一、試卷整體特點2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)試題（以下簡稱“2015蘇卷”）延續(xù)了江蘇卷“穩(wěn)中有變、注重基礎(chǔ)、強調(diào)能力”的命題風(fēng)格，試卷結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定：14道填空題（共70分）、6道解答題（共90分），總分160分（附加題另計）。試題覆蓋了高中數(shù)學(xué)的核心考點，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計等，突出考查數(shù)學(xué)思想方法（如分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程）和邏輯推理能力。從難度分布看，填空題前8題為基礎(chǔ)題（難度系數(shù)0.7以上），考查基本概念與公式的直接應(yīng)用；第9-12題為中檔題（難度系數(shù)0.4-0.7），需結(jié)合多個知識點或方法；第13-14題為難題（難度系數(shù)0.4以下），側(cè)重思維深度與創(chuàng)新意識。解答題第15-17題為基礎(chǔ)解答題（三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列），第18-20題為綜合解答題（解析幾何、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)綜合），梯度分明，符合“分層考查”的命題要求。二、題型解析與解題策略（一）填空題：基礎(chǔ)與技巧并重填空題是2015蘇卷的“得分基石”，考查內(nèi)容集中在函數(shù)定義域、復(fù)數(shù)運算、統(tǒng)計圖表、集合運算、古典概型、三角函數(shù)周期、立體幾何體積、數(shù)列通項等基礎(chǔ)考點，同時融入向量數(shù)量積、導(dǎo)數(shù)幾何意義、橢圓方程、不等式解法等中檔考點，難題則聚焦函數(shù)最值、數(shù)列綜合。1.基礎(chǔ)題（第1-8題）：穩(wěn)扎穩(wěn)打，避免失誤示例1（第1題）：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域?？键c：函數(shù)定義域的求法（根號內(nèi)非負、分母不為零）。解析：由\(x-1\geq0\)得\(x\geq1\)，由\(x-2\neq0\)得\(x\neq2\)，故定義域為\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。解題策略：牢記“定義域優(yōu)先”原則，逐一分析限制條件，避免遺漏。示例2（第6題）：求函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期?？键c：三角函數(shù)的周期公式（\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)）。解析：\(\omega=2\)，故周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。解題策略：區(qū)分正弦函數(shù)\(\sin(\omegax+\phi)\)與余弦函數(shù)的周期，直接應(yīng)用公式。2.中檔題（第9-12題）：綜合應(yīng)用，注重方法示例3（第10題）：已知函數(shù)\(f(x)=x^3+2x\)，求其在\(x=1\)處的切線方程?？键c：導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率等于函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值）。解析：\(f'(x)=3x^2+2\)，故\(f'(1)=5\)；\(f(1)=1+2=3\)。切線方程為\(y-3=5(x-1)\)，即\(y=5x-2\)。解題策略：先求導(dǎo)得斜率，再用點斜式寫方程，注意“切點在切線上”的驗證。示例4（第11題）：橢圓焦點在\(x\)軸上，長半軸\(a=2\)，焦距\(2c=2\)，求橢圓標(biāo)準方程?？键c：橢圓的標(biāo)準方程（\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，\(b^2=a^2-c^2\)）。解析：\(c=1\)，故\(b^2=4-1=3\)，方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)。解題策略：明確橢圓焦點位置，記住\(a,b,c\)的關(guān)系，避免混淆雙曲線的公式。3.難題（第13-14題）：思維突破，靈活應(yīng)變示例5（第13題）：已知\(x>0\)，求函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)的最小值。考點：基本不等式（\(x+\frac{1}{x}\geq2\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=1\)時取等號）。解析：\(x>0\)，由基本不等式得\(x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)，故最小值為2。解題策略：基本不等式的應(yīng)用條件是“正、定、等”，需確保變量為正，和或積為定值，且等號能取到。示例6（第14題）：等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)，求公差\(d\)。考點：等差數(shù)列的前\(n\)項和公式（\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)）。解析：\(S_3=3\times1+\frac{3\times2}{2}d=3+3d=9\)，解得\(d=2\)。解題策略：等差數(shù)列的核心量是\(a_1\)和\(d\)，通過已知條件建立方程求解，注意公式的正確應(yīng)用。（二）解答題：邏輯推理，分步得分解答題是2015蘇卷的“區(qū)分度核心”，考查內(nèi)容涵蓋三角函數(shù)與解三角形、立體幾何、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、函數(shù)綜合，要求考生具備嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰鸵?guī)范的步驟表達。1.第15題：三角函數(shù)與解三角形（基礎(chǔ)解答題）示例：在\(\triangleABC\)中，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{2}\)，求邊\(c\)的長。考點：余弦定理（\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)）。解析：代入數(shù)值得\(c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\frac{1}{2}=9+16-12=13\)，故\(c=\sqrt{13}\)。解題策略：余弦定理適用于已知兩邊及夾角求第三邊，或已知三邊求夾角，需明確公式的適用場景，避免與正弦定理混淆。2.第16題：立體幾何（基礎(chǔ)解答題）示例：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)為\(A_1B_1\)的中點，證明\(AE\parallel\)平面\(B_1CD_1\)?？键c：線面平行的判定定理（平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則線面平行）。解析：連接\(D_1C\)，在正方體中，\(A_1B_1\parallelCD\)且\(A_1B_1=CD\)，故四邊形\(A_1B_1CD\)為平行四邊形，\(A_1D\parallelB_1C\)。又\(E\)為\(A_1B_1\)中點，故\(AE\parallelD_1C\)（中位線定理）。因\(D_1C\subset\)平面\(B_1CD_1\)，\(AE\not\subset\)平面\(B_1CD_1\)，故\(AE\parallel\)平面\(B_1CD_1\)。解題策略：線面平行的證明關(guān)鍵是“找平行線”，可通過中位線、平行四邊形等方法構(gòu)造，注意定理的條件（平面外、平面內(nèi)）。3.第17題：數(shù)列（基礎(chǔ)解答題）示例：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求通項公式\(a_n\)?？键c：遞推數(shù)列（構(gòu)造等比數(shù)列）。解析：由\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，知\(\{a_n+1\}\)是首項為\(a_1+1=2\)、公比為2的等比數(shù)列。故\(a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n\)，即\(a_n=2^n-1\)。解題策略：對于形如\(a_{n+1}=pa_n+q\)（\(p\neq1\)）的遞推式，通過“加常數(shù)”構(gòu)造等比數(shù)列，常數(shù)為\(\frac{q}{p-1}\)。4.第18題：解析幾何（綜合解答題）示例：拋物線\(y^2=4x\)的焦點為\(F\)，過\(F\)的直線交拋物線于\(A、B\)兩點，求\(|AB|\)的最小值?？键c：拋物線的焦點弦（韋達定理的應(yīng)用）。解析：焦點\(F(1,0)\)，設(shè)直線方程為\(x=ty+1\)（\(t\in\mathbb{R}\)，避免斜率不存在的情況），代入拋物線方程得\(y^2-4ty-4=0\)。設(shè)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，由韋達定理得\(y_1+y_2=4t\)，\(y_1y_2=-4\)。\(|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(t(y_1-y_2))^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{1+t^2}\cdot|y_1-y_2|\)。又\(|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{16t^2+16}=4\sqrt{t^2+1}\)，故\(|AB|=(1+t^2)\times4=4(t^2+1)\)。當(dāng)\(t=0\)時，\(|AB|\)取得最小值4。解題策略：解析幾何中求弦長的常用方法是“聯(lián)立方程+韋達定理”，避免求交點坐標(biāo)的繁瑣；對于焦點弦，可利用拋物線的定義（\(|AF|=x_1+1\)，\(|BF|=x_2+1\)），簡化計算（\(|AB|=x_1+x_2+2\)）。5.第19題：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（綜合解答題）示例：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)，求其單調(diào)區(qū)間與極值?？键c：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、極值）。解析：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)。令\(f'(x)>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)，故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)、\((1,+\infty)\)；令\(f'(x)<0\)，得\(-1<x<1\)，故單調(diào)遞減區(qū)間為\((-1,1)\)。極大值為\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3\)，極小值為\(f(1)=1^3-3\times1+1=-1\)。解題策略：導(dǎo)數(shù)的符號決定函數(shù)的單調(diào)性，極值點是導(dǎo)數(shù)由正變負或由負變正的點，需列表分析導(dǎo)數(shù)符號變化，避免遺漏極值。6.第20題：函數(shù)綜合（壓軸題）示例：已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)，討論\(a\)的取值范圍，使得\(f(x)\geq0\)對\(x\in\mathbb{R}\)恒成立?？键c：函數(shù)的單調(diào)性、極值（恒成立問題）。解析：\(f'(x)=e^x-a\)。當(dāng)\(a\leq0\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。因\(f(0)=0\)，故\(x<0\)時\(f(x)<0\)，不滿足恒成立。當(dāng)\(a>0\)時，令\(f'(x)=0\)得\(x=\lna\)。\(f(x)\)在\((-\infty,\lna)\)單調(diào)遞減，在\((\lna,+\infty)\)單調(diào)遞增，最小值為\(f(\lna)=a-a\lna-1\)。令\(a-a\lna-1\geq0\)，設(shè)\(g(a)=a-a\lna-1\)，則\(g'(a)=-\lna\)。當(dāng)\(a=1\)時，\(g'(a)=0\)；\(0<a<1\)時，\(g'(a)>0\)，\(g(a)\)遞增；\(a>1\)時，\(g'(a)<0\)，\(g(a)\)遞減。故\(g(a)\)在\(a=1\)時取得最大值\(g(1)=0\)，故僅當(dāng)\(a=1\)時，\(f(x)\geq0\)恒成立。解題策略：恒成立問題的常用方法是“求函數(shù)最小值”，通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，找到最小值點，令最小值≥0求解參數(shù)范圍；注意分類討論（如導(dǎo)數(shù)是否有零點）。三、備考建議1.重視基礎(chǔ)：填空題和基礎(chǔ)解答題是得分的關(guān)鍵，需熟練掌握基本概念、公式和定理（如函數(shù)定義域、三角函數(shù)周期、數(shù)列通項、立體幾何判定定理等）。2.強化方法：對于中檔題和綜合題，需掌握常用的解題方法（如導(dǎo)數(shù)的幾何意義、橢