第10節(jié)函數(shù)模型的應(yīng)用高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

（1）了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異；（2）理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語的含義；（3）能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫變化過程01.知識(shí)點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)

y＝ax（a＞1）y＝logax（a＞1）y＝xα（α＞0）在（0，＋∞）上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸

表現(xiàn)為與

?

?平行隨x的增大逐漸

表現(xiàn)為與

?

?平行隨α值的變化而

各有不同y

軸

x

軸

（1）（人A必修一P139練習(xí)4題改編）在一次實(shí)驗(yàn)中，某小組測(cè)得一

組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，11），并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到散點(diǎn)圖.由此

散點(diǎn)圖，在區(qū)間[－2，3]上，下列四個(gè)函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）

中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是（

B

）A.

y＝a＋bxB.

y＝a＋bxC.

y＝a＋logbxD.

y＝a＋

B解析：由散點(diǎn)圖的定義域可排除C、D選項(xiàng)，由散點(diǎn)圖的增長(zhǎng)方式可知函數(shù)模型為指數(shù)型.（2）（2025·西安模擬）高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，若魚缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)v＝f（h）的大致圖象是（

B

）B解析：由圖可知水深h越大，水的體積v就越大，故函數(shù)v＝f（h）是個(gè)增函數(shù)，故排除A、C項(xiàng)，由魚缸形狀可知，下面細(xì)中間粗上面細(xì)，所以隨著水深的增加，體積的變化的速度是先慢后快再慢，所以B正確.規(guī)律方法用函數(shù)圖象刻畫變化過程的2種方法（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模

型，再結(jié)合模型選圖象；（2）驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變

化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情

況的答案.練1（1）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向

A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f（x）

的圖象是（

D

）

D（2）〔多選〕血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人

體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低

中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相

關(guān)信息如圖所示，A.

首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用B.

每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中

毒C.

首次服用1單位該藥物，約5.5小時(shí)后第二次服用1單位該藥物，可使藥

物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.

首次服用1單位該藥物，3小時(shí)后再次服用1單位該藥物，不會(huì)發(fā)生藥物

中毒根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說法中，正確的是

（

ABC

）ABC解析：從圖象可以看出，首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用1單位該藥物，約1小時(shí)后血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；首次服用1單位該藥物4小時(shí)后與再次服用1單位該藥物1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，D錯(cuò)誤.PART02知識(shí)點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題

幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f（x）＝ax＋b（a，b為常數(shù)，a≠0）二次函數(shù)模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）反比例函數(shù)模型f（x）＝

＋b（k，b為常數(shù)，k≠0）指數(shù)函數(shù)模型f（x）＝bax＋c（a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，

b≠0）對(duì)數(shù)函數(shù)模型f（x）＝blogax＋c（a，b，c為常數(shù)，a＞0且

a≠1，b≠0）冪函數(shù)模型f（x）＝axα＋b（a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0）

A.

3N2＝2N1B.2N2＝3N1C.

＝

D.

＝

D

CA.32天B.33天C.34天D.35天

規(guī)律方法已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；（2）根據(jù)已知，利用待定系數(shù)法確定模型中的待定系數(shù)；（3）利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行

檢驗(yàn).

A.120

dBB.100

dBC.80

dBD.60

dB√

（1）“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水

面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲

時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時(shí)的速度為20

m/s，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片每

一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的85%，若石片接觸水面時(shí)的速度低于6

m/s，石片就不再?gòu)椞寥胨?，則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳

次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：lg

2≈0.3，lg

3≈0.48，lg

17≈1.23）（

C

）A.6B.7C.8D.9C提能點(diǎn)構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

（2）某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購(gòu)買飼料，已知該場(chǎng)每天需要飼料200

kg，每千克飼

料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)用與其他費(fèi)用為平均每千克每天0.03

元，購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.則該場(chǎng)

?天購(gòu)買一次飼料才能使平

均每天支付的總費(fèi)用最少.10

規(guī)律方法構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟（1）建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；（2）推理、運(yùn)算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)

學(xué)意義上的解；（3）評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋，

然后返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解.

A.4年B.5年C.6年D.8年B

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.

（2025·內(nèi)江模擬）現(xiàn)有一組關(guān)于速度v（單位：m/s）與時(shí)間t（單

位：s）的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：t2.03.04.05.16.18v1.54.027.51218.3用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這組數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)

是（

）A.

v＝log2tB.

v＝lo

tC.

v＝

D.

v＝2t－2√123456789101112解析：

從表中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)看，函數(shù)遞增的速度不斷加快，A項(xiàng)，是對(duì)數(shù)函數(shù)模型，其遞增速度越來越慢，不符合題意；B項(xiàng)，隨著t的增大，速度變小，不符合題意，C項(xiàng)，是二次函數(shù)模型，對(duì)比數(shù)據(jù)，其最接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，符合題意；D項(xiàng)，是一次函數(shù)模型，增長(zhǎng)速度不變，不符合題意.1234567891011122.

（2025·衡陽(yáng)一模）有一貨船從石塘沿水路順?biāo)叫校巴涌?，途?/p>

因故障停留一段時(shí)間，到達(dá)河口后逆水航行返回石塘.假設(shè)貨船在靜水中

的速度不變，水流速度不變，若該貨船從石塘出發(fā)后所用的時(shí)間為x（小

時(shí)），貨船距石塘的距離為y（千米），則下列各圖中，能反映y與x之間

函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（

）解析：分析圖象可知選項(xiàng)A正確.故選A.

√123456789101112

A.

倍B.10

倍C.10倍D.ln

倍√

123456789101112

A.

[4，8]B.[6，10]C.

[4%，8%]D.[6%，10%]

√1234567891011125.

（2025·福州模擬）當(dāng)藥品A注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會(huì)以

每小時(shí)25%的速度減少，另一種藥物B注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余

量會(huì)以每小時(shí)10%的速度減少.現(xiàn)同時(shí)給兩位患者分別注射800

mg藥品A和

500

mg藥品B，當(dāng)兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間

約為（參考數(shù)據(jù)：lg

2≈0.301，lg

3≈0.477）（

）A.0.57

hB.1.36

hC.2.58

hD.3.26

h√123456789101112

123456789101112二、多項(xiàng)選擇題6.

（2025·寶雞一模）某大型商場(chǎng)開業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費(fèi)

滿100元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為本商場(chǎng)現(xiàn)金購(gòu)物卡，可用于以后在

該商場(chǎng)消費(fèi).抽獎(jiǎng)結(jié)果共分5個(gè)等級(jí)，等級(jí)x與購(gòu)物卡的面值y（元）的關(guān)系

式為y＝eax＋b＋k，3等獎(jiǎng)比4等獎(jiǎng)的面值多100元，比5等獎(jiǎng)的面值多120

元，且4等獎(jiǎng)的面值是5等獎(jiǎng)的面值的3倍，則（

）A.

a＝－ln

5B.

k＝15C.1等獎(jiǎng)的面值為3

130元D.3等獎(jiǎng)的面值為130元√√√123456789101112

123456789101112

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040123456789101112A.

p1≥p2B.

p2＞10p3C.

p3＝100p0D.

p1≤100p2

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10

m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別

為p1，p2，p3，則（

）√√√123456789101112三、填空題8.

某地要建造一批外形為長(zhǎng)方體的簡(jiǎn)易工作房，如圖所示.房子的高度為3

m，占地面積為6

m2，墻體ABFE和DCGH的造價(jià)均為80元/m2，墻體

ADHE和BCGF的造價(jià)均為120元/m2，地面和房頂?shù)脑靸r(jià)共2

000元.則一個(gè)

這樣的簡(jiǎn)易工作房的總造價(jià)最低為

元.

4

880

123456789101112

1234567891011129.

（2025·葫蘆島一模）某景區(qū)套票原價(jià)300元/人，如果多名游客組團(tuán)購(gòu)

買套票，現(xiàn)有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票

價(jià)打9折，若人數(shù)不低于50，則票價(jià)打8折；若人數(shù)不低于100，則票價(jià)打7

折.不重復(fù)打折.方案二：按原價(jià)計(jì)算，總金額每滿5

000元減1

000元.已知

一個(gè)旅游團(tuán)有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個(gè)旅游團(tuán)購(gòu)票總

費(fèi)用的最小值為

元.11

710

123456789101112

12345678910111210.

（2025·海南模擬）“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸

?！?，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識(shí)日益增強(qiáng).某化工

廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2

mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染

物的含量都會(huì)減少20%，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超

過0.2

mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么在排放前需要過濾的

次數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：lg

2≈0.3，lg

3≈0.477）

?.8

123456789101112

123456789101112四、解答題11.

（2025·蘇州期末）“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效

益好的特點(diǎn).研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定條件下，每

尾魚的平均生長(zhǎng)速度v（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方

米）的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí)，v的值為2千克/年；當(dāng)4≤x≤20

時(shí)，v是x的一次函數(shù)；當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等原因，v的值為

0千克/年.（1）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，求函數(shù)v關(guān)于