注冊巖土工程師(基礎(chǔ)考試-上午?高等數(shù)

學(xué))模擬試卷第1套

一、單項選擇題(本題共29題，每題1.0分，共29

分。)

r

1、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則J(?dxLf(x,y)dy等7：

flgflfy

A.dyIf(z,y)clrB.|dyj?/(x,j)cLr

C.j：dy/<x,>)dxD.：dy//(x,y)dT

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：畫出積分區(qū)域D的圖形(見解圖)，再按先x后y順序?qū)懗啥畏e

IyY]&yJ。Jy

y尸X

分。

2

1=dr

2、設(shè)二重積分-/a)f(x,y)dy交換積分次序后，則I等于下列哪一

11+?iri+

A.B?dy_/(x,j)dx

J-lJ1-7|-Z

?iri+/r-J

/(j*,y)dzD.dy_f(x.y)dx

JoJi-yi-/

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：畫出積分區(qū)域D的圖形，再寫出先x后y的積分表達式。如下:

由3=_/23一/經(jīng)配方得々—I)2+丫2=],解出*

11-+/TV

14-J\一｝

一句—也

=；i±yi-y.寫出先x后y積分的不等式組

3、設(shè)D為圓域x2+y2g4,則下列式子中哪一式是正確的？

A.Jsin(x2+yz)da-dy=Jsin4(Lrdy

DD

B.Jsinlz?+y)"心=Jddjsin/dr

C.sin(x2+y2)djrdj=dOfrsinr^dr

oJ0

2*ri

D.sind+y?)&rdy=d。sinr^dr

oJo

A、

B、

c、

D、

標準答案：C

知識點解析：化為極坐標系下的二次積分，面積元素為rdrd。，把x=rcos。，y=

2227t22

rsinO代入計算。0sin(x+y)dxdy=JodOJosinrrdr=

2n22

fod0forsinrdro

4、化二重積分為極坐標系下的二次積分,則?dxJ。f(x,y)dy等于下列哪一式？

A.IIf(rcostf,rsin^)rdrB.Jddjf(rcos^,rsin^)rdr

C.PdOf(rcos^,rsin^)rdrD.f'ddIf(rcos^,rsin^)rdr

J0JJ0JMl641M

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：畫出積分區(qū)域D的圖形(見解圖)，確定r和。的取值。0值：由。

夕=午,04^^手；-?■

=0變化到44r的確定：在。?4間任意做一條射線，得到穿入點

n

的「值r=tan9sec。，穿出點的r值為r=secOotan0sec9<r<sec0,最后得0<0<4,

tanOsec0<r<secOo

ITXA2+.2d/dy

5、設(shè)D為2Wx2+y2g2x所確定的區(qū)域,則二重積分?；癁闃O坐

標系下的二次積分時等于：

rfr2

A,J十cos^dtfjrldrB.cosMdr3dr

.-fJyr

*4仔《2H.22

C.d0cosd?/drD.coMd。r3dr

—*RJ-fJa

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析?：畫出積分區(qū)域D的圖形（見解圖），由x2+y2>2得知在圓X?+y2=2

的外部，由x2+y2g2x得知在圓（x—l）2+y2=l的內(nèi)部，D為它們的公共部分，如

圖畫斜線部分。求交點，解方程組得交點坐標（］,l)^(1

1）o化為極坐標系下的二次的分：-7<‘<孑，々令*2c。祝被積函數(shù)用X

=rcos0,y=rsin。代入，面積元素dxdy=rdrdO,故

jjxJX，+?2ckrdy2M2co^

此rcosff?r?rdr=cosOdffr3”。

W+/=2

、I*s*/*

6、已知n由3x?+y2=z,z=1—x?所圍成，貝lj。f(x,y,z)dV等于:

1一

A.2一J八工B.dN

,1-x*

B.2z/Q,y,z)dz

lrZ

fl-r2

短寸/Q~'N)dz

faj%的,f(x,y,z)dz

l-r*

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：畫出。的立體圖的草圖，注意分清曲面3x?+y2=z,Z=1—x2的上

下位置關(guān)系，圖形z=1—X?在上，3x?+y2=z在下；或畫出。在xOy平面上的投

影圖，消z得Dxy：4xV=l,按先z后y然后z的積分順序，列出積分區(qū)域。的

3]?+32<之41—儲

<_?/I—4—

不等式組：2、“、2化為三次積分，即可得出正確答案。

7、1=°(x2+y2+z2)dV,設(shè)x2+y2+z2<l,則I等于:

A、，dV=Q的體積

B、伊兀OdJo2"d(pJo74sinOdr

C、J(產(chǎn)dOjo7rd(pj()中sincpdr

D、Jo27rdeJo，d(pJo?r4sin0dr

標準答案：C

知識點解析：把?；癁榍蜃鴺讼迪碌娜畏e分。被積函數(shù)代入直角坐標與球面坐

1

n：?o（夕42兀，

2222204夕4K原式

標的關(guān)系式x+y+z=r,體積元素dV=rsin(pdrd0d(po

=fo2nd0fo7ld(pfo1r2.r2sin(pdr=fo27Id0fo7Id(pfo,r4sintpdr.

8、設(shè)。是由x2+y2+z2qz及z靖+y2所確定的立體區(qū)域，則。的體積等于:

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：本題。是由球面里面部分和旋轉(zhuǎn)拋物面外部圍成的（見解圖），立

體在xOy平面上投影區(qū)域：x2+y2<1,du=rdrd0dz,

li-，r一廠2=&產(chǎn)利用柱面坐標寫出三重積分,

曠=川的=二司:肛行之。

9、Q是由曲面z=x?+y2,y=x,y=0,z=1在第一卦限所圍成的閉區(qū)域，f(x,

y,z)在C上連續(xù)，貝Mf(x,y,z)dV等于:

,,f(”,y.z)dzB.jdz

dy22/(/??/)米

->/Jo工

dxJ/(jr?,y*z)dz

c.dy「?f(xty,z)dzDL

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：作出。的立體圖形（見解圖），并確定。在xOy平面上投影區(qū)域

Dxy：x?+y2=l,寫出在直角坐標系下先z后x最后y的三次積分,

,/（R，y，N）、d小V7=

f(.x,y,z)dz9

n

w

10、設(shè)L是從A（l,0）到B（—1,2）的線段，則曲線積分，（x+y）ds等于：

A、一2a

B、272

C、2

D、0

標準答案：B

知識點解析：L的方程：y=—x+l,x=x,ds=J^dz,—IgxWl,化成一元定積

分：/L（x+y）ds=J—J[x+（一x+1）]y/2dx

11、下列各級數(shù)中發(fā)散的是：

A.SB.,LD

i/〃+f*??-i1ln7（Wil）

喀季D.孕T尸（打

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：利用交錯級數(shù)收斂法可判定選項B的級數(shù)收斂：利用正項級數(shù)比值

法可判定選項C的級數(shù)收斂；利用等比級數(shù)收斂性的結(jié)論知選項D的級數(shù)收斂，

故發(fā)散的是選項A的級數(shù)?；蛑苯油ㄟ^正項級數(shù)比較法的極限形式判定，

1

lim券=lim5+1

=lim----=oo.188]

?**“yMlq1，-，>+1E一發(fā)散.故Z

n因級數(shù)13〃-1/干T發(fā)

散。

.g(/-I)”

12、上級數(shù)￡—3”一的收斂域是:

A、[-2,4)

B、(一2,4)

C>(-1,1)

D、L3,3；

標準答案：A

2—

級數(shù)化為"山"'求級數(shù)的收斂半徑。

知識點解析：設(shè)x-1=t,

1

因hml—=lim+力?3"_1

]:再（n+l）3">-T，1

4■—8

3"則R=P=3,即|t|V3

收斂。再判定1=3,1=—3時的斂散性，當i=3時發(fā)散，1=—3時收斂。計算如

818

XLS(―1)"-

下：1=3代入級數(shù)，Li為調(diào)和級數(shù)發(fā)散；t=—3代入級數(shù)，〃為交

錯級數(shù)，滿足萊布尼茲條件收斂。因此一3Wx—1V3,即一2WXV4。

13、已知級數(shù)“7(U2n—U2n+l)是收斂的,則下列結(jié)論成立的是:

A.Su必收斂B.Su.未必收斂

W?1wW-I

C.limtz=0D.自〃.發(fā)散

n?■1

A、

B、

C、

D、

標準答案:B

知識點解析：通過舉例說明。①取Un=l，級數(shù)

級數(shù)發(fā)散,而土（如'一風(fēng)去（1一D=勿o,

??I???1?=Ii?=1I級數(shù)收斂。②取

Z〃.=Eo,級數(shù)收斂，而S(u2,-?2.+1)=So,

Un=0,■T?-1—I-=＞級數(shù)收斂。

1

14、函數(shù)3一“展開成（x—1）的幕級數(shù)是:

(LD：D.2(-1)-^

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

11

知識點解析：將函數(shù)后變形，利用公式['=]+x+x2+...+xn+…（一1,1）,

將函數(shù)展開成X-1基級數(shù)，即變形

1_1_1_11

3^~~2-（x-l）-2/1.r-l\-7.1X-T

*?。┮粡S利用公式寫出最后結(jié)果。

所以

…（三），上鏟.

g（-i尸

15、級數(shù),=1n的收斂性是：

A、絕對收斂

B、條件收斂

C、等比級數(shù)收斂

D、發(fā)散

標準答案：B

自（一1尸=戲，調(diào)和級數(shù)戲發(fā)

知識點解析：把級數(shù)各次取絕對值”7〃

散，即取絕對值后級數(shù)發(fā)散。原級數(shù)為交錯級數(shù)，滿足UnNUn+1，且

001

1淅〃?=。級數(shù)2（一1尸7—

L8--1〃收斂。故原級數(shù)條件收斂。

B.，豆平

n!■?0n!

TXM-One

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：已知ex=ex—"i=e.e^o利用已知函數(shù)的展開式

/=1+Yyjr+^x2+???+-7x,4-???(-oo,+oo)

匕??n-函數(shù)ex—1展開式為：

11I81

e'T=l+77(i-1)+57(7-17+…H—r(x-1)*4-???=1)"(—oo,4-?o

1!4!n\,-ow!

e￡g_1L

所以e'=e.ex1=一l)n(―oo,+co)

17、下列各級數(shù)發(fā)散的是:

81

A.2sin一

nB?斗7尸島n

C.火中D.玄（一D-（白）"

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點3析：選項B為交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法判定其收斂；選項C,由正

■+2

..〃口+i..3”..1〃+21J1

lim=lim-；—r=hm—?-^7=丁〈］

L”un-一十1『八翼〃十1

項級數(shù)比值收斂法判定其收斂。39

2

選項D為等比級數(shù)，公比|q|=3<i,收斂。選項A發(fā)散，用正項級數(shù)比較法判

.1

sin一

..n..smz,

lim―：—=hm-----=11

一；…‘火工?發(fā)散.所以

定?！ㄒ驗檎{(diào)和級數(shù)"發(fā)散。

18、函數(shù)/展開成(x—2)的用級數(shù)是：

A.￡(—】)，鏟B.W守

C.七罟/D.S(x-2)-

>?■0LR?O

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

1

知識點解析：將函數(shù)/變形后，再利用已知函數(shù)千的展開式寫出結(jié)果。

2=]=1]

X2+(1—2)2..J-2

~2~

巳知=l—z+V=-

所以44=譯二尸(告’

=T~(jr-2r

“?o4

oo

2

19、已知函數(shù)?T(U2n_|—U2n)是收斂的，則下列結(jié)果成立的是:

A.ix必收斂B.2〃.未必收斂

0-1I

C.lim〃.=0D.發(fā)散

?f—g|

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：舉反例說明，符合題目條件的級數(shù)有兩種不同的結(jié)果，一種可能收

2,則S(??,-1—u2w)=S0=0?

斂，另一種可能發(fā)散。例：令Un=O,級數(shù)""I"T"I

OO

而石Un收斂，說明選項D錯產(chǎn)。例：令Un=l，級數(shù)

>,則￡(”"-1一“2?)=￡。=°，s

"7而"川卬發(fā)散，說明選項A、C錯誤。綜合

以上兩例，滿足條件的級數(shù)未必收斂。

09

S

20、級數(shù)(―1)8n在岡<1內(nèi)收斂于函數(shù):

A.；B.EC.721D,缶

1-X1-TJ：

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

,223

知識點解析：級數(shù)&T(一I)nxn=1—*X+X2-X，+…,公比q=—X,當|q|V1時收

斂，即|-x|Vl,岡VI,—1<—x<lo故級數(shù)收斂，和函數(shù)

塊幻=言=忐。

21、級數(shù)"的收斂性是:

A、絕對收斂

B、發(fā)散

C、條件收斂

D、無法判定

標準答案：A

知識點解析：將級數(shù)各項取絕對值得1v〃11級數(shù)

t1siny1

“中,T］，

級數(shù)"1"1收斂。所以

Z故收斂。由正項級數(shù)比較法，

.n

9sm-Z-K

￡____￡-

原級數(shù)?T"絕對收斂。

oo

22、級數(shù)…（―1）n-kn的和函數(shù)是：

A.土；（-1<X<1）B.-三(-1<X<1)

（-1<X<1）D.—(-1V/V1)

1-z?1-I

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

oo

y

知識點解析：級數(shù)?T（一1）n-，X11—*X2—X2+X3-...+(―1)“一Ix11…，公比q=

SCz）)=含=/(T，D

—x,當—IVxVl時，|q|<lo級數(shù)的和函數(shù)

-r

/（/）=?,S（J-）=S

?tr12

7T

23、設(shè)立bnsinnx其中加=區(qū)JoTxjsinnxdx,

R3”

A.-yB.7

J

（——1C'.一學(xué)D.O

則si2J的值是：4

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：將函數(shù)奇延拓，并作周期延拓。畫出在（一兀，兀］函數(shù)的圖形（見解

“一匹

圖），2為函數(shù)的間斷點，由狄利克雷收斂定理：

5（_^_4~1+0）+/（~7~0）

n

3

~2-了7r

24、級數(shù)L】Un收斂的充要條件是：

A.limu?=OB.=

C.D.limS?存在（其中=+%+…+〃.）

n

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：題中未說明級數(shù)是何種級數(shù)。選項B、C僅適用于正項級數(shù)，故B、

C不一定適用。選項A為級數(shù)收斂的必要條件，不是充分條件。選項D對任何級

數(shù)都適用，是級數(shù)收斂的充要條件。

.卜*4I-―內(nèi)+1

25、正項級數(shù)正■雙有=qVl是此正項級數(shù)收斂的什么條件？

A、充分條件，但非必要條件

B、必耍條件，但非充分條件

C、充分必要條件

D、既非充分條件，又非必要條件

標準答案：A

知識點解析：利用正項級數(shù)比值法確定級數(shù)收斂，而判定正項級數(shù)收斂還有其他的

方法，因而選A。

26、級數(shù)前n項和Sn=ai+an+…+an，若判斷數(shù)列｛S」有界是級數(shù)3%收斂

的什么條件？

A、充分條件，但非必要條件

B、必要條件，但非充分條件

C、充分必要條件

D、既非充分條件，又非必要條件

標準答案：C

知識點解析：利用正項級數(shù)基本定理判定。正項級數(shù)收斂的充分必要條件是數(shù)列

｛Sn｝有界。

Slim

27、設(shè)任意項級數(shù)一%,若即|＞際+11，且—,^二0,則對該級數(shù)下列哪個結(jié)論正

確？

A、必條件收斂

B、必絕對收斂

C、必發(fā)散

D、可能收斂，也可能發(fā)散

標準答案：D

,,1.1.11.11.

知識點解析：舉例說明，級數(shù)23234均滿足條

件，但前面級數(shù)發(fā)散，后面級數(shù)收斂，斂散性不能確定。

28、若級數(shù)1嗝上收斂，則對級數(shù)-%下列哪個結(jié)論正確？

A、必絕對收斂

B、必條件收斂

C、必發(fā)散

D、可能收斂，也可能發(fā)散

標準答案：D

知識點解析：舉例說明，級數(shù)L〃」均收斂，但級數(shù)z(-

A2-

1)八〃、〃一個收斂，一個發(fā)散。

29、下列命題中，哪個是正確的？

A、周期函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù)收斂于f(x)

B、若f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，則f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x)

Sa,收斂，則2石

C、若正項級數(shù)?二1,7必收斂

D、正項級數(shù)收斂的充分且必要條件是級數(shù)的部分和數(shù)列有界

標準答案：D

知識點解析：本題先從熟悉的結(jié)論著手考慮，逐一分析每一個結(jié)論。選項D是正

項級數(shù)的基本定理，因而正確，其余選項均錯誤。選項A,只在函數(shù)的連續(xù)點處級

數(shù)收斂于f(x)；選項B,級數(shù)收斂，還需判定:叫Rn(x)=O；選項C,可通過舉反例

說明，級數(shù)易收斂'但戲發(fā)散。

注冊巖土工程師(基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)

學(xué))模擬試卷第2套

一、單項選擇題(本題共29題，每題7.0分，共29

分。)

1、級數(shù)收斂是“-3an=0的什么條件？

A、充分條件，但非必要條件

B、必要條件，但非充分條件

C、充分必要條件

D、既非充分條件，又非必要條件

標準答案：A

知識點解析：級數(shù)收斂的必要條件!如an=0。須注意本題的條件和結(jié)論。

2』收斂，但2°

nn

2、正項級數(shù)”收斂是級數(shù)L期』收斂的什么條件？

A、充分條件，但非必要條件

B、必要條件，但非充分條件

C、充分必要條件

D、既非充分條件，又聿必要條件

標準答案：A

lim-=lima.

知識點解析：利用正項級數(shù)比較判別法——極限形式判定：一*=0<

1,故級數(shù)收斂，反之不一定正確。

3、下列級數(shù)中，發(fā)散的級數(shù)是哪一個?

A.t（-D"3B.2.

…y/n

D.Lsin等

一為）■1J

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

lim

知識點解析：利用級數(shù)斂散性判定法可斷定A、B、C式收斂，D式-UnWO,所以

收效，但X」

級數(shù)發(fā)散。，/〃

4、若級數(shù)?%（x—2尸在X=—2處收斂，則此級數(shù)在x=5處的斂散性是怎樣的？

A、發(fā)散

B、條件收斂

C、絕對收斂

D、收斂性不能確定

標準答案：C

OO

S

知識點解析：設(shè)x—2=z,級數(shù)化為-TanZ11,當x=—2收斂，即z=―4收斂，利

用阿貝爾定理，z在（V,4）收斂且絕對收斂，當x=5時，z=3,級數(shù)收斂且

絕對收斂。

11(—1

_LJ3+一…+1—LL+…

5、幕級數(shù)x11—23〃(一IVxSl)的和函數(shù)

是：

A、xsinx

X2

B、1+9

C>xln(l—x)

D、xln(l+x)

標準答案：D

知識點解析：利用ln(l+x)的展開式,即

ln(l+x)=x-)*+…

(―l<x<l),從已知級

數(shù)中提出字母x和函數(shù)即可得到。

8

S

6、級數(shù)…。(-1)h11在岡<1內(nèi)收斂于函數(shù)：

A.-B?

1—/1-rx

C—^―D—i-

,1-X1+x

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

09

s

知識點解析：級數(shù)1。(一1)*=1一x+x2—x3+…為等比級數(shù)，公比q=—x,|q|=

M<I,由s=i—q代入數(shù)據(jù)計算得本題s=

2=1_ii

JC2+(J*—2)2]]z—2

T-

rv?OL

7、微分方程y”+2y=0的通解是:

ANy=Asin2x

B、y=Acosx

C、=sinV2x-4-BcosJ2x

D、7=Asin72x+Bcos^x

標準答案：D

知識點解析：寫出微分方程對應(yīng)的特征方程戶+2=0,得r=±&i,即a=0,0=

V2,寫出通解？=人5畝怎?+BcosJIr.

8、微分方程ydx+(x—y)dy=O的通解是：(C為任意常數(shù))

A?(T}=CB.Hy=C(z—%

C

C.xy=CD.y=一

In，一力

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

dx+}=1,方程為一階線性方程。其中P(y產(chǎn)

知識點解析：將微分方程化成而

-fr(y)dyJ-fP(y)dx計算如下:

'，Q(y)=1代入求通解公式x=(e(0(y)edy+C]

X=H為。出力dy+c]=[>>dy+c]=ydy+C=-

、，xy=4v+c.1一書)V=C

變形得22戶或?qū)⒎匠袒癁辇R次方程

義

魚

業(yè)一W

z計算。

9、微分方程(3+2y)xdx+(l+x2)dy=0的通解為：(C為任意常數(shù))

A、l+x2=Cy

B、(l+x2)(3+2y)=C

c

C、(3+2y)2=l+/

D、(l+x2)2(3+2y)=C

標準答案：B

知識點解析：方程的類型為可分離變量方程，將方程分離變量得

3+2戶—]+〃"，兩邊積分:

-yln(3+2y)=-yln(14-x2)+C

乙乙

--ln(14--rz)+4-ln(3+2y)=-C?

Z'則ln(1+x2)+ln(3+2y)=一

22

2C,令-2c=lnCi，WiJln(l+x)+ln(3+2y)=lnCi,Si((l+x)(3+2y)=C|o

10、微分方程y"+ay2=0滿足條件yk=o=O,yk=o=—I的特解是:

A.fn|l-a川B.fn|az|+1

C.ax—1D.Ar+1

a

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：本題為可降階的高階微分方程，按不顯含變量X計算。設(shè)y，=P,y”

dPJ__J_

22

=P',方程化為P'+ap2=0,dt=—aP,分離變量，PdP=—adx,積分得~P

=一ax+Ci，代入初始條件x=0,P=y,=一1,得Ci=l,即P=一ax+1,P=

]dy_1

az-l'drax-1,求出通解，代入初始條件，求出特解。即丫=

?Idi=l|

?3一】”Qnlai—1|+C,代入初始條件x=0,y=0,得C=0。故特解為

11、微分方程(l+2y)xdx+(l+x2)dy的通解為：(以上各式中，C為任意常數(shù))

l±￡i=c

A、1+2y

B、(l+x2)(l+2y)=C

c

C、(l+2y)2=l+f

D、(l+x2)2(l+2y)=C

標準答案：B

知識點解析：方程為一階可分離變量方程,分離變量后求解。(l+2y)xdx+(l+x2)dy

擊.+&di

x

d-r+=0

1+/rW

1+J*?)+《ln(l+2y)=InC、

=022ln(l+x~)+ln(l+2y)=21nC故

(l+x2)(l+2y)=Ci，其中C]=C2。

12、微分方程y”=(y，)2的通解是：(以上各式中，CHC?為任意常數(shù))

A、lnx+C

B、ln(x+C)

C^C2+ln|x+C)|

D、C2—ln|x+Ci|

標準答案：D

知識點解析：此題為可降階的高階微分方程，按方程不顯含變量y計算。設(shè)y'=

第=",力助=必

得一"=T+G，即/>=~/

)孚=-----jdz,

p,y”=p=則方程為p，=p2,d/z+GJ/+G得廣

ln|x+Ci|+C2

13、下列函數(shù)中不是方程y”一2y，+y=0的解的函數(shù)是：

A、x2ex

B、ex

C^xex

D、(x+2)ex

標準答案：A

知識點解析：方法1：方程為二階常系數(shù)線性齊次方程，對應(yīng)特征方程為2什1

=0,r=l(二重根)。通解y=(C]+C2X)eX(其中Ci，C2為任意常數(shù))令C”

C2為一些特殊值，可驗證選項B、C、D均為方程的解。Ci，C2無論取何值均得

不出選項A,所以A不滿足。方法2：把選項A設(shè)為函數(shù)，即y=x2ex,對函數(shù)

y,求y\y”后代入方程y"-2y』y=0,不滿足微分方程，因此A不滿足。

14、微分方程cosydx+(1+ef)sinydy=0滿足初始條件yk=o=3的特解是:

2

A、cosy=4(4+ex)

B、cosy=1+ex

C、cosy=4(l+ex)

D、cos2y=l+ex

標準答案：A

知識點解析：本題為一階可分離變量方程，分離變量后兩邊積分求解.。cosydx+

Ckr+^^-dy=0

1十Je—cosy

￡,clr+=0

1+rcosy

爵，=G

1

7dG

1-Fe

ln(l+/)—Incosy=lnC|?ln'+1=InCi

cosy

所以W=c

(l+ef)sinydy=Ocosy代入初始條

三丁+11

件x=0,y=3,得c=4因此cos、=49即cosy=4(1+F)

15、微分方程y”=x+sinx的通解是:(CHC2為任意常數(shù))

A.J/2+siirr+3z+C?

B.7-J-3-sini+CiJ-+

0

D.4J-f-sinj*-Cij--hC

C.--jr2-COSJ-+G/-G2

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：本題為可降階的高階微分方程，連續(xù)積分二次，得通解。y"=

22±

,=223

x+sinx,y(x+sinx)dx=2X―cosx+Cj,y=f(2X―cosx+Ci)dx=6X-

sinx+Cix+C2

16、微分方程y"-4y=4的通解是：(Ci、C2為任意常數(shù))

2x2x

A、Cie—C2e-+1

2x-2x

B、Cie+C2e—1

C、e2x—e-2x+l

2x_2x

D、Cie+C2e—2

標準答案：B

知識點解析：本題為二階常系數(shù)線性非齊次方程。非齊次通解y—齊次的通解y+

非齊次一個特解y*，y"-4y=0,特征方程，—4=0,r=±2。齊次通解為y=C1e

2x2x

+C2eo將y*=—1代入非齊次方程，滿足方程，為非齊次特解。故通解y=

2x2x

Cie+C2e_—1

17、微分方程(l+y)dx—(1—x)dy=0的通解是：(C為任意常數(shù))

A、1-JT

B、l+y=C(I—x)2

C、(1-x)(l+y)=C

1±2=C

D、1+M

標準答案：C

知識點解析：此題為一階可分離變量方程，分離變量后，兩邊積分。微分方程

1

dy=O。

(l+y)dx—(I—x)dy=O,1一11+)兩邊積分：一ln(l—x)—

ln(l+y)=一Inc,(1一x)(l+y)=Co

18、微分方程y，+i'=2滿足初始條件y|x=i=O的特解是:

A1

A.JC-------B.

xJC

C.z+「.C為任意常數(shù)D.i+Z

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：此題為一階線性微分方程，直接代入公式計算，設(shè)方程為y』p(x)y=

1

Q(x),則通解y=e^p(xK,x[jQ(x)e^p(x)dxdx+C,本題p(x)=",Q(x)=2,代入公

y二月如jzJ'L&r+C

=丁巾［2e^dx+C=L』2icLr+C)=L(/Z+c)

式：LJ」1J工代入初始條

件，當x=l,y=0,即O=l(l+C),得C=-1,故y=x—x*

19、微分方程y-2y=0的通解是：(A,B為任意常數(shù))

A.j=Asiny2xB.y=AcosTZx

C..y=sinV2x+Bcos>/2xD.y=AsinV^r+BcosV^r

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：本題為二階常系數(shù)線性齊次方程求通解，寫出方程對應(yīng)的特征方程

r+2=0,

r=±慮7。

a=G，B=&,通解y=e"(AcosT？z+BsinV2z)?即y=Acos>/^r+Bsin

20、方程萬=p(x)y的通解是:

,p(x)dx

A、y=e-+C

B、y=e—^p(x)dx+C

C、y=Ce-ip(x)dx

-Jp(x)dx

D、y=Ce

標準答案：D

1

知識點解析：方程y'=p(x)y為一階可分離變量方程。分離度量，、dy=p(x)dx兩

邊積分，lny=Jp(x)dx+C

21、已知一階微分方程di」］,問該方程的通解是下列函數(shù)中的哪個？

A.In2=7+2B.In2=cz+1

xx

C./=2+2D.sin2=2

XXX

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

dy_當八義

知識點解析：方程d/一”“工是一階齊次方程，設(shè)

Vdv.du

7dickr,化為可分離變量方程：

du八1、du_d/

z==u(lnu-1)?-71-------rr------

d?rw(lnu-1)xln(lnu-1)=lnx+lnC,Inu-1=Cx,Inu

in2

―Cx+1,即T=Cx+lo

22、微分方程y”-6y，+9y=O,在初始條件y，|x=o=2,yk=o=O下的特解為：

2

2x

A、2xe+c

2

3x

B、2xe+c

C、2x

D、2xe3x

標準答案：D

知識點解析：先求出二階常系數(shù)齊次方程的通解，代入初始條件，求出通解中的

2

Ci，C2值，得特解，即y"一6y'+9y=0,r—6r+9=0,n=r2=3,y=

3x3x

(Ci+C2x)eo當x=0,y=0,代入得Ci=0,BPy=C2xe<>由y，=C2(e3*+

3xe3x)=C2e3x(1+3x),當x=0,y'=2,代入得C2=2,貝ijy=2xe”。

d21y_血

23、函數(shù)丫=。產(chǎn)+62(其中C]、C2是任意常數(shù))是微分方程dJdx_2y=0

的哪一種解？

A、通解

B、特解

C^不是解

D、是解，但不是通解也不是特解

標準答案：D

知識點解析：y=C]/，+G=C3e2x經(jīng)驗證是方程的解，但不是通解，也不是特解。

24、微分方程ydx+(y2x—ey)dy=O是下述哪種方程？

A、可分離變量方程

B、一階線性的微分方程

C、全微分方程

D、齊次方程

標準答案：B

知識點解析：方程可化為z，+P(y)x=Q(y)的形式y(tǒng)dx+(『x—ey)dy=O,

孚+yr-=0,空+yr=-

dyydyy為一階線性非齊次方程，即一階線性

方程。

25、下列一階微分方程中，哪一個是一階線性方程？

A、(xey—2y)dy+eydx=0

B、xy,+y=ex+y

「市"一號力=0

蟲!二￡±2

D、d*x-y

標準答案：A

知識點解析：把一階方程化為x，+P(y)x=Q(y)的形式(xey—2y)dy+eydx=0,

孚=0,/孚+a=2?，字

yydd

整理得xe—2y+e^dyy+x=2ye~\方程為一階線性方

程。

26、若y2(x)是線性非齊次方程y，+P(x)y=Q(x)的解，yi(x)是對應(yīng)的齊次方程

y,+P(x)y=O的解，則下列函數(shù)市哪一個是y』P(x)y=Q(x)的解？

A、y=Cyi(x)+y2(x)

B、y=yi(x)+C2y2(x)

C、y=C[yi(x)+y2(x)]

D、y=Ciy(x)—yi(x)

標準答案：A

知識點解析：由一階線性非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)確定，即由對應(yīng)齊次方程的通解加

上非齊次的一特解組成。

27、若yi(x)是線性非齊次方程y，+P(x)y=Q(x)的一個特解，則該方程的通解是下

列中哪一個方程？

A、y=yi(x)+「JP(x)dx

B、y=yi(x)+Ce-Jp(x)dx

C、y=yi(x)+e~Jp(x)dx+C

D、y=yi(x)+Ce-fp(x)dx

標準答案：B

知識點解析：非齊次方程的通解是由齊次方程的通解加非齊次方程的特解構(gòu)成，令

取=-P(jr)d)y?-dj

Q(x)=O,求對應(yīng)齊次方程y，+p(x)y=O的通解。＞=—

P(x)dx,lny=—Jp(x)dx+C,y=e-JP(x)dx+C]=Ce-g(x)dx,齊次方程的通解y=

Jp(x)dX

Ce一%心，非齊次方程的通解y