第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）通過(guò)函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（3）能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的基本概念01.知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的基本概念

提醒

Δx可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.

（1）（蘇教選一P200習(xí)題14題改編）設(shè)f（x）在x0處可導(dǎo)，下列式

子與f'（x0）相等的是（

B

）A.

B.

C.

D.

B

（2）（人A選二P65例2改編）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同

產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.已知在第x

h時(shí)，原油的溫度（單位：

℃）為f（x）＝x2－7x＋15（其中0≤x≤8）.則第2

h～4

h中，原油溫度

的平均變化率為

，第6

h時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率為

?

，在第6

h附近原油的溫度在

.（填“上升”或“下降”）－1

℃/h

5

℃/h

上升

規(guī)律方法求函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟

提醒

函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）反映了函數(shù)f（x）的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，

其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了變化的快慢，｜f'

（x）｜越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡峭”.

A.

a＜f'（2）＜f'（4）B.f'（2）＜a＜f'（4）C.

f'（4）＜f'（2）＜aD.f'（2）＜f'（4）＜aB

2

PART02知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算1.

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)f（x）＝c（c為常數(shù)）f'（x）＝

?f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）f'（x）＝

?f（x）＝sin

xf'（x）＝

?f（x）＝cos

xf'（x）＝

?f（x）＝exf'（x）＝

?0

αxα－1

cos

x

－sin

x

ex

基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝

?f（x）＝ln

xf'（x）＝

?f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝

?axln

a

2.

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）[f（x）±g（x）]'＝

?；（2）[f（x）g（x）]'＝

?；

f'（x）±g'（x）

f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）

3.

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f（g（x））的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f（u），u＝g（x）的導(dǎo)數(shù)

間的關(guān)系為y'x＝

?.結(jié)論奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)

函數(shù)還是周期函數(shù).

y'u·u'x

（1）〔多選〕（人A選二P81習(xí)題1題改編）下列求導(dǎo)正確的是

（

AC

）A.

（x3ln

x）'＝3x2ln

x＋x2B.

（

）'＝

C.

[（3x＋5）3]'＝9（3x＋5）2D.

［x

sin（

2x＋

）cos（

2x＋

）］'＝2x

cos

4xAC

（2）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足關(guān)系式f（x）＝x2＋

3xf'（2）＋ln

x，則f（1）＝

?.

規(guī)律方法函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)遵循的原則（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、

商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)；（2）抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解；（3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

A.

B.1C.

D.2

B（2）觀察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos

x）'＝－sin

x，由歸納推理

可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（－x）＝f（x），記g（x）為

f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（－x）＝

?.解析：由結(jié)論知偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f（x）是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g（－x）＝－g（x）.－g（x）

知識(shí)點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義

提醒

區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過(guò)點(diǎn)處的切線（1）在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條；（2）過(guò)點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條.角度1

求切線方程

A.

y＝－xB.

y＝－x－1C.

y＝0D.

y＝x－1C

角度2

求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)

（1）（人B選三P89練習(xí)B

6題改編）已知曲線f（x）＝x3－x＋3在

點(diǎn)P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

C

）A.

（1，3）B.（－1，3）C.

（1，3）或（－1，3）D.（1，－3）

C（2）（2022·新高考Ⅰ卷15題）若曲線y＝（x＋a）ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

的切線，則a的取值范圍是

?.

（－∞，－4）∪（0，＋∞）

規(guī)律方法1.

處理與切線有關(guān)的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出

參數(shù)的方程：（1）切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；（2）切點(diǎn)在切線上；

（3）切點(diǎn)在曲線上.2.

注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P的切線”.提醒

注意曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.練3（1）（2025·張家港一模）奇函數(shù)f（x）＝ax3＋（4－a）x2

（x∈R）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為（

D

）A.

6x－y＋4＝0B.6x＋y－4＝0C.12x＋y＋8＝0D.12x－y－8＝0解析：由f（x）為奇函數(shù)可知4－a＝0，即a＝4，則f（x）＝4x3，f'（x）＝12x2，則f'（1）＝12，故所求切線斜率為12，又f（1）＝4，故切線方程為12x－y－8＝0.D（2）（2025·瀘州模擬）若直線y＝kx＋1為曲線y＝ln

x的一條切線，則

實(shí)數(shù)k＝（

D

）A.eB.e2C.

D.

D

提能點(diǎn)兩曲線的公切線問(wèn)題

（1）（2025·大連一模）已知直線y＝kx＋b既是曲線y＝ln

x的切

線，也是曲線y＝－ln（－x）的切線，則（

A

）A.

k＝

，b＝0B.

k＝1，b＝0C.

k＝

，b＝－1D.

k＝1，b＝－1A

（2）（2024·新高考Ⅰ卷13題）若曲線y＝ex＋x在點(diǎn)（0，1）處的切線也

是曲線y＝ln（x＋1）＋a的切線，則a＝

?.

ln

2

規(guī)律方法

兩曲線的公切線問(wèn)題應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，且切點(diǎn)既

在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過(guò)解方程組求

解.或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解.練4（1）已知f（x）＝ex－1，g（x）＝ln

x＋1，則f（x）與g（x）的

公切線有（

C

）A.0條B.1條C.2條D.3條C

（2）已知定義在（0，＋∞）上的函數(shù)f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln

x

－4x，設(shè)兩曲線y＝f（x）與y＝h（x）在公共點(diǎn)處的切線相同，試求實(shí)

數(shù)m的值.

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.

函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖，則導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的大致圖象為（

）解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f'（x）為常數(shù)，且f'（x）＜0.12345678910111213141516√

A.0B.1C.2D.3

√123456789101112131415163.

以下求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A.

若y＝

，則y'＝

B.

若y＝（2x－1）3，則y'＝3（2x－1）2C.

若y＝x2（ln

x＋sin

x），則y'＝x＋2xln

x＋2x

sin

x＋x2cos

xD.

若y＝

，則y'＝－

√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

（2025·榆林模擬）已知函數(shù)f（x）＝aln

x＋x2的圖象在x＝1處的切

線方程為3x－y＋b＝0，則a＋b＝（

）A.

－2B.－1C.0D.1

√123456789101112131415165.

（2024·重慶名校聯(lián)考）函數(shù)f（x）＝x3－3x2的圖象上過(guò)點(diǎn)（3，0）

的切線方程為（

）A.

y＝0B.

y＝9x＋27C.

y＝0或y＝9x－27D.

y＝0或y＝9x＋27√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

（2025·成都川大附中模擬）若點(diǎn)P是曲線y＝ln

x－x2上任意一點(diǎn)，則

點(diǎn)P到直線l：x＋y－4＝0距離的最小值為（

）A.

B.

C.

2

D.4

√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

若曲線C1：y＝ax2（a＞0）與曲線C2：y＝ex存在公共切線，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為（

）A.

（e2，＋∞）B.[e2，＋∞）C.

（

，＋∞）D.［

，＋∞）√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

已知函數(shù)f（x）的圖象如圖，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論

正確的是（

）A.

f'（3）＞f'（2）B.

f'（3）＜f'（2）C.

f（3）－f（2）＞f'（3）D.

f（3）－f（2）＜f'（2）√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

f（x）＝sin

x＋cos

xB.

f（x）＝ln

x－2xC.

f（x）＝－x3＋2x－1D.

f（x）＝－xe－x√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

（2025·鄭州一模）已知y＝f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx

＋2是曲線y＝f（x）在x＝3處的切線，令g（x）＝xf（x），g'（x）是

g（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g'（3）＝

?.0

1234567891011121314151611.

（2025·湖北調(diào)研）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，

實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出

了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化之一.借

用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近

似代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)近似計(jì)算.設(shè)f（x）＝ln（1＋x），則曲線y

＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為

，用此結(jié)論計(jì)算ln

2

025

－ln

2

024≈

?.y＝x

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.

（2025·本溪模擬）請(qǐng)寫出與曲線y＝sin

x在原點(diǎn)（0，0）處具有相

同切線的另一個(gè)函數(shù)

?.解析：∵y＝sin

x的導(dǎo)函數(shù)為y'＝cos

x，又y＝sin

x過(guò)原點(diǎn)，∴y＝sin

x在

原點(diǎn)（0，0）處的切線斜率k＝cos

0＝1，∴y＝sin

x在原點(diǎn)（0，0）處的

切線方程為y＝x.所求曲線只需滿足過(guò)點(diǎn)（0，0）且在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值y'

＝1即可，如y＝x3＋x，∵y'＝3x2＋1，∴y＝x3＋x在原點(diǎn)處的切線斜率

為1，又y＝x3＋x過(guò)原點(diǎn)，∴y＝x3＋x在原點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y

＝x.y＝x3＋x（答案不唯一）12345678910111213141516四、解答題13.

已知函數(shù)f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）.（1）若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為－3，求a，

b的值；解：f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）.

12345678910111213141516

（2）若曲線y＝f（x）存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.12345678910111213141516

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