八年級數(shù)學(xué)矩形專題練習(xí)題一、知識點(diǎn)回顧矩形是特殊的平行四邊形，具有以下核心性質(zhì)與判定定理：（一）定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。（二）性質(zhì)1.邊：對邊平行且相等（\(AB\parallelCD\)，\(AB=CD\)；\(AD\parallelBC\)，\(AD=BC\)）。2.角：四個角都是直角（\(\angleA=\angleB=\angleC=\angleD=90^\circ\)）。3.對角線：相等且互相平分（\(AC=BD\)，\(AO=CO=\frac{1}{2}AC\)，\(BO=DO=\frac{1}{2}BD\)）。4.對稱性：中心對稱圖形（對稱中心為對角線交點(diǎn)\(O\)）；軸對稱圖形（有2條對稱軸，即對邊中點(diǎn)連線所在直線）。（三）判定1.定義法：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；2.對角線法：對角線相等的平行四邊形是矩形；3.角判定法：有三個角是直角的四邊形是矩形。二、典型題型精練（一）矩形的性質(zhì)應(yīng)用——邊、角、對角線計(jì)算例題：矩形\(ABCD\)中，\(AB=3\)，\(BC=4\)，求對角線\(AC\)的長度及矩形面積。解析：矩形對角線相等且滿足勾股定理：\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)；面積=長×寬：\(S=AB\timesBC=3\times4=12\)。針對性練習(xí)：1.矩形的一邊長為5，對角線長為13，求另一邊長；2.矩形的對角線夾角為\(60^\circ\)，對角線長為8，求較短邊長；3.矩形\(ABCD\)中，\(\angleAOB=60^\circ\)（\(O\)為對角線交點(diǎn)），\(AB=2\)，求\(AD\)的長。（二）矩形的判定——證明四邊形是矩形例題：已知平行四邊形\(ABCD\)中，對角線\(AC=BD\)，求證：四邊形\(ABCD\)是矩形。解析：平行四邊形對角線互相平分，故\(AO=CO=\frac{1}{2}AC\)，\(BO=DO=\frac{1}{2}BD\)；因\(AC=BD\)，故\(AO=BO=CO=DO\)，即\(\triangleAOB\)為等腰三角形；平行四邊形中\(zhòng)(AB\parallelCD\)，\(\angleOAB=\angleOCD\)，\(\angleOBA=\angleODC\)；由\(AO=CO\)，\(BO=DO\)，\(\angleAOB=\angleCOD\)，得\(\triangleAOB\cong\triangleCOD\)，故\(AB=CD\)；綜上，平行四邊形\(ABCD\)滿足“對角線相等”，故為矩形（判定定理2）。針對性練習(xí)：1.已知四邊形\(ABCD\)中，\(\angleA=\angleB=\angleC=90^\circ\)，求證：四邊形\(ABCD\)是矩形；2.已知平行四邊形\(ABCD\)中，\(\angleABC=90^\circ\)，求證：四邊形\(ABCD\)是矩形；3.已知四邊形\(ABCD\)中，對角線\(AC\)、\(BD\)互相平分且相等，求證：四邊形\(ABCD\)是矩形。（三）矩形中的折疊問題例題：矩形\(ABCD\)中，\(AB=4\)，\(BC=8\)，將邊\(AD\)沿\(AE\)折疊，使點(diǎn)\(D\)落在\(BC\)邊上的\(F\)處，求\(CE\)的長度。解析：折疊后\(AD=AF=8\)，\(DE=EF\)，\(\angleAFE=\angleD=90^\circ\)；在\(Rt\triangleABF\)中，\(BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\)，故\(FC=BC-BF=8-4\sqrt{3}\)；設(shè)\(CE=x\)，則\(DE=EF=CD-CE=4-x\)；在\(Rt\triangleEFC\)中，由勾股定理得：\(EF^2=CE^2+FC^2\)，即\((4-x)^2=x^2+(8-4\sqrt{3})^2\)；展開化簡：\(16-8x+x^2=x^2+64-64\sqrt{3}+48\)，解得\(x=8\sqrt{3}-12\)。針對性練習(xí)：1.矩形\(ABCD\)中，\(AB=6\)，\(BC=8\)，將矩形沿對角線\(AC\)折疊，點(diǎn)\(D\)落在點(diǎn)\(E\)處，求\(BE\)的長度；2.矩形\(ABCD\)中，\(AB=3\)，\(BC=5\)，將矩形沿\(EF\)折疊，使點(diǎn)\(B\)落在點(diǎn)\(D\)處，求\(EF\)的長度；3.矩形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，\(AD=3\)，將矩形沿對角線\(BD\)折疊，點(diǎn)\(C\)落在點(diǎn)\(E\)處，求\(AE\)的長度。（四）矩形與其他圖形的綜合應(yīng)用例題：已知矩形\(ABCD\)中，對角線\(AC\)、\(BD\)交于點(diǎn)\(O\)，\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)分別是\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)、\(OD\)的中點(diǎn)，求證：四邊形\(EFGH\)是矩形。解析：矩形對角線互相平分且相等，故\(OA=OB=OC=OD\)，中點(diǎn)分線段后\(OE=OF=OG=OH\)；由三角形中位線定理，\(EF\parallelAB\)，\(FG\parallelBC\)，\(GH\parallelCD\)，\(HE\parallelDA\)，故四邊形\(EFGH\)是平行四邊形；矩形中\(zhòng)(AB\perpBC\)，故\(EF\perpFG\)（平行于垂直的兩條直線互相垂直）；平行四邊形有一個角是直角，故為矩形（定義法）。針對性練習(xí)：1.已知矩形\(ABCD\)中，對角線\(AC\)交于點(diǎn)\(O\)，過點(diǎn)\(O\)作\(EF\perpAC\)，交\(AB\)于\(E\)，交\(CD\)于\(F\)，求證：四邊形\(AECF\)是菱形；2.已知菱形\(ABCD\)中，對角線\(AC=BD\)，求證：四邊形\(ABCD\)是矩形；3.已知矩形\(ABCD\)中，\(E\)是\(BC\)的中點(diǎn)，連接\(AE\)，若\(AE\perpBD\)，求\(\frac{AB}{BC}\)的值。（五）矩形的實(shí)際應(yīng)用例題：某小區(qū)建矩形花園，一邊靠墻（墻長10米），另三邊用籬笆圍成，籬笆總長25米，求花園的最大面積。解析：設(shè)平行于墻的邊長為\(x\)米（\(x\leq10\)），寬為\(y\)米，則\(x+2y=25\)，即\(y=\frac{25-x}{2}\)；面積\(S=xy=x\cdot\frac{25-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{25}{2}x\)（二次函數(shù)，開口向下）；頂點(diǎn)橫坐標(biāo)\(x=-\frac{2a}=\frac{25}{2}=12.5\)，但\(x\leq10\)，故當(dāng)\(x=10\)時，\(y=7.5\)，最大面積\(S=10\times7.5=75\)平方米。針對性練習(xí)：1.用24米長的繩子圍成矩形，求面積最大時的邊長；2.矩形相框的長比寬多2厘米，面積為24平方厘米，求長和寬；3.矩形場地長與寬之比為3:2，周長200米，求面積。三、綜合提升練習(xí)1.矩形\(ABCD\)中，\(AB=5\)，\(AD=12\)，\(P\)是\(AD\)上的動點(diǎn)，\(PE\perpAC\)于\(E\)，\(PF\perpBD\)于\(F\)，求\(PE+PF\)的值；2.矩形\(ABCD\)中，對角線\(AC\)、\(BD\)交于點(diǎn)\(O\)，\(\angleAOB=60^\circ\)，\(AB=3\)，求周長和面積；3.已知四邊形\(ABCD\)是矩形，\(E\)是\(AB\)上一點(diǎn)，\(F\)是\(CD\)上一點(diǎn)，且\(AE=CF\)，求證：四邊形\(DEBF\)是平行四邊形；4.矩形\(ABCD\)中，將\(\triangleABC\)沿\(AC\)折疊，點(diǎn)\(B\)落在點(diǎn)\(E\)處，連接\(DE\)，若\(AB=3\)，\(BC=4\)，求\(DE\)的長度。四、答案與解析（一）針對性練習(xí)答案1.另一邊長\(=\sqrt{13^2-5^2}=12\)；2.較短邊\(=\frac{1}{2}\times8=4\)（對角線夾角\(60^\circ\)，形成等邊三角形）；3.\(AD=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2\times2)^2-2^2}=2\sqrt{3}\)（\(\triangleAOB\)為等邊三角形，\(AO=AB=2\)）。（二）針對性練習(xí)答案1.四個角都是直角，直接滿足矩形判定定理3；2.平行四邊形有一個直角，滿足定義法；3.對角線互相平分→平行四邊形，對角線相等→矩形（判定定理2）。（三）針對性練習(xí)答案1.\(BE=\frac{12\sqrt{5}}{5}\)（坐標(biāo)法：設(shè)\(A(0,0)\)，\(B(4,0)\)，\(C(4,8)\)，\(D(0,8)\)，折疊后\(E\)坐標(biāo)為\((\frac{32}{5},\frac{24}{5})\)，計(jì)算\(BE\)）；2.\(EF=\frac{15\sqrt{34}}{17}\)（折疊后\(B\)與\(D\)重合，\(EF\)為\(BD\)的垂直平分線，用坐標(biāo)法求交點(diǎn)）；3.\(AE=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)（折疊后\(E\)坐標(biāo)為\((\frac{12}{13},\frac{36}{13})\)，計(jì)算\(AE\)）。（四）針對性練習(xí)答案1.\(OA=OC\)，\(EF\perpAC\)，故\(AE=CE\)，平行四邊形\(AECF\)鄰邊相等→菱形；2.菱形對角線互相垂直，若對角線相等，則四個角都是直角→矩形；3.設(shè)\(AB=a\)，\(BC=2b\)，\(E\)為\(BC\)中點(diǎn)，\(AE\perpBD\)，由相似三角形得\(\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。（五）針對性練習(xí)答案1.邊長為6米（正方形是特殊矩形，周長固定時面積最大）；2.寬4厘米，長6厘米（解方程\(x(x+2)=24\)）；3.長60米，寬40米，面積2400平方米（設(shè)長3k，寬2k，周長\(10k=200\)）。綜合提升練習(xí)答案1.\(PE+PF=\frac{60}{13}\)（利用面積法：\(S_{\triangleAOD}=S_{\triangleAOP}+S_{\triangleDOP}\)）；2.周長\(6+6\sqrt{3}\)，面積\(9\sqrt{3}\)（\(\triangleAOB\)為等邊三角形，\(AO=AB=3\)，\(AC=6\)，\(BC=3\sqrt{3}\)）；3.\