第5節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量的分布列；（2）理解離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；（3）能計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列01.知識(shí)點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列1.

離散型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有

的實(shí)數(shù)X（ω）

與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)X為隨機(jī)變量.可能取值為有限個(gè)或可以

?的

隨機(jī)變量，我們稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量.唯一

一一列舉

2.

離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱(chēng)X取

每一個(gè)值xi的概率

，i＝1，2，…，n為X的概率分

布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用如下表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn3.

離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)（1）pi≥0（i＝1，2，…，n）；（2）p1＋p2＋…＋pn＝

?.P（X＝xi）＝pi

1

A.

B.

C.

D.

A（2）（湘教選二P134練習(xí)3題改編）已知隨機(jī)變量X的分布列為X1234P

p設(shè)Y＝2X－5，則P（Y≥1）＝

?.

規(guī)律方法離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各

個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.練1（1）（2024·云南一中檢測(cè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如表所

示，則下列各式正確的是（

C

）ξ－10123P

A.

P（ξ＜3）＝

B.

P（ξ＞1）＝

C.

P（2＜ξ＜4）＝

D.

P（ξ＜0.5）＝0C

（2）若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如表所示，則a＝

?.X－11P4a－13a2＋a

PART02知識(shí)點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn

x1p1＋x2p2＋…＋xnpn

平均水

平

（3）均值（數(shù)學(xué)期望）與方差的性質(zhì)：①E（aX＋b）＝

?

；②D（aX＋b）＝

（a，b為常數(shù)）.標(biāo)準(zhǔn)差

偏離程度

aE（X）＋

b

a2D（X）

結(jié)論

（1）若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k為常數(shù)；②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；③D（X）＝E（X2）－（E（X））2；④若X1，X2相互獨(dú)立，則E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）.（2）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E（X）＝p，D（X）＝p（1－

p）.角度1

均值與方差的性質(zhì)

（1）〔多選〕（2025·南通模擬）已知隨機(jī)變量X，Y，其中Y＝

3X＋1，隨機(jī)變量X的分布列如表X12345Pm

n

若E（X）＝3，則（

AC

）A.

m＝

B.

n＝

C.

E（Y）＝10D.

D（Y）＝21AC

（2）已知隨機(jī)變量X的分布列為X123Pab2b－a則D（3X－1）的最大值為

.6

規(guī)律方法與均值、方差性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題思路

若給出的隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，一般思

路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋

b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分

布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計(jì)算Y的取值，對(duì)應(yīng)的概率相

等，再由定義法求得E（Y）或D（Y）.角度2

離散型隨機(jī)變量的均值與方差

（1）求白球的個(gè)數(shù)m；

（2）若有放回地取出兩個(gè)球，記取出的紅球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)

學(xué)期望和方差.

X012P?

?

?

所以隨機(jī)變量X的分布列如表所示：規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的意義，寫(xiě)出X可能的全部值；（2）求X取每個(gè)值的概率；（3）寫(xiě)出X的分布列；（4）由均值、方差的定義求E（X），D（X）.

（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均

值E（ξ），方差D（ξ）.

ξ04080120160P?

?

?

?

?

所以ξ的分布列為提能點(diǎn)均值與方差在決策中的應(yīng)用

（2025·海南模擬）從2024年開(kāi)始，新高考數(shù)學(xué)試卷中為了提高試卷

考點(diǎn)的覆蓋面和提高試卷的區(qū)分度，對(duì)多項(xiàng)選擇題的命題進(jìn)行了改革.新

高考數(shù)學(xué)試卷中的多項(xiàng)選擇題，給出的4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)以上選項(xiàng)是正確

的.每一道題考生全部選對(duì)得6分，選項(xiàng)中有錯(cuò)誤得0分，對(duì)而不全得部分

分.對(duì)而不全得部分分的規(guī)則如下：若多選題中有2個(gè)選項(xiàng)正確，則只選對(duì)

1個(gè)得3分；若多選題中有3個(gè)選項(xiàng)正確，則只選對(duì)1個(gè)得2分，只選對(duì)2個(gè)得

4分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為p（0＜p＜1），

有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為1－p，沒(méi)有4個(gè)選項(xiàng)都正確的（在本問(wèn)題中認(rèn)為其

概率為0）.在一次模擬考試中：

E（Z）＜E（Y）＜E（X），故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案①.規(guī)律方法利用樣本的數(shù)字特征解決有關(guān)決策問(wèn)題的關(guān)鍵（1）建立模型，根據(jù)題意準(zhǔn)確建立解決問(wèn)題的概率模型，要注意各種概

率模型的差異性，不能混淆；（2）分析數(shù)據(jù)，分析題中的相關(guān)數(shù)據(jù)，確定概率模型中的相關(guān)參數(shù)；（3）求值，利用概率知識(shí)求出概率模型中的數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特

征；（4）做出決策，比較概率模型中的數(shù)字特征，確定解決問(wèn)題的最優(yōu)方

案，做出決策.練3猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名，一局游戲中有

A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，且可自主選擇猜歌順序，只

有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基

金.假設(shè)甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲的概率及猜對(duì)時(shí)

獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如表：歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.50.5獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金金額/元1

0002

0003

000（1）求甲按“A，B，C”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名的概率；

（2）甲決定按“A，B，C”或者“C，B，A”兩種順序猜歌名，請(qǐng)你

計(jì)算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望；為了得到更多的獎(jiǎng)勵(lì)基

金，請(qǐng)你給出合理的選擇建議，并說(shuō)明理由.解：

甲決定按“A，B，C”的順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為X，則X的所有可能取值為0，1

000，3

000，6

000，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝1

000）＝0.8×（1－0.5）＝0.4，P（X＝3

000）＝0.8×0.5×（1－0.5）＝0.2，P（X＝6

000）＝0.8×0.5×0.5＝0.2，所以E（X）＝0×0.2＋1

000×0.4＋3

000×0.2＋6

000×0.2＝2

200；甲決定按“C，B，A”的順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為Y，則Y的所有可能取值為0，3

000，5

000，6

000，P（Y＝0）＝0.5，P（Y＝3

000）＝0.5×（1－0.5）＝0.25，P（Y＝5

000）＝0.5×0.5×（1－0.8）＝0.05，P（Y＝6

000）＝0.5×0.5×0.8＝0.2，所以E（Y）＝0×0.5＋3

000×0.25＋5

000×0.05＋6

000×0.2＝2

200.參考答案一：由于D（X）＝（0－2

200）2×0.2＋（1

000－2

200）

2×0.4＋（3

000－2

200）2×0.2＋（6

000－2

200）2×0.2＝4

560

000，D（Y）＝（0－2

200）2×0.5＋（3

000－2

200）2×0.25＋（5

000－2

200）2×0.05＋（6

000－2

200）2×0.2＝5

860

000，由于D（Y）＞D（X），所以應(yīng)該按照“A，B，C”的順序猜歌名.參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時(shí)，獲得0元的概率為0.5，

大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時(shí)獲得0元的概率0.2，所以應(yīng)該按

照“A，B，C”的順序猜歌名.其他合理答案均可.PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)

12345678910111213141516一、單項(xiàng)選擇題1.

甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用

ζ表示甲的得分，則{ζ＝3}表示（

）A.

甲贏三局B.

甲贏一局輸兩局C.

甲、乙平局二次D.

甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次解析：

因?yàn)榧?、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，

故{ζ＝3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.√2.

若離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X＝1）＝p，4－5P（X＝

0）＝p，則p＝（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

√123456789101112131415164.

已知甲、乙兩種產(chǎn)業(yè)收益的分布列分別為：甲產(chǎn)業(yè)收益分布列收益X/億元－102概率0.10.30.6乙產(chǎn)業(yè)收益分布列收益Y/億元012概率0.30.40.312345678910111213141516A.

甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險(xiǎn)高B.

甲產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險(xiǎn)小C.

乙產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險(xiǎn)小D.

乙產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險(xiǎn)高解析：

由題意可得E（X）＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D

（X）＝（－1－1.1）2×0.1＋（0－1.1）2×0.3＋（2－1.1）2×0.6＝

1.29；E（Y）＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D（Y）＝（0－1）

2×0.3＋（1－1）2×0.4＋（2－1）2×0.3＝0.6，故E（X）＞E

（Y），D（X）＞D（Y），即甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險(xiǎn)高.則下列說(shuō)法正確的是（

）√123456789101112131415165.

現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6.從這7張卡片中隨機(jī)

抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則E（ξ）＝（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

ξ1234P?

?

?

?

123456789101112131415166.

已知隨機(jī)變量X，Y的分布列如下，則（

）X12P0.60.4Y1－2P0.50.5A.

D（Y）＝9D（X）B.

E（1－X）＝0.5C.

D（1－Y）＝2.5D.

E（X＋Y）＝0.9√12345678910111213141516解析：

E（X）＝1×0.6＋2×0.4＝1.4，E（Y）＝1×0.5－2×0.5

＝－0.5，D（X）＝（1－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.4＝0.24，D

（Y）＝（1＋0.5）2×0.5＋（－2＋0.5）2×0.5＝2.25，所以D（Y）

≠9D（X），E（1－X）＝－E（X）＋1＝－0.4，D（1－Y）＝（－

1）2D（Y）＝2.25，E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0.9，故選D.

123456789101112131415167.

體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一次

發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概

率為p∈（0，1），發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E（X）＞1.75，則p

的取值范圍是（

）A.

（0，

）B.

（

，1）C.

（0，

）D.

（

，1）√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

已知下表為離散型隨機(jī)變量X的分布列，其中ab≠0，則下列說(shuō)法正確

的是（

）X012Pa

A.

a＋b＝1B.

E（X）＝2bC.

D（X）有最大值D.

D（X）有最小值√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

已知隨機(jī)變量X的取值為不大于n（n∈N*）的非負(fù)整數(shù)，它的概率分

布列為X0123…nPp0p1p2p3…pn12345678910111213141516其中pi（i＝0，1，2，3，…，n）滿足pi∈[0，1]，且p0＋p1＋p2＋…＋

pn＝1.定義由X生成的函數(shù)f（x）＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…

＋pnxn，g（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，E（X）為隨機(jī)變量X的期望.

現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體形骰子，四個(gè)面分別標(biāo)有1，2，3，4四個(gè)點(diǎn)

數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點(diǎn)數(shù)之和為X，此時(shí)由X生成的函數(shù)為

f1（x），則（

）A.

E（X）＝g（2）B.

f1（2）＝

C.

E（X）＝g（1）D.

f1（2）＝

√√12345678910111213141516X2345678P?

?

?

?

?

?

?

解析：

因?yàn)閒（x）＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，則

g（x）＝f'（x）＝p1＋2p2x1＋3p3x2＋…＋ipixi－1＋…＋npnxn－1，E

（X）＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，當(dāng)x＝1時(shí)，E（X）＝p1＋

2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn＝g（1），故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；連續(xù)

拋擲兩次骰子，向下點(diǎn)數(shù)之和為X，則X的分布列為12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（｜X｜＝1）＝

，公差d的取值范

圍是

?.

1234567891011121314151611.

已知隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P

（4，9]12345678910111213141516

12345678910111213141516

5

12345678910111213141516ξ0123P?

?

?

?

12345678910111213141516四、解答題13.

袋中裝有大小相同的4個(gè)紅球，2個(gè)白球.某人進(jìn)行摸球游戲，一輪摸球

游戲規(guī)則如下：①每次從袋中摸取一個(gè)小球，若摸到紅球則放回袋中，充

分?jǐn)嚢韬笤龠M(jìn)行下一次摸??；②若摸到白球或摸球次數(shù)達(dá)到4次時(shí)本輪摸

球游戲結(jié)束.（1）求一輪摸球游戲結(jié)束時(shí)摸球次數(shù)不超過(guò)3次的概率；12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）若摸出1次紅球計(jì)1分，摸出1次白球記2分，求一輪游戲結(jié)束時(shí)，此

人總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

12345678910111213141516X2345P?

?

?

?

所以一輪摸球游戲結(jié)束時(shí)，此人總得分X的分布列為：1234567891011121314151614.

近年來(lái)，全國(guó)旅游業(yè)蓬勃發(fā)展.某景區(qū)有一個(gè)自愿消費(fèi)的項(xiàng)目：在參觀

某特色景點(diǎn)入口處會(huì)為每位游客拍一張與景點(diǎn)的合影，參觀后，在景點(diǎn)出

口處會(huì)將剛拍下的照片打印出來(lái)，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走

照片則需支付20元，沒(méi)有被帶走的照片會(huì)收集起來(lái)統(tǒng)一銷(xiāo)毀.該項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)

一段時(shí)間后，統(tǒng)計(jì)出平均只有30%的游客會(huì)選擇帶走照片.為改善運(yùn)營(yíng)狀

況，該項(xiàng)目組就照片收費(fèi)與游客消費(fèi)意愿關(guān)系做了市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)收費(fèi)與

消費(fèi)意愿有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，并統(tǒng)計(jì)出在原有的基礎(chǔ)上，價(jià)格每下調(diào)1

元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05.假設(shè)平均每天有5

000人參

觀該特色景點(diǎn)，每張照片的綜合成本為5元，假設(shè)每位游客是否購(gòu)買(mǎi)照片

相互獨(dú)立.12345678910111213141516（1）若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前

多還是少？解：

當(dāng)收費(fèi)為20元時(shí)，每張照片被帶走的概率為0.3，不被帶走的概

率為0.7，設(shè)此時(shí)每張照片的利潤(rùn)為Y1元，則Y1的分布列為Y115－5P0.30.7E（Y1）＝15×0.3－5×0.7＝1，則每天的平均利潤(rùn)為5

000元.當(dāng)收費(fèi)為10元時(shí)，每張照片被帶走的概率為0.3＋0.05×10＝0.8，不被帶

走的概率為0.2，12345678910111213141516Y25－5P0.80.2E（Y2）＝5×0.8－5×0.2＝3，則每天的平均利潤(rùn)為5

000×3＝15

000（元）.調(diào)整價(jià)格后，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多10

000元.設(shè)每張照片的利潤(rùn)為Y2元，則Y2的分布列為12345678910111213141516（2）要使每天的平均利潤(rùn)達(dá)到最大