14.3因式分解14．3.1提公因式法教學目標課題14.3.1提公因式法授課人素養(yǎng)目標1.了解因式分解與整式乘法之間的關系.2.了解因式分解的概念和提公因式法，能確定多項式各項的公因式，并能用提公因式法進行因式分解. 3.在探索因式分解的概念和提公因式法因式分解的過程中體會逆向思維，并啟發(fā)學生用類比的思想方法思考現(xiàn)實世界. 教學重點掌握用提公因式法把多項式分解因式．教學難點正確地確定多項式的最大公因式.教學活動教學步驟師生活動活動一：回顧導入，引出新課設計意圖因式分解與整式的乘法是相反的變形，回顧整式的乘法計算為學習本節(jié)課做鋪墊.【回顧導入】計算：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2；x(x＋1)＝x2＋x；(x＋1)(x－1)＝x2－1.利用整式的乘法運算，有時可以將幾個整式的乘積化為一個多項式的形式．反過來，在式的變形中，有時候也需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式，具體是怎樣轉化的呢？就讓我們一起進入今天的學習吧！【教學建議】學生獨立完成練習，互相訂正.活動二：實踐探究，獲取新知設計意圖通過跟活動一計算的對比練習，讓學生用已有知識解決問題，體會到數(shù)學知識帶來收獲的愉悅感．經歷從整式乘法到因式分解的變形過程，讓學生感悟數(shù)學中的逆向思維.探究點1因式分解的概念將下列多項式寫成整式的乘積的形式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2；x2＋x＝x(x＋1)；x2－1＝(x＋1)(x－1).參照活動一中的計算，我們把式子反過來變形了，現(xiàn)在這些等式的左邊是多項式，等式的右邊是因式的積的形式.概念引入：我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.問題因式分解與整式乘法有什么聯(lián)系與區(qū)別？聯(lián)系：因式分解與整式乘法是方向相反的變形，即【教學建議】這是本章的理論基礎，各種因式分解的方法都是以此作為基礎而推導出來的．教學中要緊緊抓住這一關鍵性的關系式.要注意讓學生區(qū)分因式分解與多項式乘法的區(qū)別，防止學生出現(xiàn)在進行因式分解當中，半路又做整式乘法的錯誤.教學步驟師生活動例下列各式從左到右的變形是否為因式分解？(x＋1)(x－1)＝x2－1；②7x－7＝7(x－1)；③x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y);④2x(x－3y)＝2x2－6xy；⑤y2＋x2－4＝y(tǒng)2＋(x－2)(x＋2).解：①④⑤不是因式分解，②③是因式分解.【對應訓練】下列各式從左到右的變形是因式分解的是③.(填序號)(m＋3)(m－3)＝m2－9;②x2－9x＝x(x＋3)(x－3)；③y2－4y＋4＝(y－2)2;④a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1.【教學建議】教師提醒學生因式分解是式子的恒等變形，形式改變但值不變.設計意圖由學生發(fā)現(xiàn)，歸納總結得到公因式的結構組成，讓學生體會到自主探究的樂趣．從已學過的分配律得出提公因式法的計算方法，訓練學生的逆向思維．例題從提取的公因式是一個單項式過渡到提取的公因式是多項式，進一步發(fā)展學生的類比思維.探究點2提公因式法公因式問題1觀察下列多項式有何共同特點？概念引入：我們把多項式各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式.問題2找公因式的方法是什么呢？請大家從系數(shù)、字母、指數(shù)三個方面以小組討論的方式說一說！教師歸納比如：多項式pa＋pb＋pc的公因式是p.提公因式法根據(jù)分配律有：p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc，把這個式子反過來表示，即可得pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c).這樣就把pa＋pb＋pc分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式p，另一個因式a＋b＋c是pa＋pb＋pc除以p所得的商.概念引入：下面我們來看兩個例題：例1(教材P115例1)把8a3b2＋12ab3c分解因式.分析：①一看系數(shù)：8與12的最大公因數(shù)是4；二看字母：a3b2和ab3c的相同字母有a和b；三看指數(shù)：a的最低指數(shù)是1，b的最低指數(shù)是2；所以公因式是4ab2.【教學建議】多項式各項的公因式的概念是學習用提公因式法分解因式的關鍵，教學時一定要強調多項式“各項都含有的公共的因式”，否則就不是多項式的公因式.【教學建議】這里把公因式p提到括號外面，相當于用公因式p去除已知多項式，所得的商式就是另一個因式，再把多項式寫成這兩個因式的積．教學時，根據(jù)分配律來說明把各項的公因式提到括號外面即可，不必說明用公因式去除各項的方法，這樣學生接受起來容易些.【教學建議】提公因式法是因式分解這一節(jié)講授的第一種因式分解的方法，是最基本的也是最重要的因式分解的方法．本節(jié)的多項式中的字母指數(shù)僅限于正整數(shù)的情況，不考慮多項式中字母的指數(shù)是字母的情況，例如把多項式an－an＋1＋an＋2(n∈N)分解因式之類的題目一律不要求.教學步驟師生活動解：8a3b2＋12ab3c＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc＝4ab2(2a2＋3bc).問題3如果例1中提出公因式4ab，另一個因式是否還有公因式？把8a3b2＋12ab3c提出公因式4ab，得2a2b＋3b2c，我們發(fā)現(xiàn)這個式子還有公因式b.因此造成分解因式不徹底.例2(教材P115例2)把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式.解：2a(b＋c)－3(b＋c)＝(b＋c)(2a－3).問題4如何檢查因式分解是否正確？檢查是否漏項的方法是：在分解因式完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，看結果是否與原式相同，如果相同就說明沒有漏項，否則就漏項了.【對應訓練】教材P115練習第1，2題．本節(jié)考慮的系數(shù)是指整數(shù)系數(shù)的情況，以后可能還會遇到分數(shù)系數(shù)的情況，此時先不要引申和涉及.活動三：知識延伸，鞏固訓練設計意圖由字母過渡到數(shù)字，拓寬學生視野，強化因式分解在簡便計算中的應用.例計算：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4.解：原式＝21×3.14＋62×3.14＋17×3.14＝3.14×(21＋62＋17)＝3.14×100＝314.【對應訓練】教材P115練習第3題．【教學建議】教師可讓學生自己思考發(fā)現(xiàn)式子中每一項的相同點，啟發(fā)學生把不同的那一項往相同點上轉化.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是因式分解？因式分解與整式乘法有什么關系？2.什么是公因式？如何找公因式？如何利用提公因式法分解因式？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P119習題14.3第1題.2.《》主體本部分相應課時訓練．板書設計14.3因式分解14.3.1提公因式法 1.因式分解的概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式. 2.關系：因式分解與整式乘法是方向相反的變形. 3.提取公因式的方法：把多項式各項的公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式. 教學反思本節(jié)課是因式分解的第一節(jié)課，主要內容是建立因式分解的概念和用提公因式法進行簡單的因式分解．由于因式分解的主要目的是對多項式進行恒等變形，它的作用更多的是應用于多項式的計算和化簡，是數(shù)學中對式的基本運算的內容之一，所以本節(jié)課采用了“低起點、多歸納、勤練習、快反饋”的教學方法.解題大招一找公因式的方法(1)公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式．(2)要善于發(fā)現(xiàn)隱蔽的公因式．如a－b與b－a是一對相反數(shù)，但它們可以變形為含相同因式的形式．(3)先確定公因式的系數(shù)部分，再確定公因式的字母部分．例1(1)多項式6ab2c－3a2bc＋12a2b2的公因式是3ab.(2)多項式4x(x－2)3－2x(2－x)的公因式是2x(x－2)．解題大招二用提公因式法分解因式(1)當多項式第一項的系數(shù)為負數(shù)時，一般提出負號，且各項都變號．(2)當多項式中的某一項恰好與公因式相同時，該項提取公因式后剩下的應是1，不能漏掉．(3)因式分解常用到以下幾個恒等變形：①b－a＝－(a－b)；②(a－b)2＝(b－a)2；③(b－a)3＝－(a－b)3.例2把下列各式分解因式：(1)－4m3＋16m2－26m；(2)x(b＋c－a)－y(b＋c－a)－(－a＋b＋c)；(3)6a(b－a)2－2(a－b)3.解：(1)－4m3＋16m2－26m＝－2m(2m2－8m＋13)；(2)x(b＋c－a)－y(b＋c－a)－(－a＋b＋c)＝x(b＋c－a)－y(b＋c－a)－(b＋c－a)＝(b＋c－a)(x－y－1)；(3)6a(b－a)2－2(a－b)3＝6a(a－b)2－2(a－b)3＝2(a－b)2[3a－(a－b)]＝2(a－b)2(2a＋b)．解題大招三利用因式分解進行簡便運算如果直接計算太復雜，可以嘗試著將某些數(shù)字拆分變形，使其有公因式可以提取，簡化運算．例3計算：(1)39×37－13×91；(2)1.992＋1.99×0.01.解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)1.992＋1.99×0.01＝1.99×(1.99＋0.01)＝3.98.解題大招四利用提公因式法求式子的值在求值問題中，如果不容易求出所求式子中每一個字母的值，那么可考慮提公因式，將所求式子因式分解成含有已知式子的形式，然后利用整體思想整體代入求值．例4若x＋y＝10，xy＝1，則x3y＋xy3的值是98.解析：x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy]．當x＋y＝10，x