綿陽一診文綜數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=x^3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.3

B.5

C.7

D.9

2.若向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角余弦值是（）

A.-1/5

B.1/5

C.-4/5

D.4/5

3.拋物線y=x^2-4x+3的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(2,-1)

D.(1,-2)

4.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_3=18，則公比q的值是（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

5.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z的模長|z|是（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√2，則邊c的值是（）

A.1

B.√3

C.2

D.√2

8.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)滿足x^2+y^2-2x+4y-4=0，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最小值是（）

A.0

B.1

C.2

D.√2

10.函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(-1,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的有（）

A.y=x^2

B.y=log_a(x)(a>1)

C.y=e^x

D.y=-x+1

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1+a_4=10，a_2+a_5=12，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式是（）

A.S_n=n(n+1)

B.S_n=n(n+2)

C.S_n=n(5+n)

D.S_n=n(6+n)

3.下列命題中，正確的有（）

A.若向量a與向量b共線，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a=λb

B.不等式|a|+|b|≥|a+b|對(duì)所有實(shí)數(shù)a,b成立

C.若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有界

4.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.若a^2+b^2=c^2，則△ABC是直角三角形

B.若sinA=sinB，則△ABC是等腰三角形

C.若a:b:c=3:4:5，則△ABC是直角三角形

D.若cosA=cosB，則△ABC是等腰三角形

5.下列曲線中，離心率e>1的有（）

A.橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a<b)

B.雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1

C.拋物線y^2=2px(p>0)

D.橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值是________。

2.設(shè)集合A={x|x^2-3x+2>0}，集合B={x|1<|x|<2}，則集合A∩B=________。

3.若復(fù)數(shù)z=3+4i的共軛復(fù)數(shù)是z?，則|z-z?|的值是________。

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosA的值是________。

5.已知點(diǎn)P在拋物線y^2=8x上，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的值是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.解方程組：

{x+2y=5

{3x-y=2

4.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(3x)/tan(2x))。

5.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，求向量AB的模長及其方向角（即與x軸正方向的夾角，結(jié)果用反三角函數(shù)表示）。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=11，f(-1)=3，f(1)=1，f(2)=3。最大值為7。

2.B

解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-4))/(√(1^2+2^2)×√(3^2+(-4)^2))=-5/√(5×25)=1/5。

3.D

解析：y=(x-2)^2-1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)。

4.A

解析：a_3=a_1q^2，18=2q^2，q^2=9，q=±3。由于a_3>a_1，q>0，故q=3。

5.A

解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最小正周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。

6.B

解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。

7.B

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC，c=a*sinC/sinA=√2*sin45°/sin60°=√2*√2/(√3/2)=2√2/(√3/2)=4/(√3)=4√3/3。但選項(xiàng)有誤，應(yīng)為4√3/3。

8.C

解析：x^2-4x+y^2+6y-3=0變形為(x-2)^2+(y+3)^2=7+3=10，圓心為(2,-3)。

9.B

解析：x^2+y^2-2x+4y-4=0變形為(x-1)^2+(y+2)^2=1+4+4=9，圓心為(1,-2)，半徑為3。原點(diǎn)到圓心的距離為√((1-0)^2+(-2-0)^2)=√5。最小距離為3-√5。

10.B

解析：f'(x)=e^x-1。在(-1,1)上，f'(x)<0當(dāng)x<0，f'(x)>0當(dāng)x>0。f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，在(0,1)單調(diào)遞增。f(-1)=e^-1+1>0，f(0)=1-0=1>0。由于f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減且f(0)>0，故在(-∞,0)上只有一個(gè)零點(diǎn)。又f(0)>0，f(1)=e-1<0，由介值定理，在(0,1)上存在唯一零點(diǎn)。故共有1個(gè)零點(diǎn)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,C

解析：y=x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=log_a(x)(a>1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=e^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=-x+1在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

2.B,C

解析：a_1+a_4=10=>a_1+(a_1+3d)=10=>2a_1+3d=10。a_2+a_5=12=>(a_1+d)+(a_1+4d)=12=>2a_1+5d=12。解方程組{2a_1+3d=10{2a_1+5d=12得{a_1=5{d=2。S_n=na_1+n(n-1)/2*d=n(5)+n(n-1)/2*2=n(5)+n(n-1)=n(6+n)。故B,C正確。

3.A,B,C

解析：向量a與向量b共線，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a=λb，A正確。由三角不等式|a+b|≤|a|+|b|，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向。|a|+|b|-|a+b|≥0，B正確。f(-x)=-f(x)是奇函數(shù)定義，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C正確。連續(xù)不一定有界，例如f(x)=1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)上連續(xù)但無界，D錯(cuò)誤。

4.A,C,D

解析：勾股定理逆定理，A正確。sinA=sinB=>a/b=c/b=>a=c，故△ABC是等腰三角形，B錯(cuò)誤（應(yīng)為a=c）。3^2+4^2=5^2，C正確。cosA=cosB=>a^2+b^2=c^2=>sin^2A+sin^2B=sin^2C=>sin^2C=1=>sinC=±1=>C=90°，故△ABC是直角三角形，D正確。

5.B

解析：橢圓離心率e=√(1-(b/a)^2)(a>b>0)，e<1。雙曲線離心率e=√(1+(b/a)^2)(a>0,b>0)，e>1。拋物線離心率e=1。橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)的離心率e=√(1-(b/a)^2)<1。雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的離心率e=√(1+(b/a)^2)>1。拋物線y^2=2px(p>0)的離心率e=1。只有B正確。

三、填空題答案及解析

1.-1/2

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2+2(x+1)+1]/(x+1)dx=∫(x+1)^2/(x+1)dx+∫2(x+1)/(x+1)dx+∫1/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫2dx+∫1/(x+1)dx=(x^2/2+x)+2x+ln|x+1|+C=x^2/2+3x+ln|x+1|+C。

2.(1,2)∪(2,+∞)

解析：A={x|(x-1)(x-2)>0}=(-∞,1)∪(2,+∞)。B={x|-2<x<-1或1<x<2}。A∩B=[(-∞,1)∪(2,+∞)]∩[(-2,-1)∪(1,2)]=(-2,-1)∪(1,2)。

3.5

解析：z?=3-4i。|z-z?|=|(3+4i)-(3-4i)|=|8i|=8。

4.3/5

解析：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=4/5。這里計(jì)算有誤，cosA=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=4/5。修正：cosA=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=4/5。應(yīng)為3/5。a^2+b^2=c^2=>cosC=0=>C=90=>A+B=90=>cosA=sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(4/5)^2)=√(1-16/25)=√9/25=3/5。

5.2

解析：拋物線y^2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2。點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x到-2的距離為4。|x-(-2)|=4=>|x+2|=4。x+2=4=>x=2。或x+2=-4=>x=-6。點(diǎn)P在拋物線上，(-6)^2=8(-6)=>36=-48，不成立。故x=2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2+2(x+1)+1]/(x+1)dx=∫[(x+1)^2/(x+1)+2(x+1)/(x+1)+1/(x+1)]dx=∫(x+1)dx+∫2dx+∫1/(x+1)dx=x^2/2+x+2x+ln|x+1|+C=x^2/2+3x+ln|x+1|+C。

2.f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。比較端點(diǎn)值和駐點(diǎn)值，最大值為2，最小值為-2。

3.{x+2y=5{3x-y=2

解：由(2)得y=3x-2。代入(1)得x+2(3x-2)=5=>x+6x-4=5=>7x=9=>x=9/7。將x=9/7代入y=3x-2得y=3(9/7)-2=27/7-14/7=13/7。解為{x=9/7{y=13/7。

4.lim(x→0)(sin(3x)/tan(2x))=lim(x→0)(sin(3x)/sin(2x))*(cos(2x))=lim(x→0)[(3x/2x)*(2sin(2x)/2x)*cos(2x)]=(3/2)*1*1=3/2。

5.向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)。|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√4+4=√8=2√2。向量AB與x軸正方向的夾角θ滿足cosθ=(2,-2)·(1,0)/(|AB||1|)=2/(2√2*1)=1/√2。θ=arccos(1/√2)=π/4。方向角為π/4。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷主要涵蓋了解析幾何、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、不等式、方程組、極限等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)。

1.解析幾何：涉及直線與圓的方程、圓的性質(zhì)、橢圓