第3節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標要求（1）理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明；（2）掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.目錄CONTENTS知識點一直線與平面平行01.知識點二平面與平面平行02.課時跟蹤檢測03.PART01知識點一直線與平面平行文字語言圖形語言符號語言判定定

理如果平面

?一條直線

與此平面

?的一條直

線平行，那么該直線與此

平面平行（簡記為“線線

平行?線面平行”）

?

?a∥α外

內(nèi)

文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定

理一條直線與一個平面平

行，如果過該直線的平面

與此平面

，那么

該直線與交線平行（簡記

為“線面平行?線線平

行”）

?

?a∥b相交

角度1

直線與平面平行的判定與證明

（1）〔多選〕在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，

D，E，F(xiàn)為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面DEF平

行的是（

AC

）AC解析：對于A，AB∥DE，AB?平面DEF，DE?平面

DEF，所以直線AB與平面DEF平行，正確；對于B，如圖，取正方體的棱BC的中點G，連接FG并延長，交AB延長線于H，則AB與平面DEF相交于點H，錯誤；對于C，AB∥DF，AB?平面DEF，DF?平面DEF，所以直線AB與平面DEF平行，正確；對于D，如圖取底面中心O，連接OD，由于D為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得OD∥AB，因為OD與平面DEF相交，所以直線AB與平面DEF相交，錯誤.

（2）如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝

2AB＝2CE＝4，點F為棱DE的中點.證明：AF∥平面BCE.

法二如圖，在平面ABCD內(nèi)，分別延長CB，DA，交于點N，連接EN.

因為AB∥CD，CD＝2AB，所以A為DN的中點.又F為DE的中點，所以AF∥EN，因為EN?平面BCE，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE.

法三如圖，取棱CD的中點G，連接AG，GF，因為點F為棱DE的中點，所以FG∥CE，因為FG?平面BCE，CE?平面BCE，所以FG∥平面BCE.

因為AB∥CD，AB＝CG＝2，所以四邊形ABCG是平行四邊形，所以AG∥BC，因為AG?平面BCE，BC?平面BCE，所以AG∥平面BCE.

又FG∩AG＝G，F(xiàn)G?平面AFG，AG?平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE.

因為AF?平面AFG，所以AF∥平面BCE.

規(guī)律方法判斷或證明線面平行的常用方法（1）利用線面平行的定義（無公共點）；（2）利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；（3）利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α?a∥β）；（4）利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?β，a∥α?a∥β）.角度2

直線與平面平行的性質(zhì)

（1）（人A必修二P134例1改編）如圖所示，在空間四邊形ABCD

中，F(xiàn)，G分別是BC，CD的中點，EH∥平面CBD，則EH與FG的位置

關(guān)系是（

A

）A.

平行B.

相交C.

異面D.

不確定A解析：因為F，G分別為BC，CD的中點，所以FG∥BD，因為EH∥平

面CBD，平面ABD∩平面BCD＝BD，EH?平面ABD，所以EH∥BD，

由平行的傳遞性可知EH∥FG.

故選A.

（2）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M

是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.

求證：

PA∥GH.

證明：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.

規(guī)律方法

應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時，關(guān)鍵是過已知直線作輔助平面與已知平

面相交，所得交線與已知直線平行.還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)任意

一條直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面內(nèi)，所有與交線平行的直

線都與已知直線平行，所有與交線相交的直線都與已知直線異面.

（2）若平面PAB∩平面PCD＝l，試問直線l是否與直線CD平行，請說

明理由.解：假設(shè)直線l∥CD，因為l?平面PAB，CD?

平面PAB，所以CD∥平面PAB，又CD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所

以CD∥AB，這與CD與AB不平行矛盾，所以直線l與直線CD不平行.PART02知識點二平面與平面平行文字語言圖形語言符號語言判定定

理如果一個平面內(nèi)的兩

條

?與另一個

平面平行，那么這兩個平

面平行（簡記為“線面平

行?面面平行”）

?

?β∥α相交直線

文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定

理兩個平面平行，如果另一

個平面與這兩個平面

?

，那么

?

平行

??a∥b相

交

兩條交線

結(jié)論

（1）垂直于同一條直線的兩個平面平行；（2）平行于同一個平面的兩個平面平行；（3）夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等；（4）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

（湘教必修二P174例2改編）如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，

過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH（GH與B1C1不重合）.

（1）求證：BC∥GH；證明：由三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)知，平面ABC∥平

面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面

A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.

（2）若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平

面BCHG.

證明：∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.

又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1∥AB，且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，且A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.

∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.

又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.

1規(guī)律方法1.

證明面面平行的常用方法（1）利用面面平行的判定定理；（2）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行（l⊥α，l⊥β?α∥β）；（3）利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這

兩個平面平行（α∥β，β∥γ?α∥γ）.2.

面面平行條件的應(yīng)用（1）兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行；（2）兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.提醒

利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明在一個平面內(nèi)的

兩條直線是相交直線.練2

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB

的中點.

（1）求證：平面A1C1G∥平面BEF；證明：因為E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點，所以

EF∥A1C1.因為A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，所以EF∥平

面A1C1G.

又F，G分別為A1B1，AB的中點，所以A1F＝BG.

又A1F∥BG，所以四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF∥A1G.

因為A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G.

又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，所以平面A1C1G∥平面BEF.

（2）若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點.證明：因為平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點G，且平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，所以A1C1∥GH，所以GH∥AC.

因為G為AB的中點，所以H為BC的中點.

提能點平行關(guān)系的綜合應(yīng)用（1）求證：PQ∥平面A1D1DA；

規(guī)律方法三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化練3如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.（1）求證：AB∥平面EFGH；解：證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，

∴EF∥HG.

∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.

又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，

∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.

（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH的周長l的取值范圍.

PART03課時跟蹤檢測一、單項選擇題1.

（2025·榆林一模）若直線l平行于平面α，則（

）A.

平面α內(nèi)的所有直線都與直線l平行B.

平面α與直線l不存在公共點C.

平面α內(nèi)不存在與直線l垂直的直線D.

平面α內(nèi)的直線都與直線l異面12345678910111213141516√解析：

若直線l平行于平面α，則平面α與直線l不存

在公共點，故B正確；如圖，設(shè)l?β，l∥α，α∩β＝

m，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得l∥m，則在平面α內(nèi)所

有與直線m平行的直線均與l平行，設(shè)n?α且n⊥m，則

n⊥l，在平面α內(nèi)所有與直線n平行的直線均與l垂直，故

A、C、D錯誤.故選B.

123456789101112131415162.

α和β是兩個不重合的平面，在下列條件中可判定平面α與β平行的是

（

）A.

l∥α，l∥βB.

α內(nèi)不共線的三點到β的距離相等C.

l，m是平面α內(nèi)的直線且l∥β，m∥βD.

l，m是兩條異面直線且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β√12345678910111213141516解析：

對于A，α和β可平行也可相交；對于B，必須是α內(nèi)不共線的

三點，且在β的同側(cè)到β的距離相等，才可判定平面α與平面β平行，故

B錯誤；對于C，當l，m是平面α內(nèi)的兩條平行直線時，α與β可能相

交，故C錯誤；對于D，過直線l，m分別作平面與平面α，β相交，設(shè)交

線分別為l1，m1與l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，從而l1∥l2，

則l1∥β，同理m1∥β，因為l1與m1相交，所以α∥β.故選D.

123456789101112131415163.

在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝

CF∶FB＝1∶2，則直線AC和平面DEF的位置關(guān)系是（

）A.

平行B.

相交C.

在平面內(nèi)D.

不能確定√

123456789101112131415164.

已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC＝（

）A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.4∶25解析：

∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，

∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝

2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.√123456789101112131415165.

（2025·榆林模擬）在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為該棱柱的九條棱中

某條棱的中點，若A1C∥平面BC1D，則D為（

）A.

棱AB的中點B.

棱A1B1的中點C.

棱BC的中點D.

棱AA1的中點√解析：

如圖，當D為棱A1B1的中點時，取AB的中點

E，∵A1E∥BD，DC1∥EC，DC1∩BD＝D，∴平面

A1CE∥平面BC1D，又A1C?平面A1CE，則A1C∥平面

BC1D.

故選B.

123456789101112131415166.

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G，P，Q分別為

棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點，則下列敘述中正確的是（

）A.

直線BQ∥平面EFGB.

直線A1B∥平面EFGC.

平面APC∥平面EFGD.

平面A1BQ∥平面EFG√12345678910111213141516解析：

過點E，F(xiàn)，G的截面如圖所示（H，I分別為

AA1，BC的中點），連接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ

與平面EFG相交于點Q，故A錯誤；∵A1B∥HE，A1B?

平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正

確；AP?平面ADD1A1，GH?平面ADD1A1，GH與PA的

延長線必相交，故C錯誤；易知平面A1BQ與平面EFG有交

點Q，故D錯誤.

12345678910111213141516

A.

aB.

aC.

aD.

a√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項選擇題8.

（2025·廣州模擬）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝2MA1，

BN＝2NB1，過MN作一平面分別交底面△ABC的邊BC，AC于點E，F(xiàn)則

（

）A.

MF∥EBB.

A1B1與NE異面C.

四邊形MNEF為平行四邊形D.

四邊形MNEF為梯形√√12345678910111213141516解析：由于B，E，F(xiàn)三點共面，F(xiàn)∈平面BEF，M?平面BEF，EB不過點F，故MF，EB為異面直線，故A錯誤；由于B1，N，E三點共面，B1∈平面B1NE，A1?平面B1NE，NE不過點B1，故A1B1，NE為異面直線，故B正確；∵在平行四邊形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四邊形AMNB為平行四邊形，∴MN∥AB.

又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.

又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，顯然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四邊形MNEF為梯形，故C錯誤，D正確.123456789101112131415169.

如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固

定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的是（

）A.

沒有水的部分始終呈棱柱形B.

水面EFGH所在四邊形的面積為定值C.

隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D.

當容器傾斜如圖3所示時，AE·AH為定值√√12345678910111213141516解析：

根據(jù)棱柱的特征（有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行），結(jié)合題中圖形易知A正確；由題圖可知水面EFGH的邊EF的長保持不變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知B錯誤；因為A1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，當平面EFGH不平行于平面ABCD時，A1C1不平行于水面所在平面，故C錯誤；當容器傾斜如題圖3所示時，因為水的體積是不變的，所以棱柱AEH-BFG的體積V為定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不變，所以S△AEH也不變，即AE·AH為定值，故D正確.12345678910111213141516三、填空題10.

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面

ACE的位置關(guān)系為

.

解析：連接BD，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE（圖略），則OE∥BD1，

OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.

平行1234567891011121314151611.

如圖，空間圖形A1B1C1-ABC是三棱臺，在點A1，B1，C1，A，B，C

中取3個點確定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，則所取的這3

個點可以是

?.解析：由空間圖形A1B1C1-ABC是三棱臺，可得平面ABC∥平面A1B1C1，

當平面ABC1為平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m時，又平面α∩平面

ABC＝AB，所以由面面平行的性質(zhì)定理可知m∥AB，所取的這3個點可

以是A，B，C1.A，B，C1（答案不唯一）12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題13.

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是

BC，CC1，C1D1，A1A的中點.求證：（1）BF∥HD1；12345678910111213141516證明：如圖所示，取DD1的中點M，連接AM，F(xiàn)M，∵F，M分別是CC1，DD1的中點，∴FM∥CD且FM＝CD，又AB∥CD且AB＝CD，∴AB∥FM且AB＝FM，則四邊形ABFM為平行四邊形，∴BF∥AM.

∵H，M分別是AA1，DD1的中點，∴AH∥MD1且AH＝MD1，則四邊形AMD1H為平行四邊形，∴AM∥HD1，故BF∥HD1.12345678910111213141516（2）EG∥平面BB1D1D；

12345678910111213141516

12345678910111213141516（3）平面BDF∥平面B1D1H.

證明：由（1）知BF∥HD1，∵HD1?平面

B1D1H，BF?平面B1D1H，∴BF∥平面B1D1H.

由正方體的性質(zhì)得BB1∥DD1且BB1＝DD1，則四邊形

BB1D1D為平行四邊形，∴BD∥B1D1，又B1D1?平面B1D1H，BD?平面

B1D1H，∴BD∥平面B1D1H.

又