3-4Eviews生成的散點(diǎn)圖02函數(shù)的形式與參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義函數(shù)的形式與參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義函數(shù)的形式與參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義函數(shù)的形式與參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義03最小二乘法概念最小二乘法基本思想最小二乘法最小二乘法圖3-5離差的示意圖最小二乘法最小二乘法最小二乘法注意，在這里，也許要問如果

不成立呢？答案是：為了能夠?qū)崿F(xiàn)所關(guān)注的回歸話題，并且是有意義的，就不會存在這種不成立的問題。實(shí)際上，樣本數(shù)為零是毫無意義的，問題的詳細(xì)解釋留給讀者思考與練習(xí)。令，

，其中

和

分別為樣本觀測值的均值，換言之，

，

。于是有

（3-13）

（3-14）這樣一來，對公式（3-12）給出的參數(shù)估計(jì)值的第二個式子等式右邊的分子分母都除以n，就可得到

，方程組（3-11）的第一個式子等式右邊的分子分母都除以n，就可得到

，于是有

（3-15）

很顯然，最小二乘回歸線

通過樣本均值點(diǎn)

這是因?yàn)橐虼?，?dāng)

時，

。最小二乘法最小二乘法最小二乘法圖3-6最小二乘法的Eviews實(shí)現(xiàn)最小二乘法圖3-6最小二乘法的Eviews實(shí)現(xiàn)或在主菜單下，選擇Quick/EstimateEquation或Object/newobject/Equation，就會進(jìn)入如下類似于圖3-6的窗口，在方程表達(dá)式對話框中輸入“YCX”，注意輸入時，最左邊的變量必須是被解釋變量Y，后面緊跟著的是解釋變量（包括常變量C），對先后順序沒有要求，“YCX”之間要用空格分開。Eviews中常用來表示常數(shù)項(xiàng)，若不需要截距項(xiàng)，可省略，直接鍵入“YX”。圖3-6中顯示的就是鍵入“YCX”后的情形。圖形左下“Method”欄列示的是估計(jì)方法，點(diǎn)擊下拉菜單會出現(xiàn)圖中的情形，其中包括：LS（最小二乘法），TSLS（二階段最小二乘法），ARCH（自回歸條件異方差），GMM（廣義矩法），BINARY（二元選擇模型），ORDERED（有序選擇模型），CENSORED（刪截模型），COUNT（計(jì)數(shù)模型）。以上估計(jì)方法，除了最小二乘法外還有一些會在后面的章節(jié)中涉及到。最小二乘法

選中LS（實(shí)際上系統(tǒng)默認(rèn)的就是最小二乘法），點(diǎn)擊“OK”就可以實(shí)現(xiàn)最小二乘估計(jì)。估計(jì)結(jié)果如圖3-7所示。另外，在命令窗口中鍵入“LSYCX”也可實(shí)現(xiàn)圖3-7所示的結(jié)果。圖3-7Eviews輸出的最小二乘估計(jì)結(jié)果最小二乘法圖3-7Eviews輸出的最小二乘估計(jì)結(jié)果在圖3-7中，Coefficient對應(yīng)的列是參數(shù)估計(jì)值，即（3-6）式中的和的值，分別為246.9011、0.3728；Std.Error對應(yīng)的列是參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差（用于衡量回歸系數(shù)的可靠性，該值越小表示估計(jì)值越可靠）；t-Statistic對應(yīng)的列是t統(tǒng)計(jì)量；Prob對應(yīng)的列是參數(shù)估計(jì)值為零的概率；R-squared表示判定系數(shù)；AdjustedR-squared表示調(diào)整后的判定系數(shù)；S.E.ofregression表示回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差；Sumsquaredresid表示殘差平方和；Loglikelihood表示對數(shù)似然估計(jì)值；Durbin-Watsonstat表示統(tǒng)計(jì)量；Meandependentvar表示被解釋變量的均值；S.D.dependentvar表示被解釋變量的標(biāo)準(zhǔn)差；Akaikeinfocriterion表示赤池信息準(zhǔn)則；Schwarzcriterion表示施瓦茨信息準(zhǔn)則；F-statistic表示F統(tǒng)計(jì)量；Prob（F-statistic）表示F統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的概率。最小二乘法04案例分析表3-210位銷售代理商的推銷電話次數(shù)和復(fù)印機(jī)的銷售數(shù)量案例分析

一般來講，某種商品的銷售量的多與少與推銷的努力程度的高低有關(guān)聯(lián)，推銷力度越強(qiáng)，銷售量越大。表3-2給出了10位銷售代理商的推銷電話次數(shù)和復(fù)印機(jī)的銷售數(shù)量的數(shù)據(jù)。試通過散點(diǎn)圖觀察兩者之間的關(guān)系，推測兩者之間的函數(shù)關(guān)系，并采用最小二乘法估計(jì)出參數(shù)值。代理商推銷電話次數(shù)復(fù)印機(jī)的銷售數(shù)量TomKeller2030JeffHall4060BrianVirost2040CregFish3060SusanWelch1030CarlosRamirez1040RichNiles2040MikeKiel2050MarkReynolds2030SoniJones3070合計(jì)220450資料來源：道格拉斯A.林德、威廉G.馬歇爾、塞繆爾A.沃森，馮燕奇，葉光，聶巧平譯.商務(wù)與經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)方法---全球數(shù)據(jù)集，機(jī)械工業(yè)出版社，2009。01繪制散點(diǎn)圖案例分析

我們用X代表推銷電話次數(shù)，用Y代表復(fù)印機(jī)的銷售數(shù)量，將數(shù)據(jù)錄入Eviews的序列對象之后，依次選中X和Y，點(diǎn)右鍵Open/asGroup/view/Graph/Scatter/SimpleScatter，便生成了散點(diǎn)圖，如圖3-8所示。需要說明的是，圖3-8的由來是在類似于圖3-4的散點(diǎn)圖的基礎(chǔ)上，對著圖形雙擊鼠標(biāo)左鍵，然后，取消“Putgraphinbox”選項(xiàng)而重新描繪的。圖3-8銷電話次數(shù)和復(fù)印機(jī)的銷售數(shù)量（EViews）02采用最小二乘法估計(jì)案例分析表3-3最小二乘法的估計(jì)結(jié)果DependentVariable:X1Method:LeastSquaresDate:06/06/24Time:23:35Sample(adjusted):19901999Includedobservations:10afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.Y11.1842110.3591413.2973450.0109C18.947378.4988192.2294120.0563R-squared0.576102Meandependentvar45.00000AdjustedR-squared0.523115S.D.dependentvar14.33721S.E.ofregression9.900824Akaikeinfocriterion7.599969Sumsquaredresid784.2105Schwarzcriterion7.660487Loglikelihood-35.99985F-statistic10.87248Durbin-Watsonstat2.158866Prob(F-statistic)0.010902

需要注意的是，從表3-3我們可以看出推銷電話次數(shù)和復(fù)印機(jī)的銷售數(shù)量之間存在正相關(guān)關(guān)系，但是這能說明推銷電話打的越多復(fù)印機(jī)銷售量就越多嗎，答案是否定的。因?yàn)槲覀儾荒軆H僅根據(jù)估計(jì)系數(shù)來判斷變量間的因果關(guān)系。方法1：采用EViews軟件下面采用最小二乘法來估計(jì)參數(shù)和的值。依次選中Y和X，點(diǎn)右鍵Open/asEquation，點(diǎn)擊“OK”便得到最小二乘法的估計(jì)結(jié)果，如表3-3所示。02采用最小二乘法估計(jì)案例分析圖3-9銷電話次數(shù)和復(fù)印機(jī)的銷售數(shù)量的散點(diǎn)圖方法2：采用Stata軟件在Stata軟件中，繪制散點(diǎn)圖的過程也能輕松實(shí)現(xiàn)。在此僅進(jìn)行簡單的介紹，更多更具體的運(yùn)用將會在之后的章節(jié)中體現(xiàn)。同樣，對于本例，銷電話次數(shù)和復(fù)印機(jī)的銷售數(shù)量的散點(diǎn)圖的繪制可通過命令-scatterYX來實(shí)現(xiàn)，得到散點(diǎn)圖如圖3-9所示。02采用最小二乘法估計(jì)案例分析圖3-10最小二乘法的估計(jì)結(jié)果來實(shí)現(xiàn)，得到回歸結(jié)果如圖3-10所示05思考與練習(xí)思考與練習(xí)思考與練習(xí)5.表3-4列出了中國1990～2022年的財(cái)政收入Y和國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。表3-4我國財(cái)政收入與國內(nèi)生產(chǎn)總值資料來源：中華人民共和國國家統(tǒng)計(jì)局（/index.htm）。請利用本章所學(xué)內(nèi)容和Eviews軟件，完成如下要求：（1）畫出GDP與財(cái)政收入Y的散點(diǎn)圖。（2）根據(jù)散點(diǎn)圖，請說明這兩個變量之間存在什么關(guān)系。（3）利用最小二乘法估計(jì)出財(cái)政收入與國內(nèi)生產(chǎn)總值之間的數(shù)量關(guān)系。（4）對估計(jì)出的參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義進(jìn)行解釋。思考與練習(xí)思考與練習(xí)7.為研究中國的商品零售價格和國內(nèi)生產(chǎn)總值之間的相互依存關(guān)系，根據(jù)表3-6分析1990～2015年的中國商品零售價格指數(shù)(RPI)與國內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)(GDPIndex)的有關(guān)數(shù)據(jù)。試?yán)米钚《朔ü烙?jì)處兩者之間的關(guān)系，并說明分析結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義。年份RPIGDPIndex年份RPIGDPIndex（197