高一數(shù)學必修一知識點總結(jié)第一章集合集合是高中數(shù)學的基礎(chǔ)，是研究函數(shù)的前提，核心在于元素與集合的關(guān)系及集合間的運算。1.1集合的基本概念集合定義：由確定的（元素歸屬明確）、互異的（元素不重復）、無序的（元素順序無關(guān)）對象組成的整體，記作$\{a,b,c,\dots\}$。元素與集合的關(guān)系：屬于（$\in$）、不屬于（$\notin$），如$1\in\mathbb{N}$，$0\notin\mathbb{N}^*$。常用數(shù)集：自然數(shù)集：$\mathbb{N}$（含0）；正整數(shù)集：$\mathbb{N}^*$或$\mathbb{N}_+$（不含0）；整數(shù)集：$\mathbb{Z}$；有理數(shù)集：$\mathbb{Q}$（分數(shù)與整數(shù)的統(tǒng)稱）；實數(shù)集：$\mathbb{R}$（有理數(shù)與無理數(shù)的統(tǒng)稱）。集合的表示方法：列舉法：逐一列出元素，如$\{1,2,3\}$（適用于有限集）；描述法：用特征性質(zhì)表示，如$\{x|x>2,x\in\mathbb{R}\}$（適用于無限集）；圖示法：Venn圖（直觀表示集合關(guān)系）。1.2集合間的基本關(guān)系子集：若$A$的所有元素都屬于$B$，則$A\subseteqB$（讀作“$A$包含于$B$”）；真子集：若$A\subseteqB$且$A\neqB$，則$A\subsetB$（讀作“$A$真包含于$B$”）；相等集合：若$A\subseteqB$且$B\subseteqA$，則$A=B$；空集：不含任何元素的集合，記作$\emptyset$，是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集（如$\emptyset\subset\{1\}$）。1.3集合的基本運算交集：$A\capB=\{x|x\inA\text{且}x\inB\}$（公共元素組成的集合）；并集：$A\cupB=\{x|x\inA\text{或}x\inB\}$（所有元素組成的集合）；運算性質(zhì)（德摩根定律）：第二章函數(shù)的概念與基本性質(zhì)函數(shù)是高中數(shù)學的核心，需重點掌握三要素（定義域、值域、對應(yīng)法則）及單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)。2.1函數(shù)的概念定義：設(shè)$A$、$B$為非空數(shù)集，若對$A$中任意$x$，通過對應(yīng)法則$f$，$B$中存在唯一$y$與之對應(yīng)，則稱$f:A\toB$為函數(shù)，記作$y=f(x)$（$x\inA$）。三要素：定義域（$A$）：自變量$x$的取值范圍（需滿足實際意義或數(shù)學限制，如分式分母≠0、偶次根式被開方數(shù)≥0）；值域（$f(A)$）：函數(shù)值$y$的集合（$f(A)\subseteqB$）；對應(yīng)法則（$f$）：核心要素（如$f(x)=x^2$表示“平方”運算）。函數(shù)相等：兩函數(shù)相等當且僅當定義域和對應(yīng)法則完全相同（與變量符號無關(guān)，如$f(x)=x$與$g(t)=t$是相等函數(shù)）。2.2函數(shù)的單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域為$I$，區(qū)間$D\subseteqI$：增函數(shù)：對任意$x_1<x_2\inD$，都有$f(x_1)<f(x_2)$（圖像上升）；減函數(shù)：對任意$x_1<x_2\inD$，都有$f(x_1)>f(x_2)$（圖像下降）。判斷方法：定義法（五步）：取值→作差→變形（因式分解/配方）→定號→結(jié)論；圖像法：觀察圖像的上升/下降趨勢；復合函數(shù)單調(diào)性：“同增異減”（若$f(g(x))$，$f$與$g$單調(diào)性相同則增，相反則減，如$f(x)=2^x$（增），$g(x)=x^2$（減區(qū)間$(-\infty,0)$），則$f(g(x))=2^{x^2}$在$(-\infty,0)$減）。應(yīng)用：求最值（單調(diào)區(qū)間端點取最值，如$f(x)=x$在$[1,2]$上的最大值為2）、比較大小（如$f(x)$增，$x_1<x_2$則$f(x_1)<f(x_2)$）。2.3函數(shù)的奇偶性定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$定義域為$D$，且$D$關(guān)于原點對稱：偶函數(shù)：對任意$x\inD$，$f(-x)=f(x)$（圖像關(guān)于$y$軸對稱，如$f(x)=x^2$）；奇函數(shù)：對任意$x\inD$，$f(-x)=-f(x)$（圖像關(guān)于原點對稱，如$f(x)=x^3$）。判斷步驟：1.檢查定義域是否關(guān)于原點對稱（若否，直接非奇非偶）；2.計算$f(-x)$，與$f(x)$比較（相等為偶，相反為奇，否則非奇非偶）。性質(zhì)：偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反（如$f(x)=x^2$在$(-\infty,0)$減，$(0,+\infty)$增）；奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同（如$f(x)=x^3$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$都增）。第三章基本初等函數(shù)（Ⅰ）包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，需掌握其定義、圖像及性質(zhì)。3.1指數(shù)函數(shù)有理指數(shù)冪：零指數(shù)冪：$a^0=1$（$a\neq0$）；負整數(shù)指數(shù)冪：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$，$n\in\mathbb{N}^*$）；分數(shù)指數(shù)冪：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$（$a>0$，$m,n\in\mathbb{N}^*$，$n>1$）。指數(shù)運算性質(zhì)（$a>0$，$b>0$，$r,s\in\mathbb{Q}$）：$a^r\cdota^s=a^{r+s}$；$(a^r)^s=a^{rs}$；$(ab)^r=a^r\cdotb^r$。定義：形如$y=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）的函數(shù)（定義域$\mathbb{R}$，值域$(0,+\infty)$）。圖像與性質(zhì)：性質(zhì)$a>1$$0<a<1$單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)過定點$(0,1)$$(0,1)$$x>0$時$y>1$$0<y<1$$x<0$時$0<y<1$$y>1$3.2對數(shù)函數(shù)定義：若$a^x=N$（$a>0$且$a\neq1$），則$x=\log_aN$（$a$為底數(shù)，$N$為真數(shù)，定義域$N>0$，值域$\mathbb{R}$）。對數(shù)運算性質(zhì)（$a>0$且$a\neq1$，$M>0$，$N>0$）：$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$；$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$；$\log_aM^n=n\log_aM$；換底公式：$\log_aN=\frac{\log_bN}{\log_ba}$（$b>0$且$b\neq1$，如$\log_25=\frac{\ln5}{\ln2}$）。定義：形如$y=\log_ax$（$a>0$且$a\neq1$）的函數(shù)（定義域$(0,+\infty)$，值域$\mathbb{R}$）。圖像與性質(zhì)（與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于$y=x$對稱）：性質(zhì)$a>1$$0<a<1$單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)過定點$(1,0)$$(1,0)$$x>1$時$y>0$$y<0$$0<x<1$時$y<0$$y>0$3.3冪函數(shù)定義：形如$y=x^\alpha$（$\alpha$為常數(shù)）的函數(shù)（定義域隨$\alpha$變化）。常見冪函數(shù)圖像與性質(zhì)：函數(shù)$y=x$$y=x^2$$y=x^3$$y=x^{\frac{1}{2}}$$y=x^{-1}$定義域$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$[0,+\infty)$$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性$\mathbb{R}$上增$(-\infty,0)$減，$(0,+\infty)$增$\mathbb{R}$上增$[0,+\infty)$增$(-\infty,0)$減，$(0,+\infty)$減過定點$(1,1)$$(1,1)$$(1,1)$$(1,1)$$(1,1)$第四章函數(shù)的應(yīng)用包括函數(shù)與方程（零點、二分法）及函數(shù)模型（一次、二次、指數(shù)、對數(shù)模型）。4.1函數(shù)與方程零點定義：函數(shù)$f(x)$的零點是方程$f(x)=0$的實根（不是點，如$f(x)=x-1$的零點是1）。零點存在定理：若$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)\cdotf(b)<0$，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)至少有一個零點（如$f(x)=x^2-1$在$(-2,2)$內(nèi)有零點1和-1）。二分法（求近似零點）：1.確定$[a,b]$，使$f(a)\cdotf(b)<0$；2.計算中點$c=\frac{a+b}{2}$；3.若$f(c)=0$，則$c$是零點；若$f(a)\cdotf(c)<0$，則零點在$(a,c)$，否則在$(c,b)$；4.重復步驟2-3，直到區(qū)間長度小于精度要求（如取$[1,2]$，精度0.1，最終區(qū)間$[1.375,1.4375]$，近似零點1.4）。4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用常見模型：一次函數(shù)（$y=kx+b$）：線性增長（如勻速運動）；二次函數(shù)（$y=ax^2+bx+c$）：最值問題（如利潤最大化）；指數(shù)函數(shù)（$y=ab^x$，$b>1$）：指數(shù)增長（如人口增長、細菌繁殖）；對數(shù)函數(shù)（$y=alog_bx$，$b>1$）：對數(shù)增長（如學習效率）。應(yīng)用步驟：1.審題（明確變量關(guān)系）；2.建模（選擇合適模型，確定參數(shù)）；3.求解（用數(shù)學方法求最值或解方程）；4.檢驗（驗證結(jié)果是否符合實際）。第五章解題技巧與易錯點總結(jié)5.1常用解題技巧求定義域：分式分母≠0；偶次根式被開方數(shù)≥0；對數(shù)真數(shù)>0；指數(shù)函數(shù)定義域$\mathbb{R}$。例：求$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\log_2(x+1)$的定義域：$\begin{cases}x-1>0\\x+1>0\end{cases}$→$x>1$，定義域$(1,+\infty)$。求值域：配方法（二次函數(shù)）：$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$→值域$[2,+\infty)$；換元法（根號）：$y=\sqrt{x-1}+1$（令$t=\sqrt{x-1}\geq0$）→$y=t+1$→值域$[1,+\infty)$；單調(diào)性法（單調(diào)函數(shù)）：$y=x+\frac{1}{x}$（$x>0$）→在$(0,1)$減，$(1,+\infty)$增→值域$[2,+\infty)$。判斷奇偶性：例：判斷$f(x)=\frac{x^2+1}{x}$的奇偶性：定義域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$（關(guān)于原點對稱）；$f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{-x}=-\frac{x^2+1}{x}=-f(x)$→奇函數(shù)。5.2易錯點提醒集合互異性：$\{1,2,2\}$應(yīng)表示為$\{1,2\}$；函數(shù)三要素：$f(x)=x$與$g(x)=\frac{x^2}{x}$不是相等函數(shù)（定義域不同，$g(x)$定義域為$x\neq0$）；指數(shù)函數(shù)底數(shù)限制：$y=(-2)^x$不是指數(shù)函數(shù)（底數(shù)需>0）；對數(shù)函數(shù)真數(shù)限制：$\log_2(-1)$無意義（真數(shù)需>0）；奇偶性定義域前提：$f(x)=x^2$在$[0,+\infty)$上不是偶函數(shù)（定義域不關(guān)于原點對稱）；零點存在定理連續(xù)性：$f(x)=\frac{1}{x}$在$(-1,1)$內(nèi)$f(-1)\cdotf(1)<0$，但無零點（不連續(xù)）。附錄常用公式匯總指數(shù)運算：$a^r\cdota^s=a^{r+s}$；$(a^r)^s=a^{rs}$；對數(shù)運算：$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$；$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$；二次函數(shù)最值：$y=ax^2+bx+c$，當$x=-\frac{2a}$時，$y_{\text{最值}}=\frac{4ac-b