第8節(jié)立體幾何中的翻折與探究性問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點解讀會用向量法探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系，角的存在條件與翻折問題.

目錄CONTENTS提能點1翻折問題01.提能點2探究性問題02.課時跟蹤檢測03.PART01提能點1

翻折問題

（1）求直線CF與平面ADE所成角的正切值；

（2）求幾何體ADE-BFC的體積.

規(guī)律方法翻折問題的兩個解題策略

（1）證明：EF⊥PD；

（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

PART02提能點2探究性問題

（2025·邵陽第一次聯(lián)考）如圖所示，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD.

（1）證明：BD⊥CC1；解：證明：連接AC，因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA1；又AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面A1AC，所以BD⊥平面A1AC.

因為四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AA1，CC1的延長線交于一點，所以A1，C1，C，A四點共面，即CC1?平面A1AC，所以BD⊥CC1.

規(guī)律方法利用空間向量巧解探究性問題的策略（1）空間向量最適合于解決立體幾何中的探究性問題，它無需進行復(fù)雜

的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷；（2）解題時，把結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”

問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題，所

以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題.提醒

探究線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應(yīng)用.練2

如圖，四棱錐S-ABCD中，△ABD為正三角形，∠BCD＝120°，CB

＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°，SC⊥BD.

（1）求二面角A-SB-C的余弦值；解：∵△ABD為正三角形，CB＝CD，取BD中點O，連接AO，CO，則AO⊥BD，CO⊥BD，即AC⊥BD，垂足為O，∵∠BSD＝90°，∴△BSD為直角三角形，∵O為BD中點，∴OD＝OS，在△COD與△COS中，∵OD＝OS，CS＝CD，OC＝OC，∴△COD≌△COS，則∠COD＝∠COS＝90°，∴AC⊥OS，

（2）線段SC（包含端點）上是否存在點H，使得DH∥平面SAB.

PART03課時跟蹤檢測1.

已知三棱柱ABC-A1B1C1，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AA1＝AB

＝AC＝1.（1）求異面直線AC1與A1B所成的角；1234解：因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥平面A1B1C1，即

AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，又∠BAC＝90°，所以

∠B1A1C1＝90°，即A1B1⊥A1C1，所以AA1，A1B1，A1C1

兩兩垂直，如圖，以A1為原點，以A1B1為x軸，A1C1為y軸，A1A為z軸建立空間直角坐標系，因為AA1＝AB＝AC＝1，所以A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），A（0，0，1），B（1，0，1），C（0，1，1）.1234

1234（2）設(shè)M為A1B的中點，在△ABC的內(nèi)部或邊上是否存在一點N，使得

MN⊥平面ABC1？若存在，確定點N的位置，若不存在，請說明理由.

1234

（1）當AB∥平面PCD時，求PD的長；1234

1234（2）當三棱錐P-COD的體積最大時，求二面角O-PD-C的余弦值.

1234

12343.

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PB⊥AC，點P在底面

ABC上的射影為點H.

（1）證明：PC⊥AB；解：證明：因為點P在底面ABC上的射影為點H，所

以PH⊥平面ABC，又AB，BC，CA?平面ABC，所以PH⊥AB，

PH⊥BC，PH⊥CA，因為PA⊥BC，PH⊥BC，PA∩PH＝P，PA，PH?平

面PAH，所以BC⊥平面PAH，又AH?平面PAH，所以BC⊥AH，1234同理，AC⊥BH，所以點H為△ABC的垂心，所以CH⊥AB，又

PH⊥AB，CH∩PH＝H，CH，PH?平面PCH，所以AB⊥平面PCH，又PC?平面PCH，所以PC⊥AB.

1234

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1234

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1234

1234

1234法二設(shè)AC的中點為O，連接BO，PO.

因為在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點，所以PO⊥AC，因為PA＝PB＝PC，PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO，所以△POA≌△POB≌△