第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義；（2）了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系；（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積01.知識(shí)點(diǎn)二投影向量02.知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)04.PART01知識(shí)點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1.

向量的夾角

2.

平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a＝（x1，y1）與b＝（x2，y2），它們的夾角為θ，我

們把數(shù)量

叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b，其

坐標(biāo)表示為a·b＝

?.∠AOB

｜a｜｜b｜c(diǎn)os

θ

x1x2＋y1y2

3.

向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）a·b＝b·a；（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒

向量數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即（a·b）c≠a（b·c）；也不

滿足消去律，即a·b＝a·c

b＝c.

A.

－36B.－12C.6D.36

A

A.

B.3C.

2

D.5B

規(guī)律方法計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法（1）利用定義：a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞；（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a·b＝x1x2

＋y1y2；（3）利用基底法求數(shù)量積.

A.1B.2C.

D.

C

11

PART02知識(shí)點(diǎn)二投影向量

A.

bB.

bC.

aD.

a

A

A.2B.－2C.1D.－1

B規(guī)律方法任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜c(diǎn)os

θe

（θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量）.

A.

aB.

aC.

bD.

b

D（2）（2025·武漢一模）已知x∈R，向量a＝（x，2），b＝（2，－

1），且a⊥b，則a＋b在a上的投影向量的坐標(biāo)為（

C

）A.

（

，1）B.（5，1）C.

（1，2）D.（2，－1）

CPART03知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示模｜a｜＝

｜a｜＝

?夾角cos

θ＝

cos

θ＝

幾何表示坐標(biāo)表示a⊥b的充要

條件a·b＝0

＝0｜a·b｜

與｜a｜｜

b｜的關(guān)系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（當(dāng)

且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立）｜x1x2＋y1y2｜≤

x1x2＋y1y2

提醒

a⊥b?a·b＝0是對(duì)非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，

但不能說(shuō)a⊥b.角度1

向量的模

（人A必修二P61復(fù)習(xí)參考題13（6）題改編）若平面向量a，b，c兩

兩夾角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝4，則｜2a＋2b－c｜＝

（

）A.0B.6C.0或

D.0或6√

規(guī)律方法求平面向量模的方法

（2）幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量線性運(yùn)算的平行四邊形

法則或三角形法則作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.角度2

向量的夾角有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論（1）兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立（因?yàn)閵A

角為0時(shí)不成立）；（2）兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立（因?yàn)閵A

角為π時(shí)不成立）.

A.30°B.60°C.120°D.150°

C

規(guī)律方法求平面向量的夾角的方法角度3

向量的垂直

（1）（2024·新高考Ⅰ卷3題）已知向量a＝（0，1），b＝（2，

x），若b⊥（b－4a），則x＝（

D

）A.

－2B.－1D解析：法一因?yàn)閎⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故選D.

法二因?yàn)閍＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，

1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因?yàn)閎⊥（b－4a），所以

b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解

得x＝2，故選D.

C.1D.2（2）已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是

（

D

）A.

a＋2bB.2a＋bC.

a－2bD.2a－bD

規(guī)律方法有關(guān)向量垂直的兩類題型練3（1）〔多選〕（2025·鹽城一模）已知向量a＝（m，－1），b＝

（－2，1），則下列說(shuō)法正確的是（

AC

）A.

若m＝1，則｜a－b｜＝

B.

若a⊥b，則m＝2C.

“m＜－

”是“a與b的夾角為銳角”的充要條件D.

若a·b＝－｜a｜｜b｜，則m＝－2AC

PART04課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.

（2024·新高考Ⅱ卷3題）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝

2，且（b－2a）⊥b，則｜b｜＝（

）A.

B.

12345678910111213141516C.

D.1√2.

已知向量a＝（－2，6），b＝（1，x），若a與b反向，則a·（3a

＋b）＝（

）A.

－30B.30C.

－100D.100解析：

由已知得a與b共線，則－2×x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝

（1，－3），所以3a＋b＝3（－2，6）＋（1，－3）＝（－5，15），因

此a·（3a＋b）＝（－2，6）·（－5，15）＝100.故選D.

√123456789101112131415163.

（2025·南京模擬）平面向量a與b相互垂直，已知a＝（6，－

8），｜b｜＝5，且b與向量（1，0）的夾角是鈍角，則b＝（

）A.

（－3，－4）B.（4，3）C.

（－4，3）D.（－4，－3）√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

已知向量a＝（λ＋1，2），b＝（1，－λ），若a⊥b，則向量c＝

（1，2）在向量a＋b上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A.

（3，1）B.（1，3）C.

（

，

）D.（

，

）

√123456789101112131415165.

（2025·宜春模擬）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1

kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小最接近（忽略空氣阻力，重力加速度g取9.8

m/s2）（

）A.1.4

NB.1.5

NC.1.6

ND.1.8

N√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.4B.4

C.

4

D.8√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

鈍角三角形B.直角三角形C.

等腰直角三角形D.等邊三角形

√12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題

A.

－2B.2C.4D.8√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2025·武漢調(diào)研）已知向量a＝（cos

θ，sin

θ），b＝（－3，

4），則（

）A.

若a∥b，則tan

θ＝－

B.

若a⊥b，則sin

θ＝

C.

｜a－b｜的最大值為6D.

若a·（a－b）＝0，則｜a－b｜＝2

√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

10

12345678910111213141516

（1，1）（答案不唯一，滿足橫、縱坐標(biāo)相等且不為0即可）

1234567891011121314151612.

已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝2，則a·b＋

b·c＋c·a＝

?.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151614.

（2025·青島模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是AB的中

點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M.

（1）求∠EMF的余弦值；

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

E是一條垂直于x軸的直線B.

E是一個(gè)半徑為1的圓C.

E是兩條平行直線D.

E是橢圓√12345678910111213141516

1234567891011121314151616.

〔多選〕如圖，定義a，b的向量積[a，b]＝｜a｜·｜b｜·sin

α，α為當(dāng)a，b的起點(diǎn)相同時(shí)，由a的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與b方向相同

時(shí)，旋轉(zhuǎn)過(guò)的最小角，對(duì)于a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），c＝（x3，

y3）的向量積有如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A.

[λa，μb]＝λμ[a，b