第9節(jié)函數(shù)的零點與方程的解高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系；（2）理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用；（3）了解用二分法求方程的近似解.目錄CONTENTS知識點一函數(shù)的零點01.知識點二二分法02.課時跟蹤檢測03.PART01知識點一函數(shù)的零點1.

概念對于一般函數(shù)y＝f（x），我們把使

的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝

f（x）的零點.2.

函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應(yīng)方程的根的關(guān)系f（x）＝0

3.

函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且

有

，那么，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間

?

內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得

，這個c

也就是方程f（x）＝0的解.提醒

（1）若連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f（x）至

多有一個零點.函數(shù)的零點不是一個“點”，而是方程f（x）＝0的實根；

（2）周期函數(shù)如果有零點，則必有無窮多個零點.f（a）f（b）＜0

（a，b）

f（c）＝0

角度1

函數(shù)零點所在區(qū)間的判定

A.

（0，1）B.（1，2）C.

（2，e）D.（e，3）B

A.

f（x1）＜0，f（x2）＜0B.

f（x1）＞0，f（x2）＞0C.

f（x1）＞0，f（x2）＜0D.

f（x1）＜0，f（x2）＞0D

規(guī)律方法1.

確定函數(shù)的零點所在區(qū)間的常用方法（1）利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的

圖象是否連續(xù)，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，則函數(shù)y＝f

（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有零點；（2）數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有

交點來判斷.2.

函數(shù)零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，不滿足條件

時，一定要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進行分析判斷.角度2

函數(shù)零點個數(shù)的判定

A.5B.4C.3D.2D解析：當(dāng)x≤0時，由x2－1＝0，解得x＝－1；當(dāng)x＞0時，f（x）＝x－2＋ln

x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，并且f（1）＝1－2＋ln

1＝－1＜0，f（2）＝2－2＋ln

2＝ln

2＞0，即f（1）f（2）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)必有一個零點，綜上，函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為2.（2）（人A必修一P143例1改編）函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)為

（

C

）A.0B.1C.2D.3C解析：函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)即函數(shù)f（x）＝ex與g（x）＝－x2－2x＋1的圖象的交點個數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出f（x）＝ex與g（x）＝－x2－2x＋1的圖象，如圖所示，由圖可知，兩圖象有2個交點，故原函數(shù)有2個零點，故選C.

規(guī)律方法求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法（1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少個不同的實數(shù)根，f（x）就有

多少個零點；（2）定理法：利用函數(shù)零點存在定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇

偶性等；（3）圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交

點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).練1（1）函數(shù)f（x）＝log2x＋2x－6的零點所在的區(qū)間為（n，n＋1）

且n∈N，則n＝（

B

）A.1B.2C.3D.4解析：函數(shù)f（x）＝log2x＋2x－6的定義域為（0，＋∞），且在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，f（2）＝log22＋22－6＝－1＜0，f（3）＝log23＋23－6＝log23＋2＞0，即f（2）f（3）＜0，因此函數(shù)f（x）的唯一零點在（2，3）內(nèi)，所以n＝2.B（2）（2025·三明模擬）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f

（x－2）＝f（x），當(dāng)0≤x≤1時，f（x）＝x，設(shè)函數(shù)g（x）＝f

（x）－log7｜x｜，則函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為（

C

）A.6B.8C.12D.14C解析：依題意可知，函

數(shù)f（x）是定義在R上的偶

函數(shù)，且f（x－2）＝f

（x），所以f（x）＝f（－x）＝f（－x－2）＝f（x＋2），即函數(shù)f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，令g（x）＝f（x）－log7｜x｜＝0，即f

（x）＝log7｜x｜，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y＝f（x）和y＝log7｜x｜的圖象，如圖所示.由圖象可知，兩函數(shù)圖象共有12個交點，即函數(shù)g（x）共有12個零點.PART02知識點二二分法1.

定義對于在區(qū)間[a，b]如圖象連續(xù)不斷且f（a）f（b）＜0的函數(shù)y＝f

（x），通過不斷地把它的零點所在區(qū)間

，使所得區(qū)間的兩

個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.2.

用二分法求函數(shù)y＝f（x）零點x0的近似值的一般步驟（1）確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f（a）f（b）＜0；一分為二

（2）求區(qū)間（a，b）的中點c；（4）判斷是否達到精確度ε：若｜a－b｜＜ε，則得到零點近似值a

（或b）；否則重復(fù)步驟（2）～（4）.（3）計算f（c），并進一步確定零點所在的區(qū)間：①若f（c）＝0（此時x0＝c），則c就是函數(shù)的零點；②若f（a）f（c）＜0（此時x0∈（a，c）），則令b＝c；③若f（c）f（b）＜0（此時x0∈（c，b）），則令a＝c.

4

規(guī)律方法二分法求函數(shù)零點的關(guān)注點（1）驗證零點所在的區(qū)間是否符合精確度要求；（2）區(qū)間內(nèi)的任一值都可以作為零點的近似值，一般取端點作為零點的

近似值.

角度1

根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)

A.

（0，＋∞）B.（0，1）C.

（0，3）D.（1，3）B提能點函數(shù)零點的應(yīng)用

（2）（2024·新高考Ⅱ卷6題）設(shè)函數(shù)f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）

＝cos

x＋2ax.當(dāng)x∈（－1，1）時，曲線y＝f（x）與y＝g（x）恰有一

個交點.則a＝（

D

）A.

－1B.

C.1D.2D解析：法一

令f（x）＝g（x），即a（x＋1）2－1＝cos

x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos

x，令F（x）＝ax2＋a－1，G（x）＝cos

x，原題等價于當(dāng)x∈（－1，1）時，曲線y＝F（x）與y＝G（x）恰有一個交點，注意到F（x），G（x）均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得F（0）＝G（0），即a－1＝1，解得a＝2.故選D.

法二

令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－cos

x，x∈（－1，

1），原題意等價于h（x）有且僅有一個零點，因為h（－x）＝a（－

x）2＋a－1－cos（－x）＝ax2＋a－1－cos

x＝h（x），則h（x）為

偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知h（x）的零點只能為0，即h（0）＝a

－2＝0，解得a＝2，故選D.

角度2

根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)

A.

（－∞，

）B.（0，

）C.

（－∞，0）D.（

，＋∞）√

規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的三種常用方法（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過

解不等式（組）確定參數(shù)（范圍）；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)

的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.

A.

（－∞，－

）B.（－∞，－

）C.

（－

，－

）D.（－∞，－

）D

（0，3]

－3

解析：g（x）有4個零點，即f（x）的圖象與直線y＝k有4個交點，作出f（x）的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，要使g（x）有4個零點，需0＜k≤3.由二次函數(shù)的對稱性可知x1＋x2＝2×（－2）＝－4，又｜ln

x4｜＝

ln

x4，｜ln

x3｜＝－ln

x3，由圖可知ln

x4＝－ln

x3，即ln

x4＋ln

x3＝ln（x3x4）＝0，則x3x4＝1，故x1＋x2＋x3x4＝－4＋1＝－3.PART03課時跟蹤檢測一、單項選擇題1.

（2025·青島一模）下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法

求圖中函數(shù)零點的是（

）解析：根據(jù)二分法的概念可知A不能用二分法求零點.12345678910111213141516√2.

（2025·安康一模）函數(shù)f（x）＝e2x＋5x－2的零點所在區(qū)間為（

）A.

（－1，0）B.（0，

）C.

（

，

）D.（

，1）

√123456789101112131415163.

（2025·重慶檢測）已知函數(shù)f（x）＝x－e－x的部分函數(shù)值如表所

示，那么函數(shù)f（x）的零點的一個近似值（精確度為0.1）為（

）x10.50.750.6250.562

5f（x）0.632

1－0.106

50.277

60.089

7－0.007A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7√解析：易知f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，由表格得f（0.562

5）f（0.625）＜0，且｜0.625－0.562

5｜＝0.062

5＜0.1，∴函數(shù)零點在（0.562

5，0.625）內(nèi)，∴根據(jù)選項可知，函數(shù)f（x）的零點的一個近似值為0.57.12345678910111213141516

A.

（－1，－log32）B.（0，log32）C.

（log32，1）D.（1，log34）√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

（2025·湛江調(diào)研）已知函數(shù)f（x）＝｜2x－1｜－a，g（x）＝x2－

4｜x｜＋2－a，則（

）A.

當(dāng)g（x）有2個零點時，f（x）只有1個零點B.

當(dāng)g（x）有3個零點時，f（x）有2個零點C.

當(dāng)f（x）有2個零點時，g（x）有2個零點D.

當(dāng)f（x）有2個零點時，g（x）有4個零點√12345678910111213141516解析：

作出y＝｜2x－1｜，y＝x2－4｜x｜＋2的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)g（x）有2個零點時，f（x）無零點或只有1個零點；當(dāng)g（x）有3個零點時，f（x）只有1個零點；當(dāng)f（x）有2個零點時，g（x）有4個零點.

123456789101112131415167.

（2025·運城一模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（－x）＋f（x）

＝0，f（－x）＝f（x＋2），且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝x3－x2＋x.

則方程4f（x）－x＋2＝0的所有根之和為（

）A.6B.12C.14D.10√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項選擇題8.

（2025·安康模擬）下列函數(shù)在區(qū)間（－1，3）內(nèi)存在唯一零點的是

（

）A.

f（x）＝x2－2x－8B.

f（x）＝（x＋1

－2C.

f（x）＝2x－1－1D.

f（x）＝1－ln（x＋2）√√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2025·懷化一模）已知函數(shù)y＝x＋ex的零點為x1，y＝x＋ln

x的零點

為x2，則（

）A.

x1＋x2＞0B.

x1x2＜0C.

＋ln

x2＝0D.

x1x2－x1＋x2＞1√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

用二分法求方程x3＋x－5＝0的近似解時，已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間（1，

3）內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為

?.解析：令f（x）＝x3＋x－5，則f（2）＝8＋2－5＝5＞0，f（3）＝27＋

3－5＝25＞0，f（1）＝1＋1－5＝－3＜0，由f（1）f（2）＜0知根所在

區(qū)間為（1，2）.（1，2）

1234567891011121314151611.

（2025·鎮(zhèn)江模擬）若函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）有3個

零點x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，x1＋2x3＝x2，則a＋b的最大值為

?.

1234567891011121314151612.

（2025·南充模擬）若函數(shù)f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）

上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為

?.解析：由題意，函數(shù)y＝e－x與g（x）＝ln（x＋a）的圖象在（0，＋∞）上有交點，當(dāng)a＞0時，g（x）＝ln（x＋a）的圖象是由函數(shù)y＝ln

x的圖象向左平移a個單位長度得到的，根據(jù)圖象可得只需要g（0）＝ln

a＜1，即0＜a＜e；當(dāng)a≤0時，g（x）＝ln（x＋a）的圖象是由函數(shù)y＝ln

x的圖象向右平移｜a｜個單位長度得到的，此時在（0，＋∞）上恒有交點，滿足條件，綜上可得：a＜e，即實數(shù)a的取值范圍是（－∞，e）.

（－∞，e）

12345678910111213141516