近五年高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域為（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.R

D.(-1,3)

2.已知集合A={x|x2-x-6>0},B={x|ax+1>0},若B?A,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(-∞,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z=1+2i的模為|z|,則復(fù)數(shù)z2的模為（）

A.|z|

B.2|z|

C.|z|2

D.2|z|2

4.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱,且周期為π,則φ的可能取值為（）

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ(k∈Z)

C.kπ-π/2(k∈Z)

D.2kπ(k∈Z)

5.在等差數(shù)列{a?}中,若a?=10,a??=31,則該數(shù)列的前n項和S?的最小值為（）

A.0

B.5

C.10

D.15

6.已知圓O的半徑為1,點P在圓外,且|OP|=2,則過點P的圓O的切線長為（）

A.√3

B.√2

C.1

D.√5

7.在△ABC中,若角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a2=b2+c2-bc,則角A的大小為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值,則實數(shù)a的值為（）

A.3

B.2

C.1

D.0

9.在直角坐標(biāo)系中,曲線y=x2與直線y=kx相切,則實數(shù)k的值為（）

A.2

B.√2

C.1

D.-√2

10.已知三棱錐A-BCD的底面ABC為等邊三角形,AB=2,點D在平面ABC上,且AD⊥平面ABC,若三棱錐A-BCD的體積為√3,則點D到平面ABC的距離為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|,下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的有（）

A.函數(shù)f(x)的最小值為3

B.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

C.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=-1/2對稱

D.方程f(x)=4有四個實數(shù)解

2.在等比數(shù)列{a?}中,若a?=6,a?=162,則下列關(guān)于該數(shù)列的說法正確的有（）

A.數(shù)列的公比為3

B.數(shù)列的前n項和S?=2(3?-1)

C.數(shù)列中存在某一項為54

D.數(shù)列的前10項和大于前5項和

3.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,直線l的方程為y=kx,下列關(guān)于圓C與直線l的位置關(guān)系的說法正確的有（）

A.當(dāng)k=-2時,直線l與圓C相切

B.當(dāng)k=-1時,直線l與圓C相交

C.當(dāng)k=0時,直線l與圓C相切

D.無論k取何值,直線l都與圓C相交

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x,下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的有（）

A.函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值

B.函數(shù)f(x)在x=-1處取得極小值

C.函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有兩個交點

D.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(1,0)中心對稱

5.已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABC,PB=PC,點D為BC的中點,下列關(guān)于三棱錐P-ABC的說法正確的有（）

A.點P到平面ABC的距離為5

B.三棱錐P-ABC的體積為12

C.直線AD與PC相交

D.直線AD與PB垂直

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin(2x)-1,則f(x)的最小正周期為_______.

2.在△ABC中,若角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a=3,b=√7,c=√2,則cosB=_______.

3.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?,且a?=7,S??=65,則該數(shù)列的通項公式a?=_______.

4.已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0,則圓C的圓心坐標(biāo)為_______,半徑為_______.

5.在直角坐標(biāo)系中,曲線y=e?與直線y=x+1相交于點P,則點P的坐標(biāo)為_______.

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x-1)-x2+2x+3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值。

2.在△ABC中,已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a=2,b=√3,C=60°,求sinB的值及△ABC的面積。

3.已知等比數(shù)列{a?}的首項a?=1,公比q=2,求數(shù)列的前n項和S?及第n項a?的值。

4.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,直線l的方程為y=kx-1,求直線l與圓C相交時，k的取值范圍。

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x,求函數(shù)f(x)的極值點及對應(yīng)的極值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域要求x2-2x+3>0,解不等式得x∈R.

2.A

解析：集合A=(-∞,-2)∪(3,+∞),B?A,若B=?,則a≤0,若B≠?,則ax+1>0有解,即a>0,且a+1>-2a,解得a>-1,綜上a∈(-∞,-1).

3.D

解析：|z|=√(12+22)=√5,z2=(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i,|z2|=√((-3)2+42)=√25=5=2√5=2|z|.

4.A

解析：f(x)=sin(ωx+φ)關(guān)于y軸對稱,則f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),得-ωx+φ=ωx+φ+2kπ或-ωx+φ=π-(ωx+φ)+2kπ,解得φ=kπ+π/2(k∈Z).

5.B

解析：設(shè)公差為d,則a?+4d=10,a?+9d=31,解得a?=1,d=3,a?=1+(n-1)×3=3n-2,S?=n/2(a?+a?)=n/2(1+3n-2)=3n2-n/2,S?'=6n-1/2>0,n≥1,S?在[1,+∞)上單調(diào)遞增,最小值為S?=5.

6.C

解析：圓O的半徑為1,點P在圓外,|OP|=2,過點P的圓O的切線長為√(|OP|2-r2)=√(22-12)=√3.

7.C

解析：a2=b2+c2-bc=b2+c2-2bc/2=(b-c/2)2+bc/4≥bc/4,又a2=b2+c2-2bc*cosA,所以bc*cosA≥bc/4,因為b,c>0,所以cosA≥1/4,又a2=b2+c2-2bc*cosA<b2+c2,所以cosA<1,A∈(0,π),所以A∈(0,arccos(1/4)),又a2=b2+c2-bc=(b-c/2)2+bc/4≥bc/4<b2+c2,所以A∈(60°,90°),結(jié)合選項,A=60°.

8.A

解析：f'(x)=3x2-a,f'(1)=3-a=0,解得a=3.

9.B

解析：聯(lián)立y=x2與y=kx,得x2-kx=0,x(x-k)=0,交點為(0,0)和(k,k2),由相切得判別式Δ=k2-4×0×k2=0,解得k=0或k=±2√2,當(dāng)k=0時,直線過原點,切點也為原點;當(dāng)k=±2√2時,切點為(±2√2,8),綜上k=±2√2.

10.A

解析：底面ABC為等邊三角形,AB=2,AD⊥平面ABC,V=(1/3)×(√3/4)×22×AD=√3,解得AD=1.

二、多項選擇題答案及解析

1.A,C

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|={x+3,x<-2;-x+1,-2≤x≤1;x-1,x>1},當(dāng)x=-1/2時,f(-1/2)=(-1/2)-1+(-1/2)+2=1,不是最小值;當(dāng)x=1時,f(1)=1-1+1+2=3,最小值為3;f(-x)=|-x-1|+|-x+2|=|x+1|+|x-2|≠-f(x),不是奇函數(shù);f(x)圖像關(guān)于x=-1/2對稱;f(x)-4=|x-1|+|x+2|-4={x-1+x+2-4,x<-2;-x+1+x+2-4,-2≤x≤1;x-1+x-2-4,x>1}={2x-3,x<-2;-1,-2≤x≤1;2x-7,x>1},令f(x)-4=0,當(dāng)x<-2時,2x-3=0,x=-3/2,在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi);當(dāng)-2≤x≤1時,-1=0無解;當(dāng)x>1時,2x-7=0,x=7/2,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),共有兩個實數(shù)解,不是四個.

2.A,B,C

解析：q=(a?/a?)=162/6=27=33,a?=a?q?=81a?,81a?=162,a?=2,a?=a?q??1=2×3??1,S?=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=1-3?,S?'=-2×3??1<0,n≥1,S?在[1,+∞)上單調(diào)遞減,S??=1-31?<0,S?=1-3?>0,S??<S?;a?=2×3??1=54,3??1=27,n-1=3,n=4,存在a?=54;S?/S??=(1-3?)/(1-31?)=(-243)/(-59049)=1/243>1,S?>S??.

3.A,B

解析：圓心(1,-2),半徑r=2.圓心到直線l:kx-y-1=0的距離d=|k×1-(-2)-1|/√(k2+(-1)2)=|k+1|/√(k2+1).直線與圓相切,d=r=2,|k+1|/√(k2+1)=2,(k+1)2=4(k2+1),k2+2k+1=4k2+4,3k2-2k+3=0,Δ=(-2)2-4×3×3=4-36=-32<0,無解,直線與圓不相切;直線與圓相交,d<r=2,|k+1|/√(k2+1)<2,(k+1)2<4(k2+1),k2+2k+1<4k2+4,-3k2+2k-3<0,Δ=22-4×(-3)×(-3)=4-36=-32<0,對任意k都成立,直線與圓總相交.

4.A,B,D

解析：f'(x)=3x2-6x+2,令f'(x)=0,3x2-6x+2=0,Δ=(-6)2-4×3×2=36-24=12>0,x?=(6-√12)/6=(3-√3)/3,x?=(3+√3)/3.f'(x)的符號如下表:

x(-∞,(3-√3)/3)((3-√3)/3,(3+√3)/3)((3+√3)/3,+∞)

f'(x)+-+

f(x)↗↘↗

極值極大值極小值極大值

所以極大值點x=(3-√3)/3,極小值點x=(3+√3)/3.

f((3-√3)/3)=((3-√3)/3)3-3((3-√3)/3)2+2((3-√3)/3)+3=(27-27√3+9-3√3)/27-(3-√3)+2(3-√3)/3+3=(-18√3+39)/27-(3-√3)+2(3-√3)/3+3=(-6√3+13)/9-3+√3+2(3-√3)/3+3=(-6√3+13)/9-3+√3+2-2√3/3+3=(-6√3+13)/9-3+√3+5-2√3/3=(-6√3+13)/9+2-√3/3=(-6√3+13+18-3√3)/9=(31-9√3)/9.

f((3+√3)/3)=((3+√3)/3)3-3((3+√3)/3)2+2((3+√3)/3)+3=(27+27√3+9+3√3)/27-(3+√3)+2(3+√3)/3+3=(36+30√3)/27-(3+√3)+2(3+√3)/3+3=(12+10√3)/9-3-√3+2(3+√3)/3+3=(12+10√3)/9-3-√3+2+2√3/3+3=(12+10√3)/9+1+√3/3=(12+10√3+3+3√3)/9=(15+13√3)/9.

極值為(31-9√3)/9和(15+13√3)/9.

f(x)=x3-3x2+2x=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2),令f(x)=x,x(x-1)(x-2)=x,x(x-1)(x-2)-x=0,x(x-1)(x-2-1)=0,x(x-1)(x-3)=0,交點為x=0,1,3,不關(guān)于點(1,0)中心對稱.

f(x)圖像關(guān)于點(1,0)中心對稱,因為f(1-x)=(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)=1-3x2+3x3-3(1-2x+x2)+2-2x=1-3x2+3x3-3+6x-3x2+2-2x=3x3-6x2+4x=-f(x).

5.A,B,D

解析：BC中點D坐標(biāo)為(3,2).AD=√(32+22)=√13.AD⊥BC,AD⊥平面ABC,點P到平面ABC的距離為PD=AD=√13.V=(1/3)×(1/2)×3×4×√13=2√13.PB=PC,P在BC中垂線l上,l過D且垂直BC,l方程為x=3.AD方程為y=2x/3.P在l上,P(3,y),P在AD上,y=2×3/3=2,P(3,2),P與D重合.AD與PC不平行,不相交,異面.AD⊥平面ABC,PB?平面PBC,AD⊥PB.

三、填空題答案及解析

1.π

解析：f(x)=2cos2x+sin(2x)-1=cos(2x)+1+sin(2x)=√2sin(2x+π/4)+1,T=2π/|ω|=2π/2=π.

2.1/√7

解析：cos2B=(b2+c2-a2)/(2bc)=(7+2-9)/(2×√7×√2)=0/(2√14)=0,cosB=±√(1-sin2B)=±√(1-(2/√14)2)=±√(1-4/14)=±√(10/14)=±√5/√7.由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA,cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(7+2-9)/(2×√7×√2)=0/(2√14)=0,A∈(0,π),A=π/2,B+C=π/2,B∈(0,π/2),cosB>0,cosB=√5/√7.

3.3n-2

解析：a?=a?+4d=7,S??=10/2(a?+a??)=5(a?+a?+9d)=5(2a?+36d)=65,a?+18d=13,解得a?=1,d=2,a?=a?+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1+1=3n-2.

4.(1,-2),3

解析：圓方程為(x-1)2+(y+2)2=4,圓心為(1,-2),半徑r=√4=2.

5.(e,e+1)

解析：聯(lián)立y=e?與y=x+1,得e?=x+1,令f(x)=e?-x-1,f'(x)=e?-1,令f'(x)=0,e?-1=0,e?=1,x=0.f(0)=1-0-1=0,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)≥0,等號成立時x=0,y=e?=1,交點為(0,1),不是(1,e),重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對,重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對,重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對,重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對,重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對,重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對,重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對.重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對.重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x=e-1,交點為(e-1,e),交點為(1,e),不對.重新聯(lián)立e?=x+1,e=1+1=2,x