課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期下課題探究與發(fā)現(xiàn)：雙曲線的漸近線、二次函數(shù)與拋物線教科書(shū)書(shū)名：《數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：（1）了解雙曲線漸近線的推導(dǎo)過(guò)程，會(huì)用距離刻畫(huà)漸近程度。（2）會(huì)把二次函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并從圖像角度深入理解。（3）體會(huì)數(shù)學(xué)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線漸近線的推導(dǎo)過(guò)程，拋物線的圖像平移方式。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)漸近程度的刻畫(huà)。教學(xué)過(guò)程時(shí)間復(fù)習(xí)舊知引入課題觀察性質(zhì)優(yōu)化方案逐步調(diào)整建立模型類比轉(zhuǎn)化形成結(jié)論小結(jié)歸納布置作業(yè)問(wèn)題1我們利用信息技術(shù)直觀給出了是雙曲線的漸近線，如何證明呢？追問(wèn)1如何理解漸近線？我們學(xué)過(guò)的哪些圖像中存在漸近現(xiàn)象呢？反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)甚至正切函數(shù)的圖像均存在漸近現(xiàn)象。反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)是遞減的，當(dāng)x正無(wú)窮大時(shí)，y恒正逐漸接近0；對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=2x，當(dāng)x接近負(fù)無(wú)窮時(shí)，它們的共性是，幾何角度，曲線圖像與漸近線逐漸接近，永不相交；代數(shù)角度，當(dāng)x趨近于某個(gè)數(shù)，一般為無(wú)窮時(shí)，y接近某個(gè)定值，但y取不到這個(gè)值。追問(wèn)2如何研究雙曲線的漸近線呢？在第一象限內(nèi)，x、y均為正，所以方程可變形為，這樣就可以直觀的看出x與y變化趨勢(shì)的相關(guān)性了。追問(wèn)3如何衡量一條直線與一條曲線的接近程度呢？要通過(guò)距離來(lái)衡量。在直線方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，涉及到了幾種重要的距離公式.以指數(shù)函數(shù)為例，只需要取圖像上任意一點(diǎn)，研究該點(diǎn)到漸近線的距離就可以了。由于特殊性，可用點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小來(lái)衡量接近的程度.方案1：在雙曲線第一象限的圖像上取點(diǎn)M，作MQ垂直于y=bax設(shè)M橫坐標(biāo)為x0,從減少變量的角度來(lái)考慮，代入雙曲線方程得M的縱坐標(biāo)是而后利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：.需要研究函數(shù)的單調(diào)性.變形為：分子的部分是定值，分母是遞增的，因此原函數(shù)是單調(diào)遞減的。當(dāng)x無(wú)窮大時(shí)，分母無(wú)限大，y值就無(wú)限小且趨于0.由于分子不為0，所以y取不到0.當(dāng)x0無(wú)限變大時(shí)，對(duì)應(yīng)M向右無(wú)限運(yùn)動(dòng)時(shí)，MQ無(wú)限變小趨于0方案2：利用縱向距離也可以值得研究。作MN平行于漸近線交于N，由于MN與MQ成定倍數(shù)關(guān)系，因此可以替代MQ進(jìn)行研究。M、N的橫坐標(biāo)相同，這樣以來(lái)MN的長(zhǎng)度等于二者縱坐標(biāo)的差，比較容易計(jì)算。這個(gè)結(jié)構(gòu)與MQ表達(dá)式的結(jié)構(gòu)是一致的，后面的研究就基本一樣了。追問(wèn)4除距離外，還有無(wú)其它刻畫(huà)“漸近”的量？方案3：如圖，當(dāng)直線OM的斜率在發(fā)生變化。當(dāng)直線繞（0,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，斜率逐漸是變大的。因此，只要求出OM斜率與ba比較就可以了。結(jié)合前面的運(yùn)算結(jié)果，我們不難求出，化簡(jiǎn)后為，用極限的思想來(lái)分析，當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)，根式下方接近但永遠(yuǎn)小于1，于主雙曲線就接近直線y=bax問(wèn)題2為什么二次函數(shù)的圖象是拋物線？有哪些證明方法？追問(wèn)1：有哪些方式可說(shuō)明二次函數(shù)的圖象是拋物線呢？方式1：二次函數(shù)的圖像滿足拋物線的幾何特征；方式2：二次函數(shù)的表達(dá)式可化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。追問(wèn)2：二次函數(shù)通過(guò)怎樣方式可變形為？由于標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)的拋物線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)對(duì)稱軸是y軸，所以可以通過(guò)兩次平移來(lái)實(shí)現(xiàn)重合，平移方向與原頂點(diǎn)位置有關(guān)，這樣我們就把普通的二次函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)方程所對(duì)應(yīng)的拋物線結(jié)合在一起了。再進(jìn)行“原路返回”，可求得:焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.追問(wèn)3：怎樣證明二次函數(shù)上的點(diǎn)滿足拋物線的定義呢？需要證明，然后把此式化簡(jiǎn)，得到.由于計(jì)算量較大，我們不妨采用等價(jià)變形的方式。右邊由于以上各步均是可逆的，也就證明了