2024年北京市高中數(shù)學(xué)期中考試試題及解析引言2024年北京市高中數(shù)學(xué)期中考試命題延續(xù)"注重基礎(chǔ)、強(qiáng)調(diào)能力、滲透應(yīng)用"的風(fēng)格，緊扣《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求，覆蓋高一上學(xué)期（集合、函數(shù)、三角函數(shù)）、高二上學(xué)期（立體幾何、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線(xiàn)）的核心內(nèi)容。試題既考查基本概念與公式的掌握，又注重邏輯推理、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的提升，同時(shí)融入實(shí)際應(yīng)用與數(shù)學(xué)文化元素，體現(xiàn)北京卷的特色。本文針對(duì)高一、高二上學(xué)期期中考試的典型試題進(jìn)行解析，并給出備考建議，助力學(xué)生把握命題方向，提高解題能力。一、高一上學(xué)期期中考試試題及解析（一）選擇題（每題5分，共25分）1.集合運(yùn)算已知集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\mid0<x<3,x\in\mathbb{N}\}\)，則\(A\capB=(\quad)\)A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,2\}\)D.\(\{0,1,2\}\)解析：解集合\(A\)：方程\(x^2-3x+2=0\)的解為\(x=1\)或\(x=2\)，故\(A=\{1,2\}\)；集合\(B\)：\(0<x<3\)的自然數(shù)為\(1,2\)，故\(B=\{1,2\}\)；交集\(A\capB=\{1,2\}\)。答案：C易錯(cuò)點(diǎn)：忽略\(B\)中\(zhòng)(x\in\mathbb{N}\)的條件，誤選D（包含0）。2.函數(shù)定義域函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{x-2}\)的定義域是(\quad)A.\([1,+\infty)\)B.\((1,+\infty)\)C.\([1,2)\cup(2,+\infty)\)D.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)解析：根號(hào)內(nèi)非負(fù)：\(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1\)；分母不為0：\(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2\)；定義域?yàn)閈([1,2)\cup(2,+\infty)\)。答案：C易錯(cuò)點(diǎn)：忘記根號(hào)內(nèi)非負(fù)（誤選B）或忽略分母不為0（誤選A）。3.函數(shù)奇偶性下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(\quad)A.\(f(x)=x^3\)B.\(f(x)=x^2\)C.\(f(x)=\dfrac{1}{x}\)D.\(f(x)=\sinx\)解析：A選項(xiàng)：定義域\(\mathbb{R}\)，\(f(-x)=-x^3=-f(x)\)（奇函數(shù)）；導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2\geq0\)（增函數(shù)，\(x=0\)時(shí)導(dǎo)數(shù)為0，不影響整體遞增）；B選項(xiàng)：偶函數(shù)（\(f(-x)=f(x)\)）；C選項(xiàng)：奇函數(shù)，但在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分別遞減（非整體增函數(shù)）；D選項(xiàng)：奇函數(shù)，但周期性導(dǎo)致非增函數(shù)（如\([\pi/2,3\pi/2]\)上遞減）。答案：A易錯(cuò)點(diǎn)：誤將\(C\)視為增函數(shù)（忽略區(qū)間限制）。4.函數(shù)單調(diào)性已知函數(shù)\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上是減函數(shù)，則\(f(-2)\)與\(f(-1)\)的大小關(guān)系是(\quad)A.\(f(-2)>f(-1)\)B.\(f(-2)<f(-1)\)C.\(f(-2)=f(-1)\)D.無(wú)法確定解析：減函數(shù)定義：若\(x_1<x_2<0\)，則\(f(x_1)>f(x_2)\)。\(-2<-1<0\)，故\(f(-2)>f(-1)\)。答案：A易錯(cuò)點(diǎn)：搞反減函數(shù)的自變量與函數(shù)值關(guān)系（誤選B）。5.實(shí)際應(yīng)用某商店銷(xiāo)售某種商品，每件成本50元，售價(jià)\(x\)元（\(50\leqx\leq100\)），銷(xiāo)售量\(y=-x+150\)件，則利潤(rùn)\(L(x)\)與售價(jià)\(x\)的函數(shù)關(guān)系為(\quad)A.\(L(x)=-x^2+200x-7500\)B.\(L(x)=-x^2+100x-7500\)C.\(L(x)=x^2-200x+7500\)D.\(L(x)=x^2-100x+7500\)解析：利潤(rùn)公式：\(L(x)=(\text{售價(jià)}-\text{成本})\times\text{銷(xiāo)售量}\)，即\[L(x)=(x-50)(-x+150)=-x^2+200x-7500.\]答案：A易錯(cuò)點(diǎn)：誤將利潤(rùn)算為“售價(jià)×銷(xiāo)售量-成本”（忽略成本需乘銷(xiāo)售量）。（二）填空題（每題5分，共15分）1.集合運(yùn)算解析：\(A\cupB=\{1,2,3,5\}\)；答案：\(\{4\}\)易錯(cuò)點(diǎn)：先算補(bǔ)集再并集（誤得\(\{2,4\}\)）。2.函數(shù)求值\(f(x)=2x+1\)，則\(f(f(1))=\_\_\_\_\)。解析：\(f(1)=2\times1+1=3\)；\(f(3)=2\times3+1=7\)。答案：7易錯(cuò)點(diǎn)：直接代入\(f(1)\)到\(f(x)\)中（誤得\(2(2\times1+1)+1=11\)）。3.三角函數(shù)值\(\sin(\pi/6)=\_\_\_\_\)。解析：\(\pi/6=30^\circ\)，\(\sin30^\circ=1/2\)。答案：\(1/2\)易錯(cuò)點(diǎn)：混淆\(\sin\)與\(\cos\)（誤得\(\sqrt{3}/2\)）。（三）解答題（每題10分，共20分）1.函數(shù)單調(diào)性證明證明：函數(shù)\(f(x)=x^2+1\)在\([0,+\infty)\)上是增函數(shù)。解析：定義法證明：設(shè)\(0\leqx_1<x_2\)；作差：\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2+1)-(x_1^2+1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\)；分析符號(hào)：\(x_2-x_1>0\)（\(x_1<x_2\)），\(x_2+x_1>0\)（\(x_1\geq0,x_2>0\)）；結(jié)論：\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即\(f(x_2)>f(x_1)\)。答案：見(jiàn)解析易錯(cuò)點(diǎn)：步驟不完整（如未設(shè)\(x_1<x_2\)或未分析符號(hào)）。2.三角函數(shù)圖像與求值已知\(f(x)=\sin(2x+\pi/3)\)，求：（1）最小正周期；（2）\(f(\pi/12)\)的值。解析：（1）正弦函數(shù)\(y=\sin(\omegax+\phi)\)的周期為\(2\pi/|\omega|\)，故\(T=2\pi/2=\pi\)；（2）代入\(x=\pi/12\)：\[f(\pi/12)=\sin(2\times\pi/12+\pi/3)=\sin(\pi/6+\pi/3)=\sin(\pi/2)=1.\]答案：（1）\(\pi\)；（2）1易錯(cuò)點(diǎn)：周期公式記錯(cuò)（誤得\(\pi/2\)）或角度計(jì)算錯(cuò)誤（誤得\(\sin(\pi/6)=1/2\)）。二、高二上學(xué)期期中考試試題及解析（一）選擇題（每題5分，共25分）1.立體幾何線(xiàn)面關(guān)系在長(zhǎng)方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，直線(xiàn)\(AB\)與平面\(A_1B_1C_1D_1\)的位置關(guān)系是(\quad)A.平行B.相交C.直線(xiàn)在平面內(nèi)D.無(wú)法確定解析：長(zhǎng)方體中\(zhòng)(AB\parallelA_1B_1\)；\(A_1B_1\subset\)平面\(A_1B_1C_1D_1\)，\(AB\not\subset\)平面\(A_1B_1C_1D_1\)；由線(xiàn)面平行判定定理，\(AB\parallel\)平面\(A_1B_1C_1D_1\)。答案：A易錯(cuò)點(diǎn)：誤將\(AB\)視為與平面相交（忽略平行關(guān)系）。2.導(dǎo)數(shù)幾何意義曲線(xiàn)\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線(xiàn)方程是(\quad)A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x+2\)C.\(y=-3x-2\)D.\(y=-3x+2\)解析：導(dǎo)數(shù)\(y'=3x^2\)，在\(x=1\)處的斜率為\(3\times1^2=3\)；點(diǎn)斜式方程：\(y-1=3(x-1)\)，化簡(jiǎn)得\(y=3x-2\)。答案：A易錯(cuò)點(diǎn)：切線(xiàn)斜率計(jì)算錯(cuò)誤（誤得\(1\)）或點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)錯(cuò)誤（誤得\(y=3x+1\)）。3.圓錐曲線(xiàn)定義橢圓的定義中，兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為(\quad)A.焦點(diǎn)B.頂點(diǎn)C.中心D.準(zhǔn)線(xiàn)解析：橢圓定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之和為常數(shù)（大于兩焦點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡。答案：A易錯(cuò)點(diǎn)：混淆圓錐曲線(xiàn)的基本概念（誤選B或C）。4.不等式性質(zhì)若\(a>b>0\)，則下列不等式成立的是(\quad)A.\(1/a>1/b\)B.\(a^2<b^2\)C.\(ac>bc\)（\(c>0\)）D.\(a-c<b-c\)解析：A選項(xiàng)：\(a>b>0\Rightarrow1/a<1/b\)（錯(cuò)）；B選項(xiàng)：\(a>b>0\Rightarrowa^2>b^2\)（錯(cuò)）；C選項(xiàng)：\(c>0\)，\(a>b\Rightarrowac>bc\)（對(duì)）；D選項(xiàng)：\(a>b\Rightarrowa-c>b-c\)（錯(cuò)）。答案：C易錯(cuò)點(diǎn)：不等式乘負(fù)數(shù)時(shí)方向不變（誤選A）。5.邏輯命題命題“若\(x>0\)，則\(x^2>0\)”的逆否命題是(\quad)A.若\(x^2>0\)，則\(x>0\)B.若\(x\leq0\)，則\(x^2\leq0\)C.若\(x^2\leq0\)，則\(x\leq0\)D.若\(x>0\)，則\(x^2\leq0\)解析：逆否命題：否定原命題的條件和結(jié)論，再交換位置。原條件：\(x>0\)→否定：\(x\leq0\)；原結(jié)論：\(x^2>0\)→否定：\(x^2\leq0\)；交換得：“若\(x^2\leq0\)，則\(x\leq0\)”。答案：C易錯(cuò)點(diǎn)：未交換條件和結(jié)論（誤選B）。（二）填空題（每題5分，共15分）1.立體幾何體積長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為2、1、3，則體積為\_\_\_\_。解析：體積\(V=長(zhǎng)\times寬\times高=2\times1\times3=6\)。答案：6易錯(cuò)點(diǎn)：體積公式記錯(cuò)（誤得\(2+1+3=6\)）。2.導(dǎo)數(shù)極值函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值是\_\_\_\_。解析：導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)或\(x=-1\)；符號(hào)分析：\(x<-1\)時(shí)\(f'(x)>0\)（遞增），\(-1<x<1\)時(shí)\(f'(x)<0\)（遞減），\(x>1\)時(shí)\(f'(x)>0\)（遞增）；極大值在\(x=-1\)處：\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)=2\)。答案：2易錯(cuò)點(diǎn)：誤將\(x=1\)處的極小值當(dāng)作極大值（誤得\(-2\)）。3.橢圓方程中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在\(x\)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)4，短軸長(zhǎng)2的橢圓方程是\_\_\_\_。解析：長(zhǎng)軸長(zhǎng)\(2a=4\)→\(a=2\)；短軸長(zhǎng)\(2b=2\)→\(b=1\)；橢圓方程：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，即\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)。答案：\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)易錯(cuò)點(diǎn)：短軸長(zhǎng)誤作\(b\)（誤得\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1\)）。（三）解答題（每題10分，共20分）1.立體幾何線(xiàn)面平行與體積如圖，長(zhǎng)方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)為\(AB\)中點(diǎn)，求證：\(A_1E\parallel\)平面\(B_1CD_1\)；若\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(AA_1=3\)，求三棱錐\(A_1-B_1CD_1\)的體積。解析：（1）線(xiàn)面平行證明：連接\(D_1B\)（輔助線(xiàn)）；長(zhǎng)方體中\(zhòng)(A_1D_1\parallelAB\)且\(A_1D_1=AB\)，\(E\)為\(AB\)中點(diǎn)，故\(A_1D_1\parallelBE\)且\(A_1D_1=BE\)；四邊形\(A_1D_1BE\)為平行四邊形，故\(A_1E\parallelD_1B\)；\(D_1B\subset\)平面\(B_1CD_1\)，\(A_1E\not\subset\)平面\(B_1CD_1\)，故\(A_1E\parallel\)平面\(B_1CD_1\)。（2）體積計(jì)算：換底法：三棱錐\(A_1-B_1CD_1\)可視為\(C-A_1B_1D_1\)；底面\(\triangleA_1B_1D_1\)面積：\(\dfrac{1}{2}\timesA_1B_1\timesA_1D_1=\dfrac{1}{2}\times2\times1=1\)；高為\(CC_1=AA_1=3\)；體積：\(\dfrac{1}{3}\times1\times3=1\)。答案：（1）見(jiàn)解析；（2）1易錯(cuò)點(diǎn)：線(xiàn)面平行證明未找對(duì)平面內(nèi)直線(xiàn)（誤連\(A_1C\)）；體積計(jì)算未換底（誤得\(3\)）。2.導(dǎo)數(shù)單調(diào)性與極值已知\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求：（1）單調(diào)區(qū)間；（2）極值。解析：（1）單調(diào)區(qū)間：導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)；令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)；符號(hào)分析：\(x<0\)：\(f'(x)>0\)（遞增）；\(0<x<2\)：\(f'(x)<0\)（遞減）；\(x>2\)：\(f'(x)>0\)（遞增）；單調(diào)遞增區(qū)間：\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；單調(diào)遞減區(qū)間：\((0,2)\)。（2）極值：極大值（\(x=0\)處）：\(f(0)=0^3-3\times0^2+2=2\)；極小值（\(x=2\)處）：\(f(2)=2^3-3\times2^2+2=-2\)。答案：（1）遞增區(qū)間\((-\infty,0)\)、\((2,+\infty)\)，遞減區(qū)間\((0,2)\)；（2）極大值2，極小值-2易錯(cuò)點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間用“∪”連接（誤得\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)）或極值點(diǎn)判斷錯(cuò)誤（誤將\(x=2\)處當(dāng)作極大值）。三、備考建議（一）回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)期中考試主要考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)課本中的：