第5節(jié)橢圓高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）；（3）掌握橢圓的簡單應(yīng)用.目錄CONTENTS知識點一橢圓的定義01.知識點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程02.知識點三橢圓的幾何性質(zhì)03.課時跟蹤檢測04.PART01知識點一橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于

（大于｜F1F2｜）

的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的

，兩焦點間的距離

叫做橢圓的

?.常數(shù)

焦點

焦距

提醒

（1）當(dāng)動點M滿足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常數(shù)＞｜F1F2｜時，動點

M的軌跡為橢圓；（2）當(dāng)動點M滿足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常數(shù)＝｜

F1F2｜時，動點M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為兩端點的線段；（3）當(dāng)動點M滿

足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常數(shù)＜｜F1F2｜時，動點M的軌跡不存在.結(jié)論

（1）若點P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，O為橢圓中心，則①

b≤｜OP｜≤a；②a－c≤｜PF｜≤a＋c.（2）焦點三角形：橢圓上的點P（x0，y0）與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的

△PF1F2叫做焦點三角形，如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.

④焦點三角形的周長為2（a＋c）.

（1）（人A選一P115習(xí)題6題改編）如圖所示，圓O的半徑為定長

r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半

徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是（

A

）A.

橢圓B.

雙曲線C.

拋物線D.

圓A解析：如圖，連接QA，由已知得｜QA｜＝｜QP｜.所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因為

點A在圓內(nèi)，所以｜OA｜＜｜OP｜，根據(jù)橢圓的定義，知點Q

的軌跡是以O(shè)，A為焦點，r為長軸長的橢圓，故選A.

A.1B.2C.4D.5B

規(guī)律方法橢圓定義的應(yīng)用技巧（1）橢圓定義的應(yīng)用主要有：判斷平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓，求焦

點三角形的周長、面積及橢圓的弦長、最值等；（2）與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、｜

PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的關(guān)系.

A.2B.4C.7D.14

C

5PART02知識點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程

＋

＝1（a＞b＞0）中心

在原點，焦點在x軸上

＋

＝1（a＞b＞0）中心在原

點，焦點在y軸上圖形

提醒

標(biāo)準(zhǔn)方程中，較大的分母是a2，另一個分母是b2，c2＝a2－b2，a＞

b＞0，必須牢固地掌握.

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋y2＝1D.

＋

＝1

A

規(guī)律方法根據(jù)條件求橢圓方程的兩種方法（1）定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置寫出橢圓

方程；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點

在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，

n＞0，m≠n），不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋

＝1D.

＋

＝1

B

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋

＝1D.

＋

＝1B

PART03知識點三橢圓的幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

＋

＝1（a＞b＞0）

＋

＝1（a＞b＞0）范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上頂點A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0）軸長短軸長為

，長軸長為

?焦點

?

?焦距｜F1F2｜＝

?對稱性對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：

?離心率e＝

（0＜e＜1）2b

2a

F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c）2c

原點

A.

B.

C.

D.

A

（2）〔多選〕（2024·長沙新高考適應(yīng)性考試）某彗星的運行軌道是以

太陽為一個焦點的橢圓.測得軌道的近日點（距離太陽最近的點）與太陽

中心的距離為d1，遠日點（距離太陽最遠的點）與太陽中心的距離為d2，

并且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，則（

BC

）A.

軌道的焦距為d2＋d1B.

軌道的離心率為

C.

軌道的短軸長為2

D.

當(dāng)

越大時，軌道越扁BC

規(guī)律方法1.

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其性質(zhì)，首先要搞清標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓的焦點

位置，其次要掌握參數(shù)a，b，c的含義及其關(guān)系式a2＝b2＋c2.2.

求橢圓離心率的3種方法（1）直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值；（2）構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次

方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；（3）通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.提醒

在解關(guān)于離心率e的二次方程時，要注意利用橢圓的離心率e∈（0，

1）進行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根.

提能點與橢圓有關(guān)的最值（范圍）問題

A.12B.14C.16D.18C解析：

由橢圓的對稱性可知P，Q兩點關(guān)于原點對稱，設(shè)橢圓的另一

個焦點為F1，則四邊形PFQF1為平行四邊形，由橢圓定義可知｜PF｜

＋｜PF1｜＋｜QF｜＋｜QF1｜＝4a＝20，又｜PF｜＝｜QF1｜，｜

PF1｜＝｜QF｜，所以｜PF｜＋｜QF｜＝10，又PQ過原點，所以｜

PQ｜min＝2b＝6，所以△PQF的周長的最小值為10＋6＝16.故選C.

A.

的最大值為4

B.

｜PF1｜的取值范圍是[4－2

，4＋2

]C.

不存在點P使PF1⊥PF2D.

｜PB｜的最大值為2

AB

規(guī)律方法與橢圓有關(guān)的最值（范圍）問題的求解策略

PART04課時跟蹤檢測

12345678910111213141516

A.4B.8C.4或8D.12解析：

當(dāng)焦點在x軸上時，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝

4，∴m＝4.當(dāng)焦點在y軸上時，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）

＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.√2.

（2025·成都學(xué)考）若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩

頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢

圓中是“對偶橢圓”的是（

）A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋

＝1D.

＋

＝1√12345678910111213141516解析：

由“對偶橢圓”定義得：短半軸長b與半焦距c相等的橢圓是

“對偶橢圓”，對于A，c2＝8－4＝4＝b2，即b＝c，A是“對偶橢圓”；

對于B，c2＝5－3＝2≠b2，即b≠c，B不是“對偶橢圓”；對于C，c2＝6

－2＝4≠b2，即b≠c，C不是“對偶橢圓”；對于D，c2＝9－6＝3≠b2，

即b≠c，D不是“對偶橢圓”.故選A.

123456789101112131415163.

（2024·新高考Ⅱ卷5題）已知曲線C：x2＋y2＝16（y＞0），從C上任

意一點P向x軸作垂線段PP'，P'為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為

（

）A.

＋

＝1（y＞0）B.

＋

＝1（y＞0）C.

＋

＝1（y＞0）D.

＋

＝1（y＞0）√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

已知橢圓的長軸長為10，短軸長為8，則橢圓上任意一點P到橢圓中心

O的距離的取值范圍是（

）A.

[4，5]B.

[6，8]C.

[6，10]D.

[8，10]

√12345678910111213141516

A.3B.4C.6D.10√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋

＝1D.

＋

＝1√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

橢圓的長軸長為4B.

橢圓的離心率為

C.

橢圓的方程可以為

＋

＝1D.

橢圓上的點到焦點的距離的最小值為2－

√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

離心率的取值范圍為（0，

）B.

當(dāng)離心率為

時，｜QF1｜的最大值為2＋

C.

不存在點Q，使得

·

＝0D.

＋

的最小值為

√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

解析：若F是橢圓的右焦點，且a2＝25，可得a＝5，設(shè)橢圓C的左焦點為F1，連接P2F1，P3F1，…，由橢圓的對稱性，可得｜P2F1｜＝｜P8F｜，｜P3F1｜＝｜P7F｜，所以｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P7F｜＋｜P8F｜＝4a＝20.

2012345678910111213141516

4

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題

（1）求橢圓C的離心率；12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）M，N是橢圓C短軸的兩個端點，設(shè)點P是橢圓C上一點（異于橢圓

C的頂點），直線MP，NP分別與x軸相交于R，Q兩點，O為坐標(biāo)原

點，若｜OR｜·｜OQ｜＝4，求橢圓C的方程.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456